Teorema de Fubini e Mudança de Variáveis (Resolução Sumária)

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1 Teorema de Fubini e Mudança de Variáveis (Resolução Sumária) 9 de Maio de 9. Escreva fdv como um integral iterado nas duas ordens de integração possíveis, onde o conjunto é: (a) O triângulo de vértices (, ), (, ) e (, ); x fdv = f(x, )ddx + = + f(x, )dxd. x x f(x, )ddx (b) O sector circular com centro em (, ) e cujo arco é o menor arco circular unindo os pontos (, ) e (, ); x x fdv = f(x, )ddx + x f(x, )ddx x = f(x, )dxd. (c) região compreendida entre as circunferências de raios e centradas na origem. x x fdv = f(x, )ddx + x f(x, )ddx x + x x f(x, )ddx + x (a outra ordem de integração é completamente análoga). x f(x, )ddx. Escreva fdv como um integral iterado numa ordem de integração à sua escolha, onde o conjunto é: (a) O tetraedro limitado pelos planos x =, =, z =, x + + z = ; Por exemplo, x x fdv = f(x,, z)dzddx.

2 (b) esfera {(x,, z) R : x + + z }; Por exemplo, fdv = x x (c) O cone {(x,, z) R : x + z }. Por exemplo,. Escreva o volume do sólido fdv = x x x x f(x,, z)dzddx. x + f(x,, z)dzddx. = { (x,, z) R : x + + z } como um integral iterado numa ordem de integração à sua escolha. Por exemplo, V () = + + z z x z z z x z z z x z z x ddxdz + z x ddxdz + z x ddxdz + z z x z z z x z z x z z x z. Inverta a ordem de integração nos seguintes integrais iterados: z x ddxdz ddxdz z x ddxdz. (a) (b) (c) x x x x x x x f(x, )ddx; 8 f(x, )ddx; f(x, )ddx; f(x, )dxd. f(x, )dxd + f(x, )dxd. f(x, )dxd + + f(x, )dxd + f(x, )dxd

3 5. Calcule o volume de um cone circular recto de altura h > e raio da base a >. Em coordenadas ciĺındricas (ρ, ϕ, z), o cone pode ser descrito por h a ρ z h, e portanto o seu volume é dado por a h ρdzdϕdρ = π h a ρ a (hρ ha ρ ) dρ = πha πha = πa h. 6. Uma esfera de raio é perfurada por uma broca de raio. Determine o volume do sólido resultante. Em coordenadas ciĺındricas (ρ, ϕ, z), a esfera pode ser descrita por ρ +z, e a broca por ρ. intersecção das superfícies de ambos ocorre para z =, e portanto o volume do sólido resultante será z ρdρdϕdz = π z dz = π. 7. Seja o elipsóide = } {(x,, z) R : x a + b + z c. (a) Calcule o volume de. Em termos das variáveis (u, v, w) definidas na sugestão, o conjunto é descrito por u + v + w, i.e., é uma esfera de raio. Uma vez que det u u z u v v z v w w z w pelo teorema da mudança de variável temos V () = {u +v +w } abc dudvdw = a = det b = abc, c abc r sen θdϕdθdr = πabc. (b) Supondo que possui densidade constante igual a, calcule o momento de inércia do elipsóide em relação ao eixo dos zz. I z () = (a u + b v )abc dudvdw = {u +v +w } = 5 πabc (a r sen θ cos ϕ + b r sen θ sen ϕ)abc r sen θdϕdθdr (a + b )( cos θ) sen θdθ = π 5 abc(a + b ). Sugestão: Utilize a mudança de variável (x,, z) = (au, bv, cw)).

4 8. Se R n é mensurável e com medida finita, uma pirâmide de base e vértice he n+ é o conjunto Prove que P = {(a ( t),..., a n ( t), ht) R n+ : (a,..., a n ), t }. V n+ (P ) = h n + V n(). proveite este resultado para confirmar a fórmula da área do triângulo e o resultado que obteve na questão 5. (Sugestão: Utilize a mudança de variável (x,..., x n, x n+ ) = (a ( t),..., a n ( t), ht)). Em termos das variáveis (a,..., a n, t) definidas na sugestão, a pirâmide P é dada por [, ]. Uma vez que det... a a n t n... n a a n n t n+... n+ n+ a a n t pelo teorema da mudança de variável temos V n+ (P ) = t... a = det... t a n = ( t) n h,... h ] h( t) n ( t)n+ dtdv n = hv n () [ = h n + n + V n(). 9. Prove o Teorema de Pappus: o volume de um sólido de revolução gerado por uma figura plana é igual a πd, onde é a área da figura plana e d é a distância do seu centróide ao eixo de rotação. proveite este resultado para calcular o volume do toro T = {(x,, z) R : ( x + R) + z r } ( < r < R). Em coordenadas ciĺındricas (ρ, ϕ, z), o volume do sólido de revolução é dado por V = ρdρdzdϕ = πd, uma vez que por definição d = figura figura ρdρdz. Consequentemente, o volume do toro é πr(πr ) = π r R.. Seja o sólido = { (x,, z) R : x + + z, z } x +, x e densidade ρ(x,, z) = z. Calcule:

5 (a) O volume de ; Em coordenadas esféricas (r, θ, ϕ), o volume do sólido é dado por ( π V = r sen θdϕdθdr = π ). (b) massa de ; Nas mesmas coordenadas, e uma vez que a densidade é z = r cos θ, M = r cos θr sen θdϕdθdr = π 6. (c) O centróide de ; Uma vez que x = r sen θ cos ϕ, a coordenada x C do centróide é dada por ( π x C V = r sen θ cos ϕr sen θdϕdθdr = 6 ), x C = (π )( + ). 8π nalogamente, uma vez que = r sen θ sin ϕ, a coordenada C do centróide é dada por C V = r sen θ sen ϕr sen θdϕdθdr =, C = ( + ). 8π Finalmente, uma vez que z = r cos θ, a coordenada z C do centróide é dada por z C V = r cos θr sen θdϕdθdr = M, z C = M V = ( + ) 6 (d) O centro de massa de ; Uma vez que x = r sen θ cos ϕ, a coordenada x CM do centro de massa é dada por x CM M = r sen θ cos ϕr cos θr sen θdϕdθdr = 6, x CM = 6 5π. 5

6 nalogamente, uma vez que = r sen θ sin ϕ, a coordenada CM do centro de massa é dada por ( ) CM M = r sen θ sen ϕr cos θr sen θdϕdθdr =, 6 CM = 6 ( ). 5π Finalmente, uma vez que z = r cos θ, a coordenada z CM do centro de massa é dada por ( π z CM M = r cos θr cos θr sen θdϕdθdr = π ), 6 ( z CM = 6 5 ). (e) O momento de inércia de em relação ao eixo dos zz. Uma vez que o quadrado da distância ao eixo dos zz é dado por x + = r sen θ cos ϕ + r sen θ sen ϕ = r sen θ, o momento de inércia pedido é I z = r sen θr cos θr sen θdϕdθdr = π 96. 6