INTEGRAIS DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

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1 INTEGAIS DE FUNÇÕES DE VÁIAS VAIÁVEIS Gil da Costa Marques. Introdução. Integrais Duplas.. Propriedades das Integrais Duplas.. Cálculo de Integrais Duplas..4 Integrais duplas em regiões não retangulares. Integrais triplas.4 Mudança de variáveis de Integração.5 Integrais em coordenadas polares.6 Integrais em coordenadas esféricas Licenciatura em Ciências USP/ Univesp

2 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 95. Introdução O problema de calcular a área de uma região do plano levou-nos ao conceito de integral definida de funções de uma variável. Para o cálculo do volume de um sólido faremos um procedimento semelhante que nos levará ao conceito de integral dupla. Veremos pois como trabalhar com integrais múltiplas, duplas ou triplas.. Integrais Duplas Tais integrais são as mais simples entre as integrais múltiplas, pois estamos falando, nesse caso, de integrais de funções de duas variáveis apenas. Assim, uma integral dupla de uma função f (x,) definida sobre um retângulo = ( x, ) : a x b, c d. no plano x será representada pela expressão f ( ) x, dxd A seguir, será considerado o caso em que temos uma região limitada L do plano, isto é, tal que existe um retângulo que contém L. A integral dupla apresentada em. é definida de uma forma análoga, em certo sentido, àquela relativa a integrais de uma variável. Naquele caso, o conceito chave é o de subdividir um intervalo em n subintervalos e, considerando-se o valor da função num ponto qualquer de cada subintervalo, definir a integral como o limite de uma determinada soma denominada Soma de iemann quando o comprimento do maior subintervalo e, portanto, de todos os subintervalos, tende a zero (se tal limite existir). A fim de definir a integral dupla de uma função f definida num subconjunto L limitado do plano, e, portanto, contido num retângulo, consideramos uma partição.

3 96 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo { i j } P= ( x, ): i =,,, n, j =,,, m de e, para cada par (i, j), seja (x i, j ), um ponto escolhido arbitrariamente no sub-retângulo ij resultante da partição considerada. O número n m i= j= f ( x, ) x i j i j. é denominado Soma de iemann de f, relativa à partição P e aos pontos (x i, j ). Observe que f (x i, j ) deve ser substituído por zero se o particular ponto não estiver na região limitada L considerada inicialmente. Note ainda que, se f (x i, j ) >, f (x i, j ). x i j será o volume do paralelepípedo cuja base tem área A ij = x i j e cuja altura é f (x i, j ). Figura.: A região L subdividida em retângulos. Figura.: O ij-ésimo paralelepípedo cujo volume é f(x i, j ). x i j Integrais de funções de várias variáveis

4 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 97 Dada a partição P do retângulo, indicamos por o maior dos números x i,..., x n, j,..., m, e definimos, então, ( ) = ( ) = ( ) = L n m f x, dxd lim f x. x lim f x. A i j i j i j ij i= j i= j= n m.4 onde L é a região limitada sobre a qual está sendo calculada a integral dupla segundo iemann da função f. Quando o limite existe, dizemos que a função f é integrável, segundo iemann, em L. Definimos também a área de L = L dxd.5 e, sendo f integrável em L, com f ( x, ).6 em L, considerando a região A compreendida entre o gráfico de f e o plano z =, isto é, A x, z, : z f x, = ( ) ( ).7 definimos o, = ( ) volume de A f xdxd L.8 Figura.: A área de L é igual numericamente ao volume do sólido cuja base é L e cuja altura é constante e igual a.

5 98 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo.. Propriedades das Integrais Duplas São válidas as seguintes propriedades para as integrais duplas: Se f e g são funções integráveis em e c é uma constante, então, Propriedade ( ) = ( ) cf xdxd, c f xdx, d.9 Propriedade ( )+ ( ) = ( ) + ( ) f x, g x, dxd f x, dxd g x, dx d Propriedade Se f (x, ) g (x,), então, f x, dxd g xdxd, ( ) ( ). Propriedade 4 Se =, e e não se sobrepõem, então: ( ) = ( ) + ( ) f x, dxd f xdxd, f x, dxd.. Figura.4: A região =. Integrais de funções de várias variáveis

6 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 99.. Cálculo de Integrais Duplas Tendo em vista o fato de que, normalmente, não se recorre à definição de integral dupla.4 para efetuar o cálculo dessa integral, é importante desenvolver métodos simples de efetuá-las. A seguir, daremos alguns exemplos. Exemplos Exemplo Consideremos o caso simples em que a região fechada é o retângulo de lados x = a, x = b, = c e = d. Vamos calcular, usando integral dupla, a área desse retângulo, bem como o volume do bloco que tem por base esse retângulo e altura igual a. esolução: Figura.5: O retângulo [a,b] [c,d]. Nosso objetivo é encontrar b d b d I( a, bcd,, )= f ( xdxd, ) = f ( x, ) d dx a c a c ou alternativamente: b d d b I( a, bcd,, )= f ( xdx, ) d = f ( x, ) dxd a c c a A mudança da ordem de integração é sempre válida desde que a função f dada seja integrável no retângulo = ( x, ) : a x b, c x d e que existam f x, dx e f x, d, para todo [c,d ] e para todo x [a,b ], respectivamente. b ( ) a d ( ) c..

7 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo No presente caso, consideramos a função f constante e igual a sobre o retângulo, isto é, f (x,) = e a x b, c d: ou Assim, a área do retângulo, bem como o volume do bloco que tem por base esse retângulo e altura igual a são numericamente iguais a (b a).(d c). No cálculo feito acima, para encontrar o valor da integral dupla, são efetuadas duas integrações simples sucessivas, que são denominadas integrais iteradas. Exemplo Calcule a integral: b d b d b I( a, bcd,, )= dxd= ddx d c dx d c. b a c a = ( ) = c a ( ) ( ) a b d d b d I( a, bcd,, )= dxd= dxd b a d b a. d a c c = ( ) = a c ( ) ( ) c.4.5 I = 5 x+ dxd onde D é o retângulo definido por x e. D ( ).6 Figura.6: O retângulo D. esolução: x I = ( x+ ) dx d x d d = = [ + 4 ] = + =.7 Convém notar que, na primeira integral calculada, a variável de integração é x no intervalo [,], enquanto, na segunda, a variável de integração é no intervalo [,]. Poderíamos também ter encontrado o valor de I = 5 x+ dxd D ( ).8 Integrais de funções de várias variáveis

8 fazendo I = ( x+ ) d dx= 5 5x+ dx = 5x+ dx Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo [ ] = 5x + x =.9 e, nesse caso, na primeira integral, a variável de integração é no intervalo [,], enquanto, na segunda, a variável de integração é x no intervalo [,]. Exemplo Vamos verificar que são iguais: a. xdx d b. xd dx.. esolução: De fato, xdx d = 4 x 8 d 4 = 4 4 d = d = =. e xd dx x 6 = dx x dx = 4 6 x 6 4 = = =. Uma observação importante é a seguinte: se a função integrando f puder ser escrita como um produto de duas funções, uma delas dependendo apenas de uma variável e a outra dependendo apenas de outra variável, então, a integral dupla de f é mais simples. De fato, sendo f ( b d d x, ) dxd = g ( x ) h ( ) b dxd = g ( x ) h ( ) d dx a a c [ ab, ] [ cd, ] c.4 onde g, que depende da variável x somente, está definida em [a,b], e h, que depende apenas de,

9 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo está definida em [c,d], notamos que na integral interna acima, g(x) é constante com relação a, e podemos escrever: b a d c b d b d g( x) h( ) d dx = g( x) h( ) d dx = g( x)dx h( ) d a c a c.5 Assim, nesse caso, a integral dupla pode ser escrita como o produto de duas integrais de uma variável...4 Integrais duplas em regiões não retangulares Integrais sucessivas, como as apresentadas anteriormente, podem ser utilizadas quando as curvas que delimitam a região sobre a qual a função é definida não são tão simples como no caso das regiões retangulares. Consideremos uma função f definida na seguinte região: { } D x, : a x b, g x g x = ( ) ( ) ( ).6 Figura.7: A região onde f está definida. Nesse caso, definimos a integral I(a,b) como a dada por b g x ( ) I( a, b)= f ( xdx, ) d = f ( x, ) d dx D a g x ( ) Definindo a função I(x) como g( x) ( )= ( ) I x f x, d g( x).7.8 concluímos que o problema de determinar a integral dupla definida em D, após a determinação de I(x), se reduz ao problema de calcular a integral de uma função de uma variável apenas, ou seja: I a, b b ( )= ( ) a I x dx.9 Integrais de funções de várias variáveis

10 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Exemplo 4 Vamos calcular onde D= ( x, ) : x +, x. ( ) D x+ dxd. esolução: Em primeiro lugar, observamos que D é um semicírculo centrado na origem e de raio unitário, para o qual x. Figura.8: A região D. x Consideremos I( x)= ( x+ ) d, função essa que depende apenas da variável x. Sendo assim, x Agora, 4 4x x dx = (Verifique!) Logo, D x x x+ dx d ( x ) d dx = x + = dx 4x x dx x x ( ) = + D x 4 x+ dx d ( x ) d dx = x ( ) = +..

11 4 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Situação análoga ocorre quando a função f está definida numa região do seguinte tipo: { } D= ( x, ) : h ( ) x h ( ), c d Nesse caso, definimos a integral J(c,d) como a que é dada por. d h ( ) J( c, d)= f ( xdxd, ) = f ( x, ) dx d D c h ( ) Definindo a função J ( ) como.4 Figura.9: A região onde f está definida. h ( ) ( )= ( ) J f x, dx h( ).5 concluímos, analogamente, que o problema de determinar a integral dupla definida em D, após a determinação de J (), se reduz ao problema de calcular a integral de uma função de uma variável apenas, ou seja: ( )= ( ) J c, d J d d c.6 Exemplo 5 Vamos refazer o Exemplo 4, isto é, calcular ( ) D x+ dxd onde D= ( x, ) : x +, x, tendo agora ( )= ( ) J f x, dx.7.8 uma vez que a região D pode ser considerada como a região delimitada pelas curvas dadas por x = e x. =, para Figura.: A região D. esolução: Neste caso, temos D x+ dxd f x dx d, ( ) = ( ).9 Integrais de funções de várias variáveis

12 Então, Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo x+ dx d = x x d + = + ( ) d = Verifique! Uma observação importante que facilita os cálculos: d =, pois o integrando é uma função ímpar.. Integrais triplas A integral tripla de uma função f (x,,z) definida sobre um paralelepípedo = ( x, z, ) : a x bc, d, e z f.4 no espaço xz será representada pela expressão f ( x, zdx, ) d dz.4 Em seguida, será considerado o caso em que temos uma região limitada L do espaço, isto é, tal que existe um paralelepípedo que contém L. O procedimento, para definir a integral tripla de uma função f definida num subconjunto L limitado do espaço e, portanto, contido num paralelepípedo, é, em certo sentido, análogo ao que foi realizado para a definição da integral dupla. { i j k } Consideremos uma partição P= ( x,, z ): i =,,, n, j =,,, m, k =,,, p do paralelepípedo e, para cada terna (i, j, k), seja (x i, j, z k ) um ponto escolhido arbitrariamente no sub-paralelepípedo ijk resultante da partição considerada.

13 6 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo O número n i= m p ( ) j= k = f x,, z x z i j k i j k.4 é denominado Soma de iemann de f, relativa à partição P e aos pontos (x i, j, z k ). Observe que f (x i, j, z k ) deve ser substituído por zero se o particular ponto não estiver na região limitada L considerada inicialmente. Dada então a partição P do paralelepípedo que contém L, indicamos por o maior dos números x,..., x n,,..., m, z,..., z p, e definimos, então, L n f x, zdxd, dz lim f x,, z x i= m p ( ) = ( ) j= k = i j k i j z k.44 onde L é a região limitada sobre a qual está sendo calculada a integral tripla, segundo iemann da função f. Quando o limite existe, dizemos que a função f é integrável, segundo iemann, em L. Definimos também o volume de L = dxddz A fim de calcular uma integral tripla sobre uma região limitada L, observamos que, se a função f é contínua em L, então, L.45 L hx f ( x zdx ) d dz = (, ) f ( x zdz ),,,, dx d K g( x, ).46 sendo L x, z, : g x, z h x,, onde g e h são funções contínuas em K, uma região = ( ) ( ) ( ) limitada no plano xz. Analogamente, h x z (, ) f ( x, zdxddz, ) = f ( x, zd, ) dxdz K (, ) L g xz.47 sendo L x, z, : g x, z z h x, z, onde g e h são funções contínuas em K,, uma região limitada no plano xz, e = ( ) ( ) ( ) Integrais de funções de várias variáveis

14 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo h x z (, ) f ( x, zdxddz, ) = f ( x, zdx, ) ddz K (, ) L g xz 7.48 sendo L x, z, : g, z z h, z, onde g e h são funções contínuas em K. = ( ) ( ) ( ) Exemplo 6 Vamos determinar dxd dz onde L= {( x, z, ): x, x, z x }. L esolução: Vejamos, em primeiro lugar, que o conjunto L também pode ser escrito da seguinte maneira: onde Então, x x = [ ] = ( ) Mas, dz z x Logo, x x x Como. x d x d resulta que L ( ) = L= ( x, z, ): z x, ( x, ) K ( ) = K = ( x, ) : x, x L dxddz = K x dz dxd x dx ddz =. ( x ) dx d =. ( x ) d dx K L dxddz = x 9x 9x 9x = = 9x dx = 4 9x =

15 8 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Exemplo 7 Vamos calcular = {( ) } x zdxddz, onde L x, z, : x,, x z x L. esolução: Vejamos, em primeiro lugar, que o conjunto L também pode ser escrito da seguinte maneira: L= ( x, z, ): x+ z x+ +, ( x, ) K.54 onde Então, K = ( x, z, ): x, x+ + x+ + z x zdxddz = x zdz dxd = x = dxd + + L K x K x x ( ) ( ) x = x + + x + = ( + ) + = dx d x dx d K K 4 x x x x = x + x + dx d = + + d = d = = + = + = Analogamente, é possível estender o conceito de integração múltipla de funções para um número maior de variáveis..4 Mudança de variáveis de Integração Em muitos casos, é possível efetuar uma integral múltipla de uma forma mais simples mediante uma mudança de variáveis de integração. A conveniência da escolha de novas variáveis de integração é ditada pela geometria da região L sobre a qual a função f é definida, isto é, o domínio de f. Se tal região for um retângulo, a escolha natural recai sobre as coordenadas cartesianas. Se a região for um círculo, no entanto, a melhor escolha, no caso de duas variáveis, são as coordenadas polares. A análise feita a seguir considera um conjunto arbitrário de coordenadas. Iniciaremos com o caso da integral dupla. Integrais de funções de várias variáveis

16 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 9 Sejam u e v duas coordenadas (ditas generalizadas) definidas como funções das coordenadas cartesianas: u = u(x,) e v = v(x,). Suponhamos conhecidas também as transformações inversas x = x(u,v) e = (u,v). Para o que vem a seguir, é importante definir uma função denominada jacobiano de uma transformação. Seja T uma transformação, T : A, que, a cada par (u,v) pertencente ao aberto A, associa o par (x,) tal que x = x(u,v) e = (u,v), isto é, T(u,v) = (x,). Figura.: A transformação T : A. A matriz jacobiana da transformação é a seguinte matriz ( x, ) ( uv, ) = x u u x v v.57 e o jacobiano é definido como o determinante dessa matriz J = det ( x, ) = ( uv, ) x u u x v v.58 ou seja, é o determinante da matriz das derivadas parciais.

17 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Mediante uma mudança de variáveis da forma T(u,v) = (x,), uma integral dupla se escreve, em termos das novas variáveis (u,v) como: onde det ( x, ) ( uv, ) pela transformação T. x f ( x ) dxd = f ( T( u v) ) (,,, ) du dv uv, S ( ) é o módulo do jacobiano da transformação T, sendo a imagem de S.59 Exemplo 8 Vamos calcular onde sen cos ( ) ( ) x+ x dxd.6 = ( x, ) : x, x,.6 isto é, o trapézio ABDE na Figura.. esolução: Vamos fazer a mudança de variáveis: Figura.: A região é o trapézio ABDE. u= x+ v= x.6 de onde obtemos u v x = + u v =.6 que define a transformação T. Integrais de funções de várias variáveis

18 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Daí, o jacobiano da transformação é: x x ( x, ) u v det = det = det = ( uv, ) u v.64 Como = ( x, ) : x, x,.65 temos, uma vez que u= x+ v= x e u v x = + u v =.66 v, u+ v e u v isto é, v, v u e v u.67 ou seja Figura.: A região S é o trapézio LMNO. que é o trapézio LMNO. Então, Logo, ( ) S = ( u, v) : v, v u, v u v sen x+ cos x dx d sen u sen u = du dv = v v du ( ) cos dv = cos S v cosu v cosv cos( v) = v dv = + cosv dv = cos v cosv sen ( x+ ) dx d = cos x ( )

19 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Exemplo 9 ( x+ ) /( x ) Vamos calcular e dxd, sabendo que é o trapézio de vértices (,), (,), (, ), (, ). esolução: Vamos fazer a mudança de variáveis u= x+ v= x.7 pois não sabemos calcular facilmente a integral dada. Obtemos então: que define a transformação T. Daí, o jacobiano da transformação é: A fim de determinar S, observamos que a região, pela transformação dada, é levada num outro trapézio. De fato: u v x = + u v = x x ( x, ) u v det = det = det ( uv, ) u v =.7.7 Figura.4: é o trapézio ABCD. Integrais de funções de várias variáveis

20 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Como u= x+ v= x e u v x = + u v =.74 O lado LM tem = ; logo, u = v. O lado NO tem x = ; logo, u = v. O lado LO tem = x ; logo, v =. O lado MN tem = x ; logo, v =. Então, Figura.5: S é o trapézio LMNO. e ( v x+ ) ( x ) / uv / uv / dxd = e du dv = e du dv = S v uv / v = ve du = = ve ve dv v v = e e = e e.75.5 Integrais em coordenadas polares Um exemplo importante de mudança de variáveis é aquele que permite a passagem das coordenadas cartesianas (x,) para as coordenadas polares (ρ,φ), por meio da transformação definida pelas equações: x = ρcosϕ = ρsenϕ.76

21 4 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo O uso de tais coordenadas se revela útil quando o domínio inicial, no espaço x, for da forma mostrada na Figura.6, por exemplo, e puder ser transformado num retângulo no espaço ρφ: { ρϕ ρ ρ ρ ϕ ϕ ϕ} = (, ):,.77 Sob uma tal transformação, uma função de duas variáveis f(x,) é transformada numa função F(ρ,φ), isto é, Figura.6: O domínio inicial é transformado pela mudança de coordenadas num retângulo. ( ) ( ) f x, F ρϕ, A fim de determinar f ( x, ) dxd, usando a transformação x = ρcosϕ = ρsenϕ temos J = x ρ ρ x ϕ ϕ = cosϕ ρsenϕ senϕ ρcosϕ = ρcos ϕ+ ρsen ϕ= ρ.8 Logo, x f ( x ) dxd = F( ) (,, ρϕ, ) d ρ d ϕ ρϕ, S ( ).8 Integrais de funções de várias variáveis

22 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 5 Exemplo Usando coordenadas polares, encontre a integral dupla x dxd sabendo que, com a mudança de S coordenadas, S é transformado em D= ( ρϕ, ): ρ, ϕ π 4. esolução: ( ) A fim de determinar f x, dxd, usando as coordenadas polares S x = ρcosϕ = ρsen ϕ.8 temos J = x ρ ρ x ϕ ϕ cosϕ ρsen ϕ = = ρcos ϕ+ ρsen ϕ= ρ senϕ ρcosϕ.8 Logo, S x f ( x ) dxd = F( ) (,, ρϕ, ) d ρ d ϕ ρϕ, D ( ).84 Quando escrita em termos de coordenadas polares, a integral acima se escreve como: S π 4 4 x dx d = ( ρsen ϕρ. cos ϕ) ρdϕdρ= ρ sen ϕ.cos ϕdϕ dρ = D = ρ = 5 π 4 cos ϕ 4 5 ρ dρ= ρ dρ = 5 =.85

23 6 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Exemplo Determinar a área de um círculo efetuando a integral bidimensional utilizando coordenadas polares. esolução: Lembramos primeiramente que a área é dada pela expressão onde a região é o círculo centrado na origem e raio r, ou seja, A = dxd = ( x, ) : x + = r Usando coordenadas polares x = ρcosϕ = ρsen ϕ.88 temos J = x p p x ϕ ϕ cosϕ ρsen ϕ = = ρcos ϕ+ ρsen ϕ= ρ senϕ ρcosϕ.89 e é transformado no retângulo isto é, Logo, [,r] [,π] S = ( ρϕ, ): ρ r, ϕ π π r r dxd = rd d = π d d d d S = π ρ ρ ϕ ρ ρ ϕ ϕ = ϕ r ϕ π = π ` = r r.9 Integrais de funções de várias variáveis

24 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 7.6 Integrais em coordenadas esféricas Outro exemplo importante de mudança de variáveis é aquele que utiliza as coordenadas esféricas definidas por x = ρsenϕcosθ = ρsenϕsenθ.9 z = ρcosϕ onde ρ, θ π e φ π. É conveniente utilizar essa mudança de variáveis quando a região sobre a qual está sendo calculada uma integral tripla puder ser descrita como um paralelepípedo nas variáveis ρ, θ e φ isto é, { ρθϕ ρ ρ ρ θ θ θ ϕ ϕ ϕ} D = (,, ):,,.9 Figura.7: egião no espaço associada ao paralelepípedo nas coordenadas esféricas.

25 8 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo O determinante jacobiano da transformação é: J = x x x ρ θ ϕ senϕcosθ ρsenϕsenθ ρcosϕcosθ = senϕsenθ ρsenϕcosθ ρcosϕsenθ ρ θ ϕ cosϕ ρsenϕ z z z ρ θ ϕ senϕcosθ senθ cosϕcosθ = ρ senϕsenϕsenθ cosθ cosϕsen θ = cosϕ senϕ =.9 Logo, = ρ senϕ sen ϕ.cos θ cos ϕ.sen θ cos ϕ.cos θ sen ϕ.sen θ = = ρ senϕ J xz = (,, ) ρθϕ,, ( ) = sen = ρ ϕ ρ senϕ.94 Convém notar que, como φ π, senφ e, no interior do domínio D, o jacobiano da transformação é diferente de zero, ou seja a transformação é inversível. Integrais de funções de várias variáveis Figura.8: Elemento de volume das coordenadas esféricas.

26 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 9 Exemplo O volume de uma esfera de raio, por exemplo, se escreve em coordenadas esféricas como a seguinte integral tripla: π π π π V = Jdρdθdϕ= ρ dρ dθ sen ϕdϕ= = = 4 π π.95 Geralmente, se g for uma função de três variáveis (x,, z), então, a integral tridimensional sobre uma região limitada L pode ser escrita, no domínio D = {(ρ, θ, φ) : ρ ρ ρ, θ θ θ, φ φ φ }, como: L ( ) = ( ) g x, zdxddz, g ρsenϕcos θρ, senϕsen θ, ρcosϕ ρ senϕdρdθdϕ = ρ θ ϕ = G( ρθϕρ,, ) senϕdρdθdϕ ρ θ ϕ D onde G é a função g escrita em termos das coordenadas esféricas:.96 G( ρθϕ,, )= g( xz,, ).97 Exemplo Vamos calcular o volume do elipsoide x a x z Seja E = ( x, z, ): + + a b c Utilizando coordenadas esféricas z + +. b c x = ρsenϕcosθ a = ρsenϕsen θ b z = ρcosϕ c.98

27 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo isto é, x= aρsenϕcosθ = bρsenϕsen θ z = cρcosϕ.99 em D = {( ρθϕ,, ): ρ, θ π, ϕ π}, temos: J = x x x ρ θ ϕ ρ θ ϕ z z z ρ θ ϕ asenϕcosθ aρsenϕsen θ aρcosϕcosθ = bsenϕsen θ bρsenϕcosθ bρcosϕsen θ = ccosϕ cρsen ϕ. Logo, senϕcosθ senθ cosϕcosθ = abcρ sen ϕsenϕsen θ cosθ cosϕsen θ = cosϕ sen ϕ = abcρ senϕ sen ϕcos θ cos ϕsen θ cos ϕcos θ sen ϕsen θ = = abcρ sen ϕ xz dx d dz = (,, ) ρθϕ,, ( ) = abcρ sen ϕdρdθdϕ. e o volume do elipsoide é: E dxd dz = abcρ senϕdρdθdϕ= abc dθ sen ϕdϕ ρ dρ= D π π ρ = abc[ θ] ϕ = abc π [ + ] = 4 cos πabc [ ] É importante observar que, no cálculo da integral tripla acima, foi utilizada a observação feita logo após o Exemplo. π π. Integrais de funções de várias variáveis