Instituto de Matemática e Estatística da USP MAT Cálculo Diferencial e Integral III para Engenharia 1a. Prova - 1o. Semestre /04/2010

Transcrição

1 Turma A Questão : (a) (, pontos) Calcule Instituto de Matemática e Estatística da USP MAT - Cálculo Diferencial e Integral III para Engenharia a. Prova - o. Semestre - // 8 ( y e x dx ) dy. (b) (, pontos) Calculo o volume do sólido limitado pelas superfícies z x y, z y +. Solução: (a) Esboçando o domínio de integração, teremos: Pode-se, então, alterar a ordem de integração, de modo que a integral será dada por: ( ) x I e x dy x e x dx ex e dx

2 (b) O sólido em questão, limitado pelas duas superfícies, pode ser esboçado: S {(x, y, z) y + z x y } {(x, y, z) y + z x y, com x + y + y + } Sendo assim, o volume do sólido pode ser calculado pela integral dupla: ) V ( x y y dxdy, D onde D {(x, y) x + y + y + }. Fazendo uma mudança de coordenadas ficamos com: x ρ cos θ y + ρ sen θ J ρ V [ρ ρ ] { ρ θ ρ ( ρ ) dρdθ ( 8)

3 Questão (, pontos) Calcule o volume da região R dada por z + x + y e (z ) x + y Solução: A região R está compreendida entre o hiperbolóide de uma folha z + x + y e pelo cone (z ) x + y e está representada abaixo O volume de R é dado por: V R dx dy dz É conveniente escrever a região em coordenadas cilíndricas: x r cos θ y r sinθ z z J r Hiperboloide: r + z Cone: r (z ) Cone Hiperboloide: (z ) z + z e z Tem-se a região em coordenadas cilíndricas dada por: R {(r, θ, z) z r z + ; θ ; z } Com isso a integral tripla para o cálculo do volume fica dada por:

4 V dx dy dz R z + r. z r dr dz dθ z + dz dθ. z [(z + ) (z ) ] dz [z + z + z ] dz [ z + z ] dz ( ) z + z z 9

5 Questão : (, pontos) Calcule a massa do sólido limitado pelas superfícies u + v + w v, v u + w e v u + w, com densidade δ(u, v, w) v. Solução: O sólido está compreendido entre o exterior do semi-cone C (v u + w ), o interior do semi-cone C (v u + w ) e interior da esfera E, que está deslocada em v (u + v + w v). Adotando v z, u x e w y, temos o sólido representado na figura abaixo : A massa do sólido pode ser calculada por: Massa δ(u, v, w)du dv dw D u,v,w Faz-se a mudança para coordenadas esféricas e as regiões ficam descritas por: v ρ cos φ u ρ sen φ cos θ w ρ sen φ sen θ Jac(ρ, θ, φ) ρ sen φ E as regiões ficam descritas por: Exterior a C : v u + w ρ cos φ ρ sen φ tan φ Interior a C : v u + w ρ cos φ ρ sen φ tanφ Interior a E : u + v + w v ρ ρ cos φ ρ cos φ φ Assim o domínio de integração em coordenadas esféricas fica: { D ρ,θ,φ θ, ρ cos φ e φ } φ

6 Logo: Massa δ(u, v, w)du dv dw D u,v,w δ(ρ, θ, φ) Jac(ρ, θ, φ) dρ dθ dφ D ρ,θ,φ cos φ ρ cos φ ρ sen φdθ dρ dφ ( cos φ sen φ ρ cos 7 φ sen φdφ ) ρcos φ ρ dφ cos φ ρ cos φ sen φdρ dφ cos φ sen φ cos φdφ Fazendo a seguinte mudança de variáveis: { cos φ t sen φ dφ dt { φ t φ t E sabendo que b a a f(s)ds b f(s)ds, temos que a integral fica: cos 7 φ sen φdφ Voltando ao cálculo da massa, temos: Massa 8 t 7 dt ( ) 8 8 ( 8 t8 t 7 ( )dt ) t t (8 ) 8 t 7 dt ( ) 8 ( ) 8

7 Instituto de Matemática e Estatística da USP MAT - Cálculo Diferencial e Integral III para Engenharia a. Prova - o. Semestre - // Turma B Questão : (a) (, pontos) Calcule o volume do sólido limitado pelas superfícies z x y, z x +. 8 ( ) (b) (, pontos) Calcule e y dy dx. x Solução: (a) O sólido em questão, limitado pelas duas superfícies, pode ser esboçado: S {(x, y, z) x + z x y } {x + z x y, y + x + x + } Sendo assim, o volume do sólido pode ser calculado pela integral dupla: ) V ( y x x dxdy { y +x +x+ } Fazendo uma mudança de coordenadas ficamos com: x + ρ sen θ y ρ cos θ J ρ V [ρ ρ ] { ρ θ ρ ( ρ ) dρdθ ( 8) 7

8 (b) Esboçando o domínio de integração, teremos: Pode-se, então, alterar a ordem de integração, de modo que a integral será dada por: ( ) y I e y dx y e y dy ey e dy 8

9 Questão (, pontos) Calcule o volume da região R dada por z + x + y e (z + ) x + y Solução: A região R está compreendida entre o hiperbolóide de uma folha z + x + y e pelo cone (z ) x + y e está representada abaixo O volume de r é dado por: V R dx dy dz É conveniente escrever a região em coordenadas cilíndricas: x r. cos θ y r. sinθ z z J r Hiperboloide : r + z Cone : r (z + ) Cone Hiperboloide : (z + ) z + z e z Tem-se a região em coordenadas cilíndricas dada por: R {(r, θ, z). z r z + ; θ ; z } Com isso a integral tripla para o cálculo do volume fica dada por: 9

10 V 9 dx dy dz R z + r. z+ r dr dz dθ z + dz dθ. z+ (z + ) ((z + ) )dz z + z z dz z z dz ( ).z z z

11 Questão : (, pontos) Calcule a massa do sólido limitado pelas superfícies u + v + w u, u v + w e u v + w, com densidade δ(u, v, w) u. Solução: O sólido está compreendido entre o exterior do semi-cone C (u v + w ), o interior do semi-cone C (u v + w ) e interior da esfera E que está deslocada em u (u + v + w u). Adotando u z, v x e w y, temos o sólido representado na figura abaixo : A massa do sólido pode ser calculada por: Massa δ(u, v, w)du dv dw D u,v,w Faz-se a mudança para coordenadas esféricas e as regiões ficam descritas por: u ρ cos φ v ρ sen φ cos θ w ρ sen φ sen θ Jac(ρ, θ, φ) ρ sen φ E as regiões ficam descritas por: Exterior a C : u v + w ρ cos φ ρ sen φ tan φ Interior a C : u v + w ρ cos φ ρ sen φ tanφ Interior a E : u + v + w u ρ ρ cos φ ρ cos φ φ Assim o domínio de integração em coordenadas esféricas fica: { D ρ,θ,φ θ, ρ cos φ e φ } φ

12 Logo: Massa δ(u, v, w)du dv dw D u,v,w δ(ρ, θ, φ) Jac(ρ, θ, φ) dρ dθ dφ D ρ,θ,φ cos φ ρ cos φ ρ sen φdθ dρ dφ ( cos φ sen φ ρ cos 7 φ sen φdφ ) ρcos φ ρ dφ cos φ ρ cos φ sen φdρ dφ cos φ sen φ cos φdφ Fazendo a seguinte mudança de variáveis: { cos φ t sen φ dφ dt { φ t φ t E sabendo que b a a f(s)ds b f(s)ds, temos que a integral fica: cos 7 φ sen φdφ Voltando ao cálculo da massa, temos: Massa 8 t 7 dt ( ) 8 8 ( 8 t8 t 7 ( )dt ) t t (8 ) 8 t 7 dt ( ) 8 ( ) 8