Integrais Duplos e Triplos.

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1 Capítulo 4 Integrais uplos e Triplos. 4.1 Integrais uplos xercício Calcule os seguintes integrais. a. e. 1 1 e 1 2x+2 15xy + 1y 2 dy dx b. y x dx dy 4 x 2y) dy dx f. 4 1 π 6 2 π 2 x 1 6xy 3 + x ) dx dy xcosy) ycosx)) dy dx x 3 e y x dy dx xercício sboce a região delimitada pelas curvas dadas pelas equações seguintes e calcule a sua área. a. y = x, x = 4, y = b. y = x 3, x =, y = 2 y = x 3, x = 2, y = y = x, y = x 3 xercício sboce a região de integração para cada um dos seguintes integrais iterados: a. x x 2 fx, y) dy dx b. 3 y y fx, y) dx dy 4 x x 2 fx, y) dy dx π lny) π siny) fx, y) dx dy e. x+2 1 x 2 fx, y) dy dx f. y 6 y fx, y) dx dy

2 24 Integrais uplos e Triplos. xercício Para cada uma das seguintes alíneas calcule fx, y) da. a. fx, y) = y + 2x e é o rectângulo de vértices 1, 1), 2, 1), 2, 1), 1, 1). b. fx, y) = xy, = { x, y) 2 : x 2, y x 2} fx, y) = xy 2 e é triângulo de vértices 2, 9), 2, 1), 2, 1). fx, y) = x 2 + y 2, = { x, y) 2 : y sinx) x π 2 e. fx, y) = e x y e é a região delimitada pelas rectas de equações y = 2x+1, y = x+1, y = 4. } xercício Considerando = {x, y) 2 : x + y 1} calcule e x+y da. xercício Uma lâmina com densidade de massa por área δx, y) é delimitada pelas curvas de equações dadas. Calcule a massa da lâmina através de um integral duplo. a. δx, y) = y 2 ; y = e x, x =, x = 1, y =. b. δx, y) = x 2 + y 2 ; xy 2 = 1, x =, y = 1, y = 2. xercício Calcule o volume dos sólidos limitados pelas seguintes superfícies. a. Parabolóide elíptico z = 2x 2 + y 2 + 1, plano x + y = 1 e planos coordenados. b. Parabolóide hiperbólico z = x 2 y 2 e os planos z = e x = 1. z = x 2 + y 2, y = x 2, y = 1 e z =. 4.2 Valor Médio de Uma Função xercício Calcule o valor médio das funções nas alíneas dos exercícios e na respectiva região de integração. xercício etermine o valor médio do quadrado da distância de um ponto P S à origem do referencial, sendo S = { x, y) : x a) 2 + y 2 r 2 } onde a e r são constantes reais não nulas. 24/25-2 o semestre Análise Matemática IV

3 4.3 Troca da Ordem de Integração 25 xercício Mostre que: 1 a. Se é o triângulo de vértices, ), 1, 1) e 1, ) então, 6 b. Se é o circulo de raio 2 e centrado na origem então, 4π Para = [, 1] [, 1], Para = [ π, π] [ π, π], 1 cos e 1 4π 2 sin x 1 + xy) 4 da 1 e sinx+y) dx dy e da y x x 2 + y ) dx dy 2π 4.3 Troca da Ordem de Integração xercício Calcule os seguintes integrais, invertendo previamente a ordem de integração: a. 2x e y2 dy dx b. 9 3 y sinx 3 ) dx dy 2 y y x 2 y 4 dx dy x 2 x 3 siny 3 ) dy dx e. x y 4 cosxy 2 ) dy dx f. e lnx) 1 y dy dx 4.4 Integrais Triplos xercício Calcule os seguintes integrais triplos: a x + y 3z dx dy dz b. z 2 x+z 1 x z z dy dx dz y x/ 3 x x 2 dz dx dy + z2 4 x 2 6 z 1 3x 2 y x dx dy dz xercício Calcule o volume dos sólidos limitados por: a. z = 4 x 2 y 2 z =. b. x + y + z = 3 e pelos planos coordenados. x 2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = 1. x 2 + y 2 + z 2 = r 2 e z 2 = x 2 + y 2 externo em relação ao cone). Análise Matemática IV 24/25-2 o semestre

4 26 Integrais uplos e Triplos. xercício Um sólido de densidade δx, y, z) é delimitado pelas superfícies de equações dadas. Calcule a massa do sólido através de um integral triplo. a. δx, y, z) = x 2 + y 2 ; x + 2y + z = 4, x =, y =, z =. b. δx, y, z) = z + 1; z = 9 x 2 y 2, z =. xercício Próximo do nível do mar, a densidade δ da atmosfera terrestre a uma altura de z metros pode ser aproximada por δ = 1, 225, 113z kg/m 3. Aproxime a massa de uma região da atmosfera que tenha a forma de um cubo com 1 km de aresta e uma das faces apoiada na superfície da Terra. 4.5 Mudança de Variável no Integral uplo e Triplo. xercício Calcule os integrais que se seguem, utilizando coordenadas polares: a. 4 x 2 y 2 dx dy, onde é o círculo de raio 2 centrado na origem. b. y dx dy, onde = {x, y) 2 : x 2 + y 2 9, x y }. y 2 x 2 + y 2 dx dy, onde é a coroa circular dada por 1 x2 + y x 2 e x 2 +y 2 dy dx. e. 3 9 y 2 sinx 2 + y 2 ) dx dy. xercício Calcule a área da região definida em coordenadas cartesianas) por x2 a 2 + y2 b 2 coordenadas r, θ) tais que x = aρ cosθ), y = bρ sinθ). 1, usando xercício Calcule a massa de uma placa limitada pelas circunferências de equações x 2) 2 + y 2 = 4; x 1) 2 + y 2 = 1, supondo que a densidade em cada ponto é directamente proporcional à distância à origem. xercício Seja S = {x, y) 2 : y x + 2, x, y }. Calcule seguinte mudança de variáveis: u = x y x + y, v = x + y. S e x y x+y dx dy, utilizando a 24/25-2 o semestre Análise Matemática IV

5 4.5 Mudança de Variável no Integral uplo e Triplo. 27 xercício Sejam K = { u, v) 2 : 1 u 2 v 2 4, 1 uv 3, u, v } e g : K 2 definida por gu, v) = u 2 v 2, 2uv) a. sboce a região K. b. Mostre que a mudança de variáveis g envia a região K num rectângulo. Mostre que K u 2 + v 2) du dv = 1 Área K) 4 xercício Use coordenadas cilíndricas para calcular os seguintes integrais: a. x 2 + z 2 ) dv ; = { x, y, z) 3 : x 2 + z 2 4, x, y, z } ; b. e. 2y dv, onde = { x, y, z) 3 : x 2 + z 2 4, x + y + z 4, x, y, z } ; xy dv ; = { x, y, z) 3 : x 2 + y 2 z, x, y, z 2 } ; x 2 + y 2 dx dy dz; = { x, y, z) 3 : z 9 x 2 y 2, x y, z } ; y dx dy dz, onde é limitada por y = x 2 + z 2, y = 2 x 2 z 2. f. 1 x 2 x 1 1 x 2 x 2 +y 2 1 dz dy dx. xercício Use coordenadas esféricas para calcular os seguintes integrais: a. x, y, z) dx dy dz, onde é a esfera de raio 1 centrada na origem e P) é a distância de P à origem. b. y + 1 dx dy dz, onde é a semi-esfera de raio 2 centrada na origem cujos pontos têm cota positiva. { x 2 + y 2 dx dy dz; = x, y, z) 3 : x 2 + y 2 + z 2 1, } x y, z ; 3 y dx dy dz, onde é o sólido que se encontra no 1 o octante entre as esferas de equação x 2 + y 2 + z 2 = 1; x 2 + y 2 + z 2 = 4. Análise Matemática IV 24/25-2 o semestre

6 28 Integrais uplos e Triplos. e. f. 4 x 2 2y dx dy dz, onde = { x, y, z) 3 : x 2 + y 2 + z 2 16, x 2 + y 2 z 2, z } ; 2 4 x 2 x 2 +y 2 8 x 2 y 2 x 2 + y 2 + z 2 ) dz dy dx. 4.6 xercícios Variados. Aplicações. Para a resolução dos exercícios desta secção, consulte o formulário no final deste capítulo. xercício etermine o valor médio das funções seguintes nos conjuntos,, indicados. a. fx, y) = y sinxy), = [, π] [, π]. b. fx, y) = e x+y, : triângulo de vértices, ),, 1) e 1, ). xercício etermine o centro de massa das seguintes regiões cujas densidades são as indicadas. a. egião plana compreendida entre y = x 2 e y = x e densidade δ = x + y. b. egião plana compreendida entre y = e y = x 2, x π/2, e densidade δ = 1. xercício etermine a massa e o centro de massa de um sólido hemisférico de raio a, sabendo que a sua densidade em cada ponto P é directamente proporcional à distância do centro da base a P. xercício Supondo que a Terra é esférica com raio 6 37 km, a densidade δ em kg/m 3 ) da atmosfera a uma distância de ρ metros do centro da Terra pode ser aproximada por para 6 37 ρ δ = 619, 9 9, )ρ a. ê uma estimativa da massa da atmosfera entre o nível do solo e uma altitude de 3 km. b. A atmosfera estende-se para além de uma altitude de 1 km e tem uma massa total de aproximadamente 5, kg. Que percentagem da massa está nos 3 km inferiores da atmosfera? xercício Uma peça, plana, em ouro pode ser descrita matematicamente como a região plana = { x, y) : x 2π y π}.unidades em centímetros) Considere-se que a densidade da peça é descrita por δx, y) = y 2 sin 2 4x) + 2, [g/cm 2 ]. a. Se a cotação do ouro for de 7e/g, determine o valor da peça. b. Qual a densidade de massa média da peça em g/cm 2 )? 24/25-2 o semestre Análise Matemática IV

7 4.6 xercícios Variados. Aplicações. 29 xercício Considerem-se coordenadas esféricas ρ, θ, φ) em 3. Suponha-se que uma superfície que limita um sólido contendo a origem do referencial é dada pela função continua e positiva ρ = fθ, φ). Mostre que o volume do sólido limitado pela superfície é V = 1 3 π π [fθ, φ)] 3 sin φ dφ dθ. xercício Considere B : triângulo de vértices, ),, 1)1, e 1, 1). Usando uma mudança de variáveis adequada calcule e y x y+x dx dy. veja o ex ) B xercício Suponha que a densidade de um sólido esférico de raio r é dado por δx, y) = 1 + dx, y) 3) 1, onde dx, y) é a distância do ponto x, y) da esfera ao centro desta. Calcule a massa total do sólido. xercício etermine o valor médio das funções seguintes nos conjuntos indicados. a. fx, y, z) = sin 2 πz) cos πx, = [, 2] [, 4] [, 6]. b. fx, y, z) = e z, = {x, y, z) : x 2 + y 2 + z 2 1}. xercício etermine o momento de inércia segundo o eixo Oy da esfera x 2 + y 2 + z 2 r 2 supondo que a sua densidade de massa é constante e igual a δ. xercício Considere a região sólida limitada superiormente pelo plano z = a e inferiormente pelo cone definido em coordenadas esféricas por φ = k, onde k é uma constante, < k < π/2,. Se o sólido tem densidade constante δ, construa um integral mas não o calcule) que corresponda ao momento de inércia do sólido segundo o eixo Oz. xercício etermine o centro de massa da região sólida, de densidade constante, definida por y 2 + z 2 1 4, x 1)2 + y 2 + z 2 1, x 1. xercício etermine o centro de massa da região sólida, de densidade δ = x 2 + y 2 )z 2, definida por y 2 + y 2 1, 1 z 2. Análise Matemática IV 24/25-2 o semestre

8 3 Integrais uplos e Triplos. Apêndice: Formulário Valor Médio ada uma função f : 2 o valor médio de f, em é: f = 1 fx, y) dx dy, A) onde A) é a área de. Analogamente, se f : W 3 o valor médio de f, em W é: f = 1 fx, y, z) dx dy dz, V W ) onde V W ) é o volume de W. Centros de Massa Considere-se uma placa bidimensional com densidade δx, y). As coordenadas x, ȳ) do centro de massa de são dadas por: x δx, y) dx dy y δx, y) dx dy x = δx, y) dx dy e ȳ = δx, y) dx dy Para um objecto sólido W de densidade δx, y, z) sabe-se que: Volume: V = dx dy dz W Massa: m = δx, y, z) dx dy dz Consequentemente, as coordenadas x, ȳ, z) do centro de massa de W são dadas por: x = 1 x δx, y, z) dx dy dz, m W ȳ = 1 y δx, y, z) dx dy dz m W z = 1 z δx, y, z) dx dy dz m W W Momentos de Inércia ado um corpo sólido W de densidade uniforme δ δx, y, z), os momentos de inércia I x, I y e I z são dados por: I x = y 2 + z 2) δ dx dy dz W I y = x 2 + z 2) δ dx dy dz W I z = x 2 + y 2) δ dx dy dz 24/25-2 o semestre Análise Matemática IV W