CÁLCULO II - MAT0023. Nos exercícios de (1) a (4) encontre x e y em termos de u e v, alem disso calcule o jacobiano da

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1 UNIVEIDADE FEDEAL DA INTEGAÇÃO LATINO-AMEICANA Instituto Latino-Americano de Ciências da Vida e da Natureza Centro Interdisciplinar de Ciências da Natureza CÁLCULO II - MAT3 15 a Lista de exercícios Nos exercícios de (1) a (4) encontre x e y em termos de u e v, alem disso calcule o jacobiano da transformação. 1. eja T (u, v) = (x, y) onde u = x + y e v = x y.. eja T (u, v) = (x, y) onde u = xy e v = x/y. 3. eja T (u, v) = (x, y) onde u = (x + y ) e v = (x y ). 4. eja T (u, v) = (x, y) onde u = x + y e v = x y. 5. eja T : uma transformação definida por T (u, v) = (u v, uv) = (x, y). Encontre a imagem do quadrado = {(u, v) ; u 1, v 1} sob a transformação T. 6. Encontre a imagem do conjunto dado sob a transformação indicada. (a) = {(u, v) ; u, v 1} e T (u, v) = (u v, u v). é a região triangular com vértices (, ), (1, ) e (, 1); T (u, v) = (4u + 3v, 4v). 7. Use a mudança de variável x = u v, y = uv para calcular a integral y dxdy, onde é a região limitada pelo eixo x e as parábolas y = 4 4x, y = 4 + 4x. 8. eja o paralelogramo limitado pelas retas x + y = 1, x + y =, x 3y =, x 3y = 5. ubstitua u = x + y, v = x 3y para encontrar a área A = dxdy. 9. ubstitua u = xy, v = x/y para encontrar a área da região do primeiro quadrante limitada pelas retas y = x, y = x e as hipérboles xy = 1, xy =. 1. ubstitua u = xy, v = xy 3 para encontrar el área de la região do primeiro quadrante limitada pelas hipérboles xy =, xy = 4 e as curvas xy 3 = 3, xy 3 = Utilize a transformação x = u + 3v, y = 3u v para calcular a integral (x + y)dxdy, onde é o quadrado com vértices (, ), (, 3), (5, 1), (3, ). 1. Utilize uma transformação apropriada para calcular a integral e (x+y)/(x y) dxdy, onde é o quadrilátero com vértices (1, ), (, ), (, ), (, ). 13. Utilize uma transformação apropriada para calcular e x y+π x + y + πdxdy, onde é o paralelogramo com vértices (π, ), (π, π), (π, π), (, π). 14. Utilize uma transformação apropriada para calcular (x y) sen (x + y)dxdy, onde é o paralelogramo com vértices (π, ), (π, π), (π, π), (, π). 15. Os vértices de um paralelogramo do plano xy são os pontos (, ), (, 1), (3, 17) e (1, 7). (a) Encontre uma transformação linear u = ax + by, v = cx + dy, que leve no retângulo do plano uv com vértices opostos em (, ) e (4, ). O vértice (, 1) deverá ser levado num ponto do eixo u. 1

2 Calcule a integral dupla retângulo do iten (a). xydxdy transformando-la em uma integral equivalente no 16. Considere a transformação definida por x = u + v, y = v u. (a) Calcule o determinante do jacobiano J(u, v). Um triângulo no plano uv tem vértices (, ), (, ), (, ). epresente, mediante um esboço, a imagem no plano xy. Alem disso, calcule a área de mediante uma integral dupla estendida a e também mediante outra integral dupla estendida a. Calcule (x y + 1) dxdy. 17. Nos seguintes itens, fazer um esboço da região e expressar a integral dupla f(x, y)dxdy como uma integral iterada em coordenadas polares. (a) = {(x, y); x + y a }, onde a >. = {(x, y); x + y x}. = {(x, y); a x + y b }, onde < a < b. (d) = {(x, y); y 1 x, x 1}. (e) = {(x, y); x y 1, x 1}. 18. Em cada itens, transforme a integral em coordenadas polares e calcule o seu valor. (A letra a denota uma constante positiva.) (a) a ax x (x + y )dy dx [ x (x + y ) / dy dx x (d) a a [ x x + y dy dx a y (x + y )dx dy 19. Nos seguintes itens, transforma cada um das integrais dadas a uma ou mais integrais iteradas em coordenadas polares. (a) [ f(x, y)dy dx 1 x f(x, y)dy dx 1 x. e r >, seja I(r) = r r e u du. (d) x 3 f x x ( ) x + y dy dx f(x, y)dy (a) Mostre que I (r) = e (x +y ) dxdy, onde é o quadrado = [ r, r [ r, r. e C 1 e C são discos circulares inscrevendo e circunscrevendo, mostre que e (x +y ) dxdy < I (r) < e (x +y ) dxdy. dx C 1 C Expresse as integrais sobre C 1 e C em coordenadas polares e use para deduzir que I(r) π π quando r. Isto prova que e u du =.

3 1. Considere a aplicação definida pelas equações x = u v e y = uv. (a) Calcule o determinante do Jacobiano J(u, v). eja T o retângulo no plano uv de vértices (1, 1), (, 1), (, 3) e (1, 3). Faça um esboço da imagem do T pela aplicação no plano XY. Calcule a integral dupla xydxdy fazendo a mudança de variáveis x = u v e y = uv, onde C = {(x, y); x + y 1}.. Calcule a integral dupla C I(p, r) = dxdy (p + x + y ) p sobre o disco circular = {(x, y); x + y r }. Determine os valores de p para os quais I(p, r) tende para um limite quando r Nos seguintes itens prove as igualdades dadas por introdução de uma adequada mudança de variáveis em cada caso. (a) f(x + y)dxdy = f(u)du, onde = {(x, y) x + y 1}. f(ax + by + c)dxdy = 1 u f(u a + b + c)du, onde = {(x, y) x + y 1} e a + b. f(xy)dxdy = ln curvas xy = 1, xy =, y = x e y = 4x. 1 f(u)du, onde é a região no primeiro quadrante limitada pelas 4. Calcule cada integral tripla nos seguintes itens. Fazer, para cada um, um esboço da região de integração. Deve admitir-se a existência de todos as integrais encontradas. (a) z dxdyz onde é o tetraedro sólido limitado pelos planos x =, y =, z = e x + y + z = 1. x dxdydz onde é o tetraedro limitado pelos planos coordenados e pela parte do primeiro octante cuja equação é x + y + z = 1. xyz dxdydz onde encontra-se embaixo da superfície z = 1 x e sobre o retângulo x, y do plano xy. (d) x + z dxdydz, onde é região limitada pelo paraboloide y = x + z e pelo plano y = 4. (e) xy z 3 dxdydz, onde é o sólido limitado pela superfície z = xy e os planos y = x, x = 1 e z =. (f) (1 + x + y + z) 3 dxdydz, onde é o sólido limitado pelos três eixos coordenados e o plano x + y + z = 1. (g) xyz dxdydz, onde = {(x, y, z); x + y + z 1, x, y, z }. (h) ( ) x a + y b + z c dxdydz, onde é o sólido limitado pelo elipsoide x a + y b + z c = 1. 3

4 (i) x + y dxdydz, onde é o sólido formado pela folha superior do cone z = x + y e o plano z = 1. (j) xyz dxdydz onde encontra-se no primeiro octante limitada pelos paraboloides z = x + y, z = x + y pelas superfícies xy = 1, xy = 4 e pelos planos y = x, y = 5x. 5. Nos seguintes itens, a integral tripla f(x, y, z) dxdydz de uma função positiva reduz-se à integração iterada que se indica. Para cada um deles descrever a região de integração mediante um esboço, mostrando a sua projeção no plano XY. Exprimir depois a integral tripla como um ou mais integrais iteradas nos quais a primeira integração seja realizada em relação a y. (a) ( x [ y ( 1 x 1 x ) f(x, y, z)dz dy dx ) 1 f(x, y, z)dz dy dx x y (d) ( x [ x+y ) f(x, y, z)dz dy dx ( [ 1 ) x +y f(x, y, z)dz dy dx 6. Mostrar que: x ( v [ u ) f(t)dt du dv = 1 x (x t) f(t)dt. 7. Calcule as integrais dos seguintes itens por mudança de coordenadas cilíndricas. Admita a existência de todas as integrais encontradas. (a) (x + y ) dxdydz, onde é a região limitada pelo cilindro x + y = 4 e pelos planos z =, z =. (x + y ) dxdydz, onde é o sólido limitado pela superfície x + y = z e pelo plano z =. x + y dxdydz, onde é o sólido limitado pelo paraboloide z = 9 x y e pelo plano XY. (d) y dxdydz, onde é o sólido compreendido entre os cilindros x + y = 1, x + y = 4, sobre o plano XY e embaixo do plano z = x +. (e) dxdydz, onde é o sólido pelos três planos coordenados, a superfície z = x + y e o plano x + y = 1. (f) (y + z ) dxdydz, onde é o cone circular reto de altura h e cuja base, de raio a, está situada no plano XY e o eixo coincide com Z. 8. Calcule as integrais nos seguintes itens mediante mudança de coordenadas esféricas. (a) dxdydz, onde é a esfera sólida de raio a e centrada na origem. dxdydz, onde é o solido limitado por duas esferas concêntricas de raio a e b com < a < b e centradas na origem. 4

5 [ (x a) + (y b) + (z c) / dxdydz, onde é uma esfera solida de raio e centro na origem, e (a, b, c) é um ponto fixo no exterior dessa esfera. (d) (x + y + z ) dxdydz onde = {(x, y, z) 3 ; x + y + z 1} é a esfera sólida unitária. (e) y dxdydz, onde = {(x, y, z) 3 ; x + y + z 1, x, y, z} é a porção da esfera sólida unitária que encontra-se no primeiro octante. 9. Calcule o volume do sólido que encontra-se acima do cone φ = π/3 e embaixo da esfera ρ = 4 cos φ. 3. Descreva a superfície ρ = asenφ e calcule o volume da região que o limita. 31. Pode-se generalizar coordenadas esféricas mediante a transformação seguinte: x = aρ cos m θ sen n ϕ, y = bρ sen m θ sen n ϕ, z = cρ cos n ϕ, onde a, b, c, m e n são constantes positivas. Mostrar que o Jacobiano é igual a abcmnρ cos m θ sen m θ cos n ϕ sen n ϕ. 3. Calcule a massa total do cubo D = [, 1 [, 1 [, 1, sabendo que sua densidade é ρ(x, y, z) = x + y + z. 33. Calcule a massa total de = {(x, y, z) 3 ; x + y + z 1}, sabendo que sua densidade no ponto P é diretamente proporcional à distância de P ao origem, sendo igual a 1 nos pontos fronteira de. 34. Um sólido T está limitado superiormente pelo cilindro parabólico z = 4 y e inferiormente pelo paraboloide elíptico z = x + 3y. Calcule sua massa usando integrais triplas se sua densidade é diretamente proporcional a x. 35. Mostrar que os momentos de inercia respeito aos eixos coordenados são I x = I xy + I xz, I y = I yx + I yz, I z = I zx + I zy. 36. Um sólido encontra-se dentro do cilindro x + y = 1, embaixo do plano z = 4 e acima do paraboloide z = 1 x y. A densidade em qualquer ponto de é proporcional a sua distância ao eixo do cilindro. Encontre a massa de. 37. Calcule o volume da região D de n limitada por x 1 =, x =,..., x n = e x 1 + x x n = 1, a 1 a a n onde a 1 >, a >,..., a n >. 38. No exercício anterior calcule a integral usando a seguinte mudança de variável: x 1 = a 1 u 1, x n = a n u n (1 u 1 )(1 u ) (1 u n ) para todo n. 39. Calcule x 1 x x 3 x 4 dx 1 dx dx 3 dx 4, onde D = [, Calcule 41. Calcule D x1 x x3 x1 x x3 x4 x 1 x x 3 x 4 dx 1 dx dx 3 dx 4. (x 1 + x + x 3 + x 4 + x 5 )dx 1 dx dx 3 dx 4 dx 5. 5

6 4. Denotemos com n (a) o seguinte conjunto do n espaço, sendo a > : n (a) = {(x 1,..., x n ); x x n a}. Quando n = o conjunto é um quadrado com vértices em (, ±a) e (±a, ). Quando n = 3 é um octaedro com vértices em (,, ±a), (, ±a, ) e (±a,, ). eja V n (a) o volume de n (a), dado por V n (a) = dx 1 dx n. (a) Mostre que V n (a) = a n V n (1). n(a) Para n, expresse a integral que da V n (1) como uma iteração de uma integral unidimensional e uma integral (n 1) múltipla e mostrar que V n (1) = V n (1) (1 x ) n dx = n V n(1). Fazer uso dos itens (a) e para deduzir que V n (a) = n a n. n! 43. Denotemos com n (a) o seguinte conjunto do n espaço, sendo a > : n (a) = {(x 1,..., x n ); x i + x n a; para cada i = 1,..., n 1}. (a) Esboçar um gráfico de n (1) quando n = e n = 3. eja V n (a) = dx 1 dx n e mostrar que V n (a) = a n V n (1). n(a) Expresse a integral que dá V n (1) como uma iteração de uma integral unidimensional e uma integral (n 1) múltipla e deduzir que V n (a) = n a n n. 44. (a) Em relação ao Exemplo 4 feito em sala de aula (7/6). Expresse a integral que dá V n (1), o volume da esfera n dimensional unitária, como a iteração de uma integral (n 1) múltipla e uma integral unidimensional e com isto mostrar que V n (1) = V n (1) (1 x ) (n)/ dx. Use iten (a) e a equação (V I) dada no Exemplo 4, deduzir que π/ π cos n Γ( n+1 tdt = ) Γ( n + 1). 45. (Volume do Cone em n ) Denotemos C n o cone circular reto dado por } C n = {(x 1, x,..., x n ); x 1 + x x n = H x n e seja V (C n ) = C n dx 1... dx n o volume de C n. Para calcular V (C n ) introduzimos as variáveis r, φ 1, φ,..., φ n para fazer o seguinte mudança: x 1 = r sen φ 1 sen φ... sen φ n 3 sen φ n cos φ n x = r sen φ 1 sen φ... sen φ n 3 sen φ n sen φ n x 3 = r sen φ 1 sen φ... sen φ n 3 cos φ n x 4 = r sen φ 1 sen φ... cos φ n 3 onde r. x n = r sen φ 1 cos φ x n = r cos φ 1 H cos φ 1, φ 1 arctan H, φ i π, i =, 3,..., n, φ n π 6

7 (a) Mostre que V (C n ) = 1 n n HV n (1). Calcule V (C ), V (C 3 ), V (C 4 ) e V (C 5 ). Foz do Iguaçu, 5 de junho de 17 Víctor Arturo Martínez León 7