Integrais triplas UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CÁLCULO II - PROJETO NEWTON AULA 28. Assunto: Integrais Triplas

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1 Assunto: Integrais Triplas UNIVRSIDAD FDRAL DO PARÁ CÁLCULO II - PROJTO NWTON AULA 8 Palavras-chaves: integração, integrais triplas, volume, teorema de Fubini, soma de Riemann Integrais triplas Assim como existem as integrais simples (ou unidimensionais) para funções de uma variável e as integrais duplas para duas variáveis, há as integrais triplas para funções de três variáveis. Deniremos as integrais triplas, inicialmente, de uma função f(x, y, z) sobre um paralelepípedo (caixa retangular). {(x, y, z) R ; a x b, c y d, r z s} Sejam P 1 : a x < x 1 < x <... < x n b uma partição do intervalo [a, b, P : c y < y 1 < y <... < y m d uma partição do intervalo [c, d e P : r z < z 1 < z <... < z l s uma partição do intervalo [r, s O conjunto P {(x i, y j, z k ); i, 1,,..., n, j, 1,,..., m, k, 1,,..., l} é uma partição do paralelepípedo. ssa partição de determina uma subdivisão de em paralelepípedos menores e da forma ijk [x i, x i [y j, y j [z k, z i

2 m cada sub-paralelepípedos ijk escolhemos um ponto X ijk (x i, y j, z k ). O conjunto X dos pontos X ijk é chamado de conjunto admissível à partição P. A soma n m l f(x i, y j, z k ) x i y j z k i1 j1 k1 é chamada de soma de Riemann de f(x, y, z) relativa á partição P e ao conjunto admissível X e é denotada por S(f, P, X). O número, que é o maior dentre os números x i y j k, 1,,..., l é chamado de norma da partição P. e z k com i, 1,,..., n, j, 1,,..., m e Dizemos que um número L é o limite das somas de Riemann S(f, P, X), quando tende para zero, se para todo ɛ >, existe δ > tal que, para toda partição P com < δ e para todo conjunto X admissível à P, temos S(f, P, X) L < ɛ. Quando tal limite existe, é único, é chamado de integral tripla de f(x, y, z) em e é denotada por f(x, y, z) dxdydz ou por. screvemos f(x, y, z) dv n m l f(x, y, z) dxdydz f(x i, y j, z k ) x i y j z k i1 j1 k1 O cálculo da integral tripla é feito utilizando-se o teorema de Fubini. Teorema 1 (Teorema de Fubini para integrais triplas) Se f(x, y, z) é contínua em um paralelepípedo [a, b [c, d [r, s, então f(x, y, z) dxdydz s d b r c a f(x, y, z) dxdydz Fazendo mudanças na ordem de integração obtemos cinco outras integrais iteradas que são iguais a integral anterior.

3 f(x, y, z) dxdydz s d b r c a d b s c a r b s d a r c d s b c r a s b d r a c b d s a c r f(x, y, z) dxdydz f(x, y, z) dzdxdy f(x, y, z) dydzdx f(x, y, z) dxdzdy f(x, y, z) dydxdz f(x, y, z) dzdydx Todas essas integrais iteradas fornecem o mesmo valor. xemplo 1 Calcule a integral tripla xyz dxdydz em que é o paralelepípedo dado por {(x, y, z) R ; x 1, y, z } Resolução: Precisamos escolher a ordem de integração com a qual resolveremos a integral tripla dada. xistem seis possibilidades. Vamos adotar aquela em que integramos primeiro com relação a x, depois em relação a ye, nalmente, com relação a z. Assim, temos: xyz dxdydz 1 xyz dxdydz [ 1 xyz dx dydz Resolvendo a integral mais interna, teremos: Assim, 1 xyz dx [ 1 1 x yz 1 yz xyz dxdydz 1 yz dydz 1 yz dydz 1 [ yz dy dz Resolvendo agora a integral interna obteremos, Portanto, yz dy [ 1 y z 1 [ z y 1 z [4 1 z

4 xyz dxdydz 1 z 4 z dz 4 [ z 4 [ Sejam agora f(x, y, z) uma função, um sólido do espaço R, para qual existe um paralelepípedo tal que e D. Consideremos a função F (x, y, z) denida em por F (x, y, z) { f(x, y, z) se (x, y, z) se (x, y, z) Assim, temos que f(x, y, z) dxdydz F (x, y, z) dxdydz dupla Vamos considerar somente três conjuntos sobre os quais o cálculo da integral tripla recai em uma integral 1 caso: Sejam z g(x, y) e z h(x, y) funções de duas variáveis denida em um conjunto com g(x, y) h(x, y), para todo (x, y). Consideremos o seguinte conjunto {(x, y, z) R ; (x, y) e g(x, y) z h(x, y)} Neste caso a integral tripla de f(x, y, z) sobre é dada por [ h(x,y) f(x, y, z) dxdydz f(x, y, z) dz dxdy g(x,y) caso: Sejam y g(x, z) e y h(x, z) funções denidas em um conjunto com g(x, y) h(x, y), para todo (x, z). Consideremos o seguinte conjunto Neste caso temos, {(x, y, z) R ; (x, z) e g(x, z) y h(x, z)} [ h(x,z) f(x, y, z) dxdydz f(x, y, z) dy dxdz g(x,z) caso: Sejam x g(y, z) e x h(y, z) funções denidas em um conjunto com g(y, z) h(y, z), para todo (y, z). Consideremos o seguinte conjunto Neste caso temos, {(x, y, z) R ; (y, z) e g(y, z) x h(y, z)} [ h(y,z) f(x, y, z) dxdydz f(x, y, z) dx dydz g(y,z) 4

5 xemplo Calcule e x + y + z 1. z dv, onde é o tetraedro sólido limitado pelos quatro planos x, y, z Resolução: Neste caso podemos tomar como sendo o triângulo no plano xy de vértice nos pontos (, ), (1, ) e (, 1). Assim, o conjunto pode ser descrito como segue Portanto, temos: {(x, y, z) R ; (x, y), < z < 1 x y} z dv [ 1 x y z dz dxdy Resolvendo a integral mais interna teremos, Assim, 1 x y [ z z dz 1 x y 1 [z 1 x y 1 (1 x y) z dv 1 (1 x y) dxdy 1 (1 x y) dxdy Temos que, z dv 1 1 [ 1 x (1 x y) dy dx Resolvendo a integral interna obteremos 1 x (1 x y) dy [ 1 1 x (1 x y) 1 1 x [(1 x y) 1 [(1 x (1 x)) (1 x ) 1 (1 x) Portanto, z dv (1 x) dx [ (1 x)4 1 4 (1 x) dx [ (1 x) [(1 1)4 (1 )

6 xemplo Calcule z 4. x + z dv, onde é a região limitada pelo parabolóide y x +z pelo plano Resolução: Neste caso, podemos considerar como sendo o disco x + z 4 no plano xz. O conjunto pode então ser descrito como segue {(x, y, z) R ; (x, z), x + z y 4} Assim, temos x [ 4 + z dv x + z dy dxdz x +z Calculando a integral mais interna obteremos, x + z dy x + z dy [ x + z y x +z x +z x +z x + z [4 (x + z ) x + z (4 x z ) (4 x z ) x + z Assim, x + z dv (4 x z ) x + z dxdz Vamos fazer uma mudança de variável para coordenadas polares fazendo { x ρ cos θ z ρ sin θ, (x, z) (θ, ρ) ρ ; θ π e ρ e ϕ(θ, ρ) (ρ cos θ, ρ sin θ). Temos que, Logo, x + z (ρ cos θ) + (ρ sin θ) ρ cos θ + ρ sin θ ρ (cos θ + sin θ) ρ 6

7 x + z dv (4 (x + z )) x + z dxdz (4 ρ ) ρ ρ dθdρ θρ (4 ρ )ρ dθdρ (4ρ ρ 4 ) dθdρ θρ θρ π [ (4ρ ρ 4 ) dρ dθ Resolvendo a integral interna obteremos, Portanto, (4ρ ρ 4 ) dρ [ 4 ρ 1 5 ρ x + z dv π [ π 64 dθ θ π π 7