INTEGRAIS MÚLTIPLAS OBJETIVOS Ampliar o conceito de integral definida para funções de duas ou três variáveis.

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1 INTEGAIS MÚLTIPLAS OBJETIVOS Ampliar o conceito de integral definida para funções de duas ou três variáveis INTEGAIS DUPLAS Consideremos o problema de determinar o volume V do sólido compreendido entre a superfície z = f (, e a região, sendo f contínua e não-negativa em Vamos admitir que a região esteja contida em uma região retangular z y Dividimos a região retangular em retângulos por meio de retas paralelas aos eios coordenados Seja n o número de retângulos que estão completamente dentro de Denotemos por, =,,, n, a área do -ésimo retângulo A y

2 Escolhemos um ponto arbitrário, y ) do -ésimo retângulo Assim f, y ) é o valor da função f neste ponto ( ( O produto f (, y ) A é o volume do paralelepípedo retangular de área A altura f, y ) Assim o volume do sólido pode ser aproimado pelo soma ( n = f (, y ) A e Se aumentarmos o número de retângulos, o erro na aproimação tende a zero e, portanto o volume eato do sólido é V n = lim f(, y ) A n = Temos então, a seguinte definição Definição Seja f uma função de duas variáveis definida em uma região A integral dupla de f sobre, denotada por desde que o limite eista f(, da = lim n = n f(, y f (, da, é dada por ) A

3 Observação Se f (, da eiste, então dizemos que f é integrável em Sendo f contínua em, então f é integrável em Observação Se f (, 0, a integral dupla f (, da representa o volume do sólido compreendido entre o gráfico de z = f(, e acima da região POPIEDADES DA INTEGAL DUPLA Teorema Sejam f (, e g (, funções definidas e integráveis em Então a) cf (, da = c f (, da, c I b) [ f (, + g(, ] da = f(, da + g(, da c) Se é a união de duas regiões não-superpostas e, então f (, da = f(, da + f(, da d) Se f (, 0 em toda região, então f (, da 0 INTEGAIS DUPLAS EM EGIÕES ETANGULAES E NÃO- ETANGULAES Seja = {(, ; a b e c y d}, então a integral dupla de f sobre pode ser calculada por meio de integrais iteradas (ou repetidas) ou b d b d f f(, dyd a c a c (, da = f (, dy d = d b d b f f(, ddy c a c a (, da = f (, d dy = 3

4 Observe que no primeiro caso efetuamos uma integração parcial em relação a y considerando constante, substituímos y pelos limites de integração c e d obtendo uma epressão em que depois é integrada em [ a, b] De modo análogo, no segundo caso, efetuamos uma integração parcial em relação a considerando y constante, substituímos pelos limites de integração a e b obtendo uma epressão em y que depois é integrada em [ c, b] Eemplo Calcule a) 3 ydyd 0 b) 3 yddy 0 Eemplo Calcule o volume do sólido delimitado por = [ 0,] [0,] z 4 y = na região Teorema Se a função f é contínua no retângulo = {(, ; a b e c y d} = [ a, b] [ c, d] então b d d b, da = f(, dyd = f ( f (, ddy a c c a Eercícios 7 5 (ímpares),9,,3,7 e 9 4

5 A região de integração, não precisa ser necessariamente um retângulo Limitaremos nosso estudo das integrais duplas a dois tipos básicos de regiões: e y Assim, temos o seguinte resultado = {(, ; a b e g ( ) y g ( = {(, ; c y d e h( h( } )} Teorema 3 a) Se f é contínua na região b g ( ) f, da = b) Se f é contínua na região = y a g( ) =, então ( f (, dyd, então d h ( y ) f, da = ( f (, ddy c h( y ) Eemplo 3 Calcule = e = 4 yda na região compreendida entre y =, y =, Eemplo 4 Calcule o volume do tetraedro delimitado pelos planos coordenados 3 e pelo plano z = 3 3y 5

6 Eemplo 5 Calcule + (,0) ( da onde é o triângulo de vértices (,0 ), ( 0, ) e Eemplo 6 Calcule o volume do sólido limitado pelo cilindro + y = 4 e os planos y + z = 4 e z = 0 Observação3 Às vezes o cálculo da integral pode ser simplificado invertendose a ordem de integração, como veremos no eemplo a seguir: Eemplo 7 Inverta a ordem de integração para calcular a integral 4 e ddy 0 y 6