Departamento de Matemática - ICEx - UFMG Marcelo Terra Cunha. Integrais Triplas

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1 Cálculo III Departamento de Matemática - ICEx - UFMG Marcelo erra Cunha Integrais riplas Nas primeiras aulas discutimos integrais duplas em vária regiões. Seja motivado pelas aplicações, seja apenas pelo gosto matemático de procurar generalizações, você deve estar se perguntando: existem integrais triplas? 4.1 Origem e Noção Intuitiva Sim, se temos uma função (bem comportada, como todas as funções do cálculo) f :, onde é uma região do 3 (ou seja, f é uma função de três variáveis), podemos calcular a integral tripla de f na região. Novamente, a idéia é particionar em pedacinhos, que agora serão pequenos volumes V I, onde I indexa os vários pedacinhos. endo uma partição, podemos definir somas de iemann de f subordinada a essa partição (da mesma forma que para integrais definidas e para integrais duplas) S (f, ) I f (p I ) V I, onde p I é um ponto no pedacinho correspondente da partição. Novamente podemos falar de somas inferiores, somas superiores e as mesmas condições de bom comportamento da f que permitiam definir a integral dupla são suficientes para mostrar o resultado análogo para integral tripla: a integral tripla de f na região, denotada f dv, é o limite das somas de iemann correspondentes, quando as partições são tomadas arbitrariamente finas. Para as aplicações do tipo cálculo de valor médio de funções, a interpretação segue exatamente a mesma das integrais duplas: estamos olhando o valor da função em um região pequena (se a função for contínua e a região 1

2 realmente pequena, este valor depende muito pouco do ponto específico escolhido), multiplicando pelo volume do pedacinho (antes era a área, mas que diferença faz?) e somando todas estas contribuições. Se queremos calcular uma média, precisamos depois dividir pela soma dos pequenos volumes, que dá o volume total da região. Este último ponto lembra outra aplicação simples da integral tripla: do mesmo modo que ao integrar a função constante igual a 1 em uma região do plano estamos de fato calculando a área desta região (ou seja, a integral dupla também serve para calcular áreas), a integral tripla da função constante igual a 1 em uma região do espaço calcula o volume desta região: dv V (). Por fim, a mesma dificuldade que temos em pensar em um gráfico de uma função de três variáveis é o que torna pouco usual nos referirmos à integral tripla de uma função f não-negativa como um hiper-volume da região acima de no espaço tridimensional e abaixo do gráfico de f. Se você puder visualizar um gráfico de uma função de três variáveis desta forma, a descrição anterior fará sentido da mesma forma que a integral dupla de uma f não-negativa pode ser vista como uma volume e a integral definida de uma f de uma variável como uma área. E claro, uma vez que se entenda que a passagem de duas para três variáveis só traz novidades técnicas (que ainda discutiremos), além de uma necessidade maior de abstração, você já estará pronto para definir por conta própria o conceito de integral múltipla, para uma função de n variáveis, e de pensar em possíveis aplicações e interpretações para ela. 4. Como Calcular Um primeiro caso simples de se calcular é quando a região de integração é um paralelepípedo: P [a, b] [c, d] [p, q] e a função escrita em coordenadas cartesianas se mostra de fácil integração. Neste caso, assim como para as integrais duplas, resolvemos a integral tripla fazendo integrais iteradas. Por exemplo: P f (x, y, z) dv q d b p c a f (x, y, z) dx dy dz.

3 Naturalmente, a escolha da ordem de integração cabe a quem vai resolver a integral. E a escolha natural é aquela que torna a integral mais fácil de resolver. Se para integrais duplas também havia outras regiões bem adaptadas a coordenadas cartesianas (como aquelas entre dois gráficos de funções de uma variável, as chamas regiões tipo I e tipo II), para integral tripla a situação não seria outra. Não vamos ficar aqui enumerando ou descrevendo regras de como proceder em cada caso (pois realmente achamos isso contraproducente). A melhor estratégia é: busque uma descrição da região de integração em notação de conjuntos e ali reconheça como esta descrição se adequa a uma ordem adequada de integrações iteradas. Por exemplo, considere que queremos fazer uma integral no interior de uma esfera de raio a, e que, por razões de simetria, basta integrarmos no primeiro octante. Uma maneira de descrever esta região é: {(x, y, z) : x + y + z a, x, y, z }. Mas essa forma não é adequada para escrevermos integrais iteradas cartesianas. Mas se notarmos que {(x, y, z) : x a, y a x, z } a x y, aí sim poderemos escrever f (x, y, z) dv a a x a x y f (x, y, z) dz dy dx. Onde, é claro, se a função f for mais bem adaptada a outra ordem de integração, devemos usar outra descrição desta mesma região (já que ela permite) e adotar aquela que tornar a integral mais simples. Nas próximas aulas trataremos de outros sistemas de coordenadas, da mesma forma que utilizamos coordenadas polares para integrais duplas. 4.3 Aplicações As aplicações das integrais múltiplas são várias, mas entre elas se destacam aquelas relacionadas a obtenção de médias. Casos particulares destas médias são obtenções de centros de massa. Vamos nos concentrar agora no seguinte problema: seja o tetraedro com vértices (,, ), (1,, ), (, 1, ), (,, 1); considerando um sólido homogêneo, obtenha seu centro de massa. 3

4 Este problema já é dado em coordenadas cartesianas, e os eixos já foram escolhidos de maneira muito bem adaptada. Não há necessidade buscar qualquer outro sistema de coordenadas 1. Há uma clara e importante simetria no problema: o papel das coordenadas x, y e z são os mesmos. Assim, se em princípio precisamos calcular as três coordenadas do centro de massa, na prática basta calcularmos uma vez, pois teremos x cm y cm z cm. Geometricamente, isso corresponde a dizer que o centro de massa estará no segmento que une a origem ao baricentro da face oposta. Como já sabemos das integrais duplas, a coordenada x cm será dada pelo valor médio da função x na região, assim, queremos resolver xρ dv x cm ρ dv, onde ρ é a densidade do sólido. Como ρ é constante (o sólido é homogêneo), e aparece nas duas integrais, podemos eliminá-lo e o problema passa a ser calcular duas integrais: x dv e que reconhecermos ser o volume do tetraedro. Este volume deve ser calculado geometricamente ( 1A 3 bh) e resulta 1. esta então calcularmos x 1 x y x dv x dz dy dx dv, 1 1 x 1 1 x 1 1 x 3 de onde concluímos que x cm 1 4 y cm z cm. 6 1 x y ξ dξ dx dx 1 4, dy dx 1 Embora possamos oferecer uma outra solução que, implicitamente, faz uso de outro sistema de coordenadas. 4

5 Com um pouco mais de geometria, poderíamos resolver esse exercício apenas com as técnicas do cálculo I. Mas isso fica como um desafio para quem estiver interessado. 5