TÓPICO. Fundamentos da Matemática II INTEGRAÇÃO MÚLTIPLA10. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques

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1 INTEGAÇÃO MÚLTIPLA TÓPICO Gil da Costa Marques Fundamentos da Matemática II. Introdução. Integrais Duplas.3 Propriedades das Integrais Duplas.4 Cálculo de Integrais Duplas.5 Integrais duplas em regiões não retangulares.6 Integrais triplas.7 Mudança de variáveis de Integração.8 Integrais em coordenadas polares.9 Integrais em coordenadas esféricas Licenciatura em Ciências USP/ Univesp

2 Licenciatura em Ciências USP/Univesp 65. Introdução O problema de calcular a área de uma região do plano nos levou ao conceito de integral definida de funções de uma variável. Para o cálculo do volume de um sólido faremos um procedimento semelhante que nos levará ao conceito de integral dupla. Veremos pois como trabalhar com integrais múltiplas, duplas ou triplas.. Integrais Duplas Tais integrais são as mais simples dentre as integrais múltiplas, pois nesse caso estamos falando de integrais de funções de duas variáveis apenas. Assim, uma integral dupla de uma função f (x,y) definida sobre um retângulo {(, ) :, } = xy a x bc y d. no plano xy será representada pela expressão f (, ) x y dxdy. No que segue, será considerado o caso em que temos uma região limitada L do plano, isto é, tal que existe um retângulo que contém L. A integral dupla apresentada em (.) é definida de uma forma análoga, em certo sentido, àquela relativa a integrais de uma variável. Naquele caso o conceito chave é o de subdividir um intervalo em n subintervalos e, considerando-se o valor da função num ponto qualquer de cada subintervalo, definir a integral como o limite de uma determinada soma denominada Soma de iemann quando o comprimento do maior subintervalo e, portanto, de todos os subintervalos, tende a zero (se tal limite existir). A fim de definir a integral dupla de uma função f definida num subconjunto L limitado do plano, e, portanto, contido num retângulo, consideramos uma partição Fundamentos da Matemática II AMBIENTE NA TEA

3 66 Licenciatura em Ciências USP/Univesp {(, ) :,,,,,,, } i j P = x y i = n j = m de e, para cada par (i, j), seja (x i, y j ), um ponto escolhido arbitrariamente no sub-retângulo ij resultante da partição considerada. O número n m i= j= f x, y x, y i j i j é denominado Soma de iemann de f, relativa à partição P e aos pontos (x i, y j ). Observemos que f (x i, y j )deve ser substituído por zero se o particular ponto não está na região limitada L considerada inicialmente..3 Figura.: A região L subdividida em retângulos. Notemos ainda que se f (x i, y j ) >, f (x i, y j ). x i y j será o volume do paralelepípedo cuja base tem área A ij = x i y j e cuja altura é f (x i, y j ). Figura.: O ij-ésimo paralelepípedo cujo volume é f(x i,y j ). x i y j Dada a partição P do retângulo, indicamos por o maior dos números x i,..., x n, y j,..., y m e definimos então L n m n m f x, y dxdy = lim f x y. x y = lim f x y. A i j i j i j ij i= j= i= j=.4 TÓPICO Integração Múltipla

4 Licenciatura em Ciências USP/Univesp 67 onde L é a região limitada sobre a qual está sendo calculada a integral dupla segundo iemann da função f. Quando o limite existe dizemos que a função f é integrável, segundo iemann, em L. Definimos também a área de L = L dxdy.5 e, sendo f integrável em L, com f xy,.6 em L, considerando a região A compreendida entre o gráfico de f e o plano z =, isto é, {(,, ) 3 : (, )} A= xyz z f xy.7 definimos o volume de A f x, y dxdy = L.8 Figura.3: A área de L é igual numericamente ao volume do sólido cuja base é L e cuja altura é constante e igual a. Fundamentos da Matemática II AMBIENTE NA TEA

5 68 Licenciatura em Ciências USP/Univesp.3 Propriedades das Integrais Duplas São válidas as seguintes propriedades para as integrais duplas: Se f e g são funções integráveis em e c é uma constante, então: Propriedade (, ) = (, ) cf x y dxdy c f x y dxdy.9 Propriedade (, ) + (, ) = (, ) + (, ) f x y g x y dxdy f x y dxdy g x y dxdy. Propriedade 3 Se f (x, y) g (x,y), então (, ) (, ) f x y dxdy g x y dxdy. Propriedade 4 Se =, e e não se sobrepõem, então: (, ) = (, ) + (, ) f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy. Figura.4: A região =. TÓPICO Integração Múltipla

6 Licenciatura em Ciências USP/Univesp 69.4 Cálculo de Integrais Duplas Tendo em vista o fato de que normalmente não se recorre à definição de integral dupla (.4) para efetuar o cálculo da mesma, é importante desenvolver métodos simples de efetuá-las. A seguir daremos alguns exemplos. Exemplos Exemplo Consideremos o caso simples no qual a região fechada é o retângulo de lados x = a, x = b, y = c e y = d. Vamos calcular, usando integral dupla, a área desse retângulo, bem como o volume do bloco que tem por base esse retângulo e altura igual a. Solução: Nosso objetivo é encontrar ou alternativamente: Figura.5: O retângulo [a,b] [c,d]. (,,, ) = b d (, ) = b d (, ) I a b c d f x y dxdy f x y dy dx a c a c (,,, ) = b d (, ) = d b (, ) I a b c d f x y dxdy f x y dx dy a c c a A mudança da ordem de integração é sempre válida desde que a função f dada seja integrável no retângulo = {( xy, ) b d : a x bc, x d} e que existam f ( x, y) dx e (, ) a f x y dy, c para todo y [c,d ] e para todo x [a,b ], respectivamente. No presente caso, consideramos a função f constante e igual a sobre o retângulo, isto é, f (x,y) = e a x b, c y d:.3.4 b d b d b (,,, ) = = = ( ) = ( )( ) I a b c d dxdy dy dx d c dx d c b a a c a c a.5 Fundamentos da Matemática II AMBIENTE NA TEA

7 7 ou Licenciatura em Ciências USP/Univesp Assim, a área do retângulo, bem como o volume do bloco que tem por base esse retângulo e altura igual a são numericamente iguais a (b a).(d c). No cálculo feito acima, para encontrar o valor da integral dupla, são efetuadas duas integrações simples sucessivas que são denominadas integrais iteradas. Exemplo Calcule a integral: b d d b d (,,, ) = = = ( ) = ( )( ) I a b c d dxdy dx dy b a dy b a d c a c c a c.6 ( 5 ) I = x + y dxdy onde D é o retângulo definido por x e y. D.7 Figura.6: O retângulo D. Solução: 5x I = ( 5x y) dx + dy = + xy dy = [ + 4y] dy = y + y =.8 Convém notar que, na primeira integral calculada, a variável de integração é x no intervalo [,], enquanto que, na segunda, a variável de integração é y no intervalo [,]. Poderíamos também ter encontrado o valor de fazendo D ( 5 ) I = x + y dxdy 5x I = ( 5x y) dy + dx = 5xy + y dx = [ 5x + ] dx = + x = e, neste caso, na primeira integral, a variável de integração é y no intervalo [,], enquanto que, na segunda, a variável de integração é x no intervalo [,]..9. TÓPICO Integração Múltipla

8 Exemplo 3 Vamos verificar que são iguais: Licenciatura em Ciências USP/Univesp 7 a. b x y dx dy 3 x y dy dx.. Solução: De fato, x y x y dx dy y dy y y dy y dy e 8 3 = = = = = y 3 x 3 x y dy dx x dx x dx = = = = = Uma observação importante é a seguinte: se a função integrando f puder ser escrita como um produto de duas funções, uma delas dependendo apenas de uma variável e a outra dependendo apenas de outra variável, então a integral dupla de f é mais simples. De fato, sendo [ ab, ] [ cd, ] b d b d f ( x, y) dxdy = g ( x) h( y) dxdy = g ( x) h( y) dy dx a c a c onde g, que depende da variável x somente, está definida em [a,b] e h, que depende apenas de y, está definida em [c,d], notamos que na integral interna acima, g(x) é constante com relação a y, e podemos escrever:.5 g ( x) h( y) dy dx = g ( x) h( y) dy dx = g ( x) dx h( y) dy b d b d b d a c a c a c.6 Assim, nesse caso, a integral dupla pode ser escrita como o produto de duas integrais de uma variável. Fundamentos da Matemática II AMBIENTE NA TEA

9 7 Licenciatura em Ciências USP/Univesp.5 Integrais duplas em regiões não retangulares Integrais sucessivas como aquelas apresentadas anteriormente, podem ser utilizadas quando as curvas que delimitam a região sobre a qual a função é definida não são tão simples como no caso das regiões retangulares. Consideremos uma função f definida na seguinte região: {(, ) :, } D= xy a x bg x y g x.7 Figura.7: A região onde f está definida. Nesse caso definimos a integral I(a,b) como sendo dada por (, ) (, b g x I a b = f x y) dxdy f ( x, y) dy = dx a g ( x) D.8 Definindo a função I(x) como g x = g ( x) (, ) I x f x y dy.9 concluímos que o problema de determinar a integral dupla definida em D, após a determinação de I(x), se reduz ao problema de calcular a integral de uma função de uma variável apenas, ou seja: b (, ) I a b = a I x dx.3 TÓPICO Integração Múltipla

10 Licenciatura em Ciências USP/Univesp 73 Exemplo 4 Vamos calcular onde D Exemplos ( x + ) y dxdy {(, ) :, } D= xy x + y x.3.3 Solução: Em primeiro lugar, observamos que D é um semi-círculo centrado na origem e de raio unitário, para o qual x. Consideremos Figura.8: A região D. D função essa que depende apenas da variável x. Sendo assim, x Agora, = x ( + ) I x x y dy x x y x + y dxdy = x y dy dx xy dx x x dx + x = + = x x x dx = 3.35 Fundamentos da Matemática II AMBIENTE NA TEA

11 74 Logo, Licenciatura em Ciências USP/Univesp D 4 x + y dxdy = x y dy dx + = x 3 x ( ) ( ).36 Situação análoga ocorre quando a função f está definida numa região do seguinte tipo: {(, ) :, } D= xy h y x h y c y d.37 Figura.9: A região onde f está definida. Nesse caso, definimos a integral J(c,d) como sendo dada por (, ) (, d h y J c d = f x y) dxdy f ( x, y) dx = dy c h ( y) D.38 Definindo a função J (y) como h y = h ( y) (, ) J y f x y dx.39 concluímos, analogamente, que o problema de determinar a integral dupla definida em D, após a determinação de J (y), se reduz ao problema de calcular a integral de uma função de uma variável apenas, ou seja: d (, ) J c d = c J y dy.4 TÓPICO Integração Múltipla

12 Licenciatura em Ciências USP/Univesp 75 Exemplo 5 Vamos refazer o Exemplo 4, isto é, calcular Exemplos onde, considerando agora, D ( x + ) y dxdy {(, ) :, } D= xy x + y x.4.4 y (, ) J y = f x y dx uma vez que a região D pode ser considerada como a região delimitada pelas curvas dadas por x = e x = y, para y..43 Solução: Neste caso, temos Então, D Figura.: A região D. x + y dxdy = f x y dx dy y ( ) (, ).44 y y 4 x y dx dy x xy dy y y y dy + = + = + = 3 (Verifique! Uma observação importante que facilita os cálculos: y y dy = pois o integrando é uma função ímpar)..45 Fundamentos da Matemática II AMBIENTE NA TEA

13 76 Licenciatura em Ciências USP/Univesp.6 Integrais triplas Uma integral tripla de uma função f (x,y,z) definida sobre um paralelepípedo 3 {(,, ) :,, } = xyz a x bc y de z f.46 no espaço xyz será representada pela expressão f (,, ) x y z dxdydz.47 Em seguida, será considerado o caso em que temos uma região limitada L do espaço, isto é, tal que existe um paralelepípedo que contém L. O procedimento, para definir a integral tripla de uma função f definida num subconjunto L limitado do espaço, e, portanto, contido num paralelepípedo, é, em certo sentido análogo ao que foi realizado para a definição da integral dupla. Consideremos uma partição i j k {,, :,,,,,,,,,,, } P= x y z i= n j= mk= p do paralelepípedo e, para cada terna (i, j, k), seja (x i, y j, z k ) um ponto escolhido arbitrariamente no sub-paralelepípedo ijk resultante da partição considerada. O número n m p i= j= k= (,, ) f x y z x y z i j k i j k.48 é denominado Soma de iemann de f, relativa à partição P e aos pontos (x i, y j, z k ). Observemos que f (x i, y j, z k ) deve ser substituído por zero se o particular ponto não está na região limitada L considerada inicialmente. Dada então a partição P do paralelepípedo que contém L, indicamos por o maior dos números x,..., x n, y,..., y m, z,..., z p, e definimos então L n m p (,, ) lim (,, ) f x y z dxdydz = f x y z x y z i = j = k = i j k i j k.49 TÓPICO Integração Múltipla

14 Licenciatura em Ciências USP/Univesp 77 onde L é a região limitada sobre a qual está sendo calculada a integral tripla segundo iemann da função f. Quando o limite existe dizemos que a função f é integrável, segundo iemann, em L. Definimos também o volume de L = L dxdydz.5 A fim de calcular uma integral tripla sobre uma região limitada L, observamos que se a função f é contínua em L então sendo L {( xyz,, ) : g( xy, ) z hxy (, )} = onde g e h são funções contínuas em K. Analogamente, L (,, hxy, f x y z) dxdydz = f ( x, y, z) dz dxdy gxy (, ) K.5 L K sendo L {( xyz,, ) : g( xz, ) z h( xz, )} = onde g e h são funções contínuas em K e sendo L {( xyz,, ) : g ( yz, ) z h ( yz, )} = onde g e h são funções contínuas em K. h xz, f ( x, y, z) dxdydz = f ( x, y, z) dy dxdz g ( xz, ) L K h xy, f ( x, y, z) dxdydz = f ( x, y, z) dx dydz g ( xy, ).5.53 Exemplo 6 Vamos determinar Exemplos onde L ydxdydz.54 {(,, ) :, 3, } L= xyz x y x z x y.55 Fundamentos da Matemática II AMBIENTE NA TEA

15 78 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Solução: Vejamos, em primeiro lugar, que o conjunto L também pode ser escrito da seguinte maneira: {(,, ) :,(, ) } L= xyz z x y xy K.56 onde {(, ) :, 3 } K= xy x y x.57 Então, Mas, ydxdydz = L K x y ydz dxdy.58 Logo x y x y [ ] ydz = yz = y x y.59 Como segue que L 3x ydxdydz = y. ( x y) dxdy y. ( x y) dy = dx 3 3 K 3 3x x y. ( x y) dy = x ( xy y ) dy = xy y = x 9x = x 3 L 3 4 9x 9x ydxdydz = dx 8 = = Exemplo 7 Vamos calcular onde L x yzdxdydz.63 {(,, ) :,, } L = x y z x y x+ y z x+ y+.64 TÓPICO Integração Múltipla

16 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Solução: Vejamos, em primeiro lugar, que o conjunto L também pode ser escrito da seguinte maneira: {(,, ) :, (, ) } L= xyz x+ y z x+ y+ xy K onde {(,, ) :, } K= xyz x y.66 Então, x+ y+ x+ y+ z x yzdxdydz = x yzdz dxdy = x y dxdy = x+ y L K K x+ y x y x y = ( x y ) ( x y) dxdy = ( x + y) + dxdy = K K x y x x x y y y = x y + x y + dx dy = y + y + y dy = dy = y y 5 3 = + = + = Analogamente, é possível estender o conceito de integração múltipla de funções para um número maior de variáveis..7 Mudança de variáveis de Integração Em muitos casos, é possível efetuar uma integral múltipla de uma forma mais simples mediante uma mudança de variáveis de integração. A conveniência da escolha de novas variáveis de integração é ditada pela geometria da região sobre a qual a função f é definida, isto é, o domínio de f. Se tal região for um retângulo, a escolha natural recai sobre as coordenadas cartesianas. Se a região for um círculo, no entanto, a melhor escolha são as coordenadas polares. A análise feita a seguir considera um conjunto arbitrário de coordenadas. Iniciaremos com o caso da integral dupla. Fundamentos da Matemática II AMBIENTE NA TEA

17 8 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Sejam u e v duas coordenadas (ditas generalizadas) definidas como funções das coordenadas cartesianas: u = u(x,y) e v = v(x,y). Suponhamos conhecidas também as transformações inversas x = x(u,v) e y = y(u,v). Para o que segue, é importante definir uma função denominada jacobiano de uma transformação. Seja T uma transformação, T : A, que, a cada par (u,v) pertencente ao aberto A, associa o par (x,y) tal que x = x(u,v) e y = y(u,v), isto é, T(u,v) = (x,y).68 Figura.: A transformação T : A. A matriz jacobiana da transformação é a seguinte matriz x x ( xy, ) u v = ( uv, ) y y u v e o jacobiano é definido como o determinante dessa matriz x x ( xy, ) u v J = det ( uv, ) = y y u v ou seja, é o determinante da matriz das derivadas parciais. Mediante uma mudança de variáveis da forma (.68), uma integral dupla se escreve, em termos das novas variáveis (u,v) como: S ( xy, ) ( uv, ) f ( x, y) dxdy = f ( T ( u, v) ) dudv TÓPICO Integração Múltipla

18 Licenciatura em Ciências USP/Univesp 8 onde det ( xy, ) ( uv, ) sendo a imagem de S pela transformação T. é o módulo do jacobiano da transformação T, com det ( xy, ) ( uv, ), Exemplo 8 Vamos calcular onde Exemplos sen cos ( x+ ) ( x y) y dxdy {(, ) :,, } = xy x y x y.7.73 isto é, o trapézio ABDE na figura abaixo. Figura.: A região é o trapézio ABDE. Solução: Vamos fazer a mudança de variáveis: de onde obtemos que define a transformação T. Daí, o jacobiano da transformação é: u = x+ y v = x y u+ v x = u v y = Fundamentos da Matemática II AMBIENTE NA TEA

19 8 Licenciatura em Ciências USP/Univesp x x ( xy, ) u v det det det ( uv, ) = = = y y u v Como {(, ) :,, } = xy x y x y temos, uma vez que isto é, u = x+ y v = x y e u+ v x = u v y = v, u+ v e u v v, v u e v u.8 ou seja Figura.3: A região S é o trapézio LMNO. {(, ) :,, } S= uv v v uv u.8 que é o trapézio LMNO. Então sen ( x+ y) sen u v sen u dxdy = dudv = du dv cos x y cos v = v cos v S ( v) cos u cos cos v v = v dv dv cos v = + = cos v cos v.8 TÓPICO Integração Múltipla

20 Licenciatura em Ciências USP/Univesp 83 Logo Exemplo 9 Vamos calcular sen cos ( x+ ) ( x y) y dxdy =.83 e ( x+ y) /( x y) dxdy.84 sabendo que é o trapézio de vértices (,), (3,), (, ), (, 3). Solução: Vamos fazer a mudança de variáveis u = x+ y v = x y pois não sabemos calcular facilmente a integral dada. Obtemos então: u+ v x = u v y = que define a transformação T. Daí, o jacobiano da transformação é: x x ( xy, ) u v det det det ( uv, ) = = = y y u v A fim de determinar S, observamos que a região, pela transformação dada, é levada num outro trapézio. Fundamentos da Matemática II AMBIENTE NA TEA

21 84 Licenciatura em Ciências USP/Univesp De fato: Figura.4: é o trapézio ABCD. Como O lado AB tem y = logo u = v. O lado CD tem x = logo u = v. O lado AD tem y = x logo v =. O lado BC tem y = x 3 logo v = 3. u = x+ y v = x y e u+ v x = u v y =.88 Então, Figura.5: S é o trapézio ABDE. ( x+ y 3 )/( x y) / v uv uv / e dxdy = e dudv = e du dv = v S 3 3 uv / v = ve du = ve ve dv v = v 3 = e e = e e.89 TÓPICO Integração Múltipla

22 Licenciatura em Ciências USP/Univesp 85.8 Integrais em coordenadas polares Um exemplo importante de mudança de variáveis é aquele que permite a passagem das coordenadas cartesianas (x,y) para as coordenadas polares (ρ,ϕ), por meio da transformação definida pelas equações: x =ρcosϕ y =ρ sen ϕ.9 O uso de tais coordenadas se revela útil quando o domínio inicial, no espaço xy, for da forma mostrada na Figura.6, por exemplo, e puder ser transformado num retângulo no espaço ρϕ: {(, ) :, } = ρϕ ρ ρ ρ ϕ ϕ ϕ.9 Sob uma tal transformação, uma função de duas variáveis f(x,y) é transformada numa função F(ρ,ϕ), isto é, Figura.6: O domínio inicial é transformado pela mudança de coordenadas num retângulo. (, ) ( ρϕ, ) f xy F.9 A fim de determinar f (, ) x y dxdy.93 Fundamentos da Matemática II AMBIENTE NA TEA

23 86 Licenciatura em Ciências USP/Univesp usando a transformação temos x =ρcosϕ y =ρ sen ϕ.94 J x ρ x ϕ cosϕ ρsenϕ cos sen = = =ρ ϕ+ρ ϕ=ρ y y sen ϕ ρcosϕ ρ ϕ.95 Logo S ( xy, ) (, ) f ( x, y) dxdy = F ( ρϕ, ) dρdϕ ρϕ.96 Exemplos Exemplo Usando coordenadas polares, encontre a integral dupla yx dxdy sabendo que, com a mudança de coordenadas, S é transformado em S π D = ( ρϕ, ) : ρ, ϕ Solução: A fim de determinar usando as coordenadas polares S f (, ) x y dxdy.99 x =ρcosϕ y =ρ sen ϕ. TÓPICO Integração Múltipla

24 temos Logo J x ρ x ϕ cosϕ ρsenϕ Licenciatura em Ciências USP/Univesp = = =ρ ϕ+ρ ϕ=ρ y y sen ϕ ρcosϕ ρ ϕ S Quando escrita em termos de coordenadas polares, a integral acima se escreve como: Exemplo Determinar a área de um círculo efetuando a integral bidimensional utilizando coordenadas polares. cos Solução: Lembramos primeiramente que a área é dada pela expressão D ( xy, ) (, ) sen f ( x, y) dxdy = F ( ρϕ, ) dρdϕ ρϕ π 4 S yx dxdy sen. cos d d 4 sen.cos d d D π ϕ 4 ρ cos = ρ dρ = d 3 ρ ρ = = = 5 = ρ ϕρ ϕ ρ ϕ ρ= ρ ϕ ϕ ϕ ρ= onde a região é o círculo centrado na origem e raio r, ou seja, A = dxdy {(, ) : } = xy x + y = r.4.5 Usando coordenadas polares temos J x p x =ρcosϕ y =ρ sen ϕ x ϕ cosϕ ρsenϕ = = =ρ ϕ+ρ ϕ=ρ y y sen ϕ ρcosϕ p ϕ cos sen.6.7 Fundamentos da Matemática II AMBIENTE NA TEA

25 88 Licenciatura em Ciências USP/Univesp e é transformado no retângulo [,r] [,π].8 isto é { } S = ρϕ, : ρ r, ϕ π Logo, r π r π π ρ r r dxdy = rdρdϕ= ρdρ dϕ= dϕ= dϕ= ϕ =πr S π `.9..9 Integrais em coordenadas esféricas Outro exemplo importante de mudança de variáveis é aquele que utiliza as coordenadas esféricas definidas por x =ρsenϕcosθ y =ρ sen ϕ sen θ z =ρ cos ϕ onde ρ, θ π e ϕ π. É conveniente utilizar essa mudança de variáveis quando a região sobre a qual está sendo calculada uma integral tripla puder ser descrita como um paralelepípedo nas variáveis ρ, θ e ϕ isto é. {(,, ) :,, } D = ρθϕ ρ ρ ρ θ θ θ ϕ ϕ ϕ. TÓPICO Integração Múltipla

26 Licenciatura em Ciências USP/Univesp 89 Figura.7 O determinante jacobiano da transformação é: x x x ρ θ ϕ senϕcosθ ρsenϕsen θ ρcosϕcosθ y y y J = = sen ϕsen θ ρsenϕcos θ ρcosϕsenθ = ρ θ ϕ cos ϕ -ρsenϕ z z z ρ θ ϕ senϕcosθ sen θ cosϕcosθ sen sen cos cos sen cosϕ -senϕ =ρ ϕ ϕ θ θ ϕ θ sen =.3 sen sen cos cos sen cos cos sen sen =ρ ϕ ϕ θ ϕ θ ϕ θ ϕ θ = = ρ ϕ sen Logo, J ( xyz,, ) (,, ) = = ρ senϕ =ρ senϕ ρθϕ.4 Convém notar que, como ϕ π, senϕ e, no interior do domínio D, o jacobiano da transformação é diferente de zero, ou seja a transformação é inversível. Fundamentos da Matemática II AMBIENTE NA TEA

27 9 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Figura.8 Exemplos Exemplo O volume de uma esfera de raio, por exemplo, se escreve em coordenadas esféricas como a seguinte integral tripla: π π π π V= Jdρdθdϕ= ρ dρ dθ senϕdϕ= 3 4 = π = π 3 3 Mais geralmente, se g for uma função de três variáveis (x, y, z), então a integral tridimensional sobre uma região limitada L pode ser escrita, no domínio D = {( ρθϕ,, ) : ρ ρ ρ, θ θ θ, ϕ ϕ ϕ }, como: L Onde G é a função g escrita em termos das coordenadas esféricas: 3 g x, y, z dxdydz g sen cos, sen sen, cos sen d d d ρ θ ϕ ρ θ ϕ = G ρθϕ,, ρsenϕdρdθdϕ = ρ ϕ θ ρ ϕ θ ρ ϕ ρ ϕ ρ θ ϕ = D.5.6 G ( ρθϕ,, ) = g( xyz,, ).7 Exemplo 3 Vamos calcular o volume do elipsóide x y z a b c TÓPICO Integração Múltipla

28 Licenciatura em Ciências USP/Univesp 9 Seja x y z E= ( xyz,, ) : + + a b c Utilizando coordenadas esféricas x =ρ sen ϕ cos θ a y =ρsenϕsenθ b z =ρ cos ϕ c isto é, x = aρsenϕcosθ y = b ρ sen ϕ sen θ z = c ρ cos ϕ em.9.. temos: Logo, {(,, ) :,, } D = ρθϕ ρ θ π ϕ π x x x ρ θ ϕ asenϕcosθ aρsenϕsen θ aρcosϕcosθ y y y J = = bsen ϕsen θ bρsenϕcos θ bρcosϕsenθ = ρ θ ϕ ccos ϕ -cρsenϕ z z z ρ θ ϕ senϕcosθ sen θ cosϕcosθ = ρ ϕ ϕ θ θ abc sen sen sen cos cosϕsen θ= = ρ ϕ ϕ θ ϕ θ ϕ θ ϕ θ = abc = ρ ϕ abc cos ϕ -senϕ sen sen cos cos sen cos cos sen sen sen ( xyz,, ) (,, ) = = ρ ϕ ρ θ ϕ ρθϕ dxdydz abc sen d d d..3.4 Fundamentos da Matemática II AMBIENTE NA TEA

29 9 Licenciatura em Ciências USP/Univesp e o volume do elipsóide é: E π π dxdydz = abcρ senϕdρdθd ϕ= abc dθ senϕdϕ ρ dρ= D 3 π π ρ 4 = abc[ θ] [ cosϕ] abc [ ] abc = π + = π É importante observar que, no cálculo da integral tripla acima, foi utilizada a observação feita logo após o Exemplo 3. TÓPICO Integração Múltipla

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