Integrais Múltiplas. Integrais duplas sobre retângulos

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1 Integrais Múltiplas Integrais duplas sobre retângulos Vamos estender a noção de integral definida para funções de duas, ou mais, variáveis. Da mesma maneira que a integral definida para uma variável, nos fornece a área sob uma curva, as integrais de funções de duas variáveis determinam volumes sob superfícies. Além disso, também podemos calcular áreas usando a integral dupla. Vamos primeiro recordar os fatos que dizem respeito à integral de funções de uma variável. Assim, se f está definida em um intervalo [a,b], começamos dividindo [a,b] em n subintervalos [ i-, i ] de comprimento b-a/n e escolher pontos amostrais, * i, nesses subintervalos. Desta forma, formamos a soma de iemann: conforme figura abaio: Se tomarmos o limite da soma acima com de integral definida da função f em [a,b]:, vamos obter a definição

2 No caso especial onde a soma de iemann pode ser interpretada como a soma das áreas dos retângulos aproimantes da figura acima e representa a área sob a curva = f de a até b. Integrais duplas e cálculo de volume De maneira semelhante à ideia de derivada de função de uma variável, considere uma função de duas variáveis definida em um retângulo fechado: E suponhamos inicialmente que superfície de equação.. O gráfico desta função é uma Seja V o solido que está entre a região e a superfície do gráfico de S: conforme figura abaio:

3 Nosso objetivo é calcular o volume citado acima. Primeiro precisamos dividir o retângulo em sub-retângulos, da mesma forma que fizemos com o intervalo [a,b] para calcular a área sob o gráfico de uma função de uma variável. Fazemos isso, dividindo o intervalo [a,b] em m subintervalos [ i-, i ] de comprimento b - a/m e dividindo o intervalo [c,d] em n subintervalos [ i-, i ] de comprimento d - c/n. Traçando retas paralelas aos eios coordenados passando pelas etremidades dos subintervalos, formamos os sub-retângulos: onde cada sub-retângulo tem área, como na figura abaio: Se escolhemos um ponto amostral em cada sub-retângulo, então podemos aproimar a parte de S que está acima de cada por um paralelepípedo de base e altura, como na figura a seguir:

4 O volume deste paralelepípedo á a base de vezes a altura, isto é,. Se repetirmos este processo para todos os e somarmos os respectivos volumes dos paralelepípedos, conseguiremos uma aproimação para o volume total do sólido em questão, como segue: A soma dupla acima significa que para cada sub-retângulo calculamos o valor da função no ponto amostral, multiplicamos pela área do subretângulo e adicionamos os resultados, como na figura abaio:

5 De acordo com a figura, nossa intuição nos diz que quanto mais aumentarmos os valores de m e n, os paralelepípedos ficam mais finos, e desta forma, o volume V fica mais preciso. Assim, devemos esperar que : Diante disto, obtemos a seguinte: Definição: A integral dupla de uma função f sobre um retângulo é: se o limite acima eistir. Pode-se provar que o ponto amostral na epressão acima, pode ser qualquer ponto no retângulo. Se tomarmos o ponto, a epressão da soma dupla fica mais simples, como abaio: Assim, de acordo com as epressões acima, podemos ver que o volume do sólido V pode ser determinado como uma integral dupla: Se, então o volume V do sólido que está entre o retângulo e a superfície é:

6 Eemplo: Estime o volume do sólido que está entre o quadrado [,] [,] e o paraboloide elíptico.divida em 4 quadrados iguais e escolha o ponto amostral para ser o quanto superior direito de cada quadrado. Faça um esboço do sólido e dos paralelepípedos aproimantes. Solução: Segue abaio o gráfico da região e da superfície: Aproimando o volume acima pela soma de iemann para m=n=, temos: Conseguiremos melhores aproimações para o volume se aumentarmos o número de quadrados na região. Como consequência, teremos um número maior de paralelepípedos, cada vez mais finos. A figura abaio mostra tal situação:

7 OBSEVAÇÃO: Caso a função f apresente tanto valores positivos quanto valores negativos em, o limite apresentado NÃO EPESENTA o volume entre a região e a superfície acima do plano, mas sim a diferença de volumes entre elas. Desta forma, podemos então generalizar : V = f, da Se f possui valores positivos e negativos em, então um valor positivo para a integral dupla de f em significa que há mais volume acima que abaio de. Um valor negativo indica o contrário e zero indica volumes iguais acima e abaio de. Propriedades : I c. f, da c. f, da. II [ f, g, ] da f, da g, da.

8 III Se é a união de duas regiões não-superpostas e, da f, da f f, da. IV Se f, em toda, então f, da. Calculando as integrais duplas para egião retangular b d Adotando como Integrais Parciais as integrais f, d e f, d em a c relação a e, respectivamente, então integramos a primeira integral com fio e a segunda com fio. Vejamos os eemplos: d d. d d. O processo utilizado acima é chamado Integração Iterada ou repetida,e nós usaremos tal processo para calcular as integrais duplas, daí:

9 d c b a f, dd d b f, dd c a b d a c f, dd b d f, dd a c São as Integrais Iteradas. 8 dd 8 dd 8 d 4 d d 6 4d d 6 = 6. + = 54 + = 57. Calcule agora você: 8 dd Coincidência? Veja o teorema abaio :

10 Teorema de Fubini: Se f, for contínua no retângulo, então: b a d c d c b a dd f dd f da f,,, Aplicação do teorema : Calcule da no retângulo = {, : -, }. esolução : 6 5 d d dd dd da. 4 Use a integral dupla para achar o volume do sólido limitado acima pelo plano z = 4 e abaio pelo retângulo = [, ] X [, ]. esolução : V = d d d dd da d d V = 5 u.v. z = 4 - Z Y X,

11 Eercícios : Calcule as integrais iteradas : ln ln a e 4 dd b 6 dd c dd Calcule as integrais duplas na região retangular. a 4 da; = {, : -, - }. b. da; = {, :, }. O volume sob o plano z = + e acima do retângulo = {, : 5, }.