Vibrações e Dinâmica das Máquinas Aula Momento de Inércia. Professor: Gustavo Silva

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1 Vibrações e Dinâmica das Máquinas Aula Momento de Inércia Professor: Gustavo Silva 1

2 1.Momento de Inércia A massa m representa a resistência de um corpo à aceleração a. F = m a Força Massa Do mesmo modo, o momento de inércia I representa a resistência de um corpo à aceleração angular α. M = I α Momento 2

3 1.Momento de Inércia O momento de inércia de uma partícula é dada pela seguinte equação: I = m r 2 [kg m²] Onde m é a massa do corpo e r é o raio de giro. raio partícula de massa m Eixo de giro 3

4 1.Momento de Inércia Porém quando falamos de um corpo com milhoes de partículas, seu momento de inércia é a somatória da inércia de cada partícula: raio... Eixo de giro 4

5 1.Momento de Inércia 5

6 1.Momento de Inércia Note que a bailarina adquire uma velocidade angular maior (acelera) quando aproxima os braços do corpo, quando a mesma estica os braços ela perde velocidade angular (desacelera). Isto ocorre pois quando a mesma estica os braços, ela está distanciando uma parte de sua massa do centro de giro, assim aumentando seu momento de inércia. Em contra partida, quando a bailarina aproxima os braços do corpo ela adquire um momento de inércia menor, o que em um caso de translação seria o equivalente a diminuir a uma parte de sua massa. 6

7 1.Momento de Inércia Para calcularmos o momento de inércia de um corpo em relação à um determinado eixo de giro, devemos imaginar que o corpo está dividido em diversos elementos de massa dm. Desta forma: I = r 2 dm Em caso de objetos unidimensionais, como no caso de uma barra delgada uniforme, podemos usar uma coordenada x ao longo de seu comprimento e relacionarmos dm com dx (será demostrado posteriormente). Para o caso de objetos tridimensionais é mais fácil realizarmos a integral em relação ao volume do objeto: m = V ρ Onde m é a massa, V o volume e ρ a densidade. 7

8 1.Momento de Inércia- Barra delgada uniforme Barra delgada uniforme girando em relação à um eixo ortogonal ao seu comprimento. M EIXO Elemento de massa: segmento da barra de comprimento dx x O 8

9 1.Momento de Inércia- Barra delgada uniforme Barra delgada uniforme girando em relação à um eixo ortogonal ao seu comprimento. dm M = dx L dm = M L dx Os limites da integração sobre x estão entre h e (L-h): I = x² dm = M L h L h x² dx = M L L h x³ 3 h = M L L h h3 3 = M 3L L h 3 + h 3 I = M 3 [L2 3Lh + 3h²] M EIXO Elemento de massa: segmento da barra de comprimento dx x O 9

10 1.Momento de Inércia- Barra delgada uniforme Barra delgada uniforme girando em relação à um eixo ortogonal ao seu comprimento. Forma geral: I = M 3 [L2 3Lh + 3h²] Para h=0 e h=l: M EIXO Elemento de massa: segmento da barra de comprimento dx x I = 1 3 ML2 Para h=l/2: O I = 1 12 ML2 10

11 1.Momento de Inércia- Cilindro maciço ou oco Cilindro maciço ou oco girando em torno do seu eixo de simetria. dr EIXO r Elemento de massa: casca cilíndrica de raio r e espessura dr L R1 R2 11

12 1.Momento de Inércia- Cilindro maciço ou oco Cilindro maciço ou oco girando em torno do seu eixo de simetria. dm = ρdv = ρ(2πrldr) I = r² dm = Posso reescrever da seguinte forma: πρl 2 R2 R1 R 2 2 R 1 2 R R 1 2 Como volume é dado por V=π R 2 2 R 1 2 L, e massa M=Vρ I = 1 2 M [R R 1 2 ] r 2 ρ 2πrLdr = 2πρL R2 R1 r 3 dr = 2πρL r 4 4 R2 R1 = 2πρL 4 R 2 4 R 1 4 Elemento de massa: casca cilíndrica de raio r e espessura dr dr EIXO r L R1 R2 12

13 1.Momento de Inércia- Cilindro maciço ou oco Cilindro maciço ou oco girando em torno do seu eixo de simetria. Cilindro oco: I = 1 2 M [R R 1 2 ] dr EIXO r Cilindro maciço: I = 1 2 MR2 Tubo: I = MR 2 Elemento de massa: casca cilíndrica de raio r e espessura dr R1 R2 L 13

14 1.Momento de Inércia- Esfera homogênea Esfera homogênea com raio R girando em torno de um eixo que passa por seu CG. Elemento de massa do disco de raio r e espessura dx R r dx EIXO 14

15 1.Momento de Inércia- Esfera homogênea Esfera homogênea com raio R girando em torno de um eixo que passa por seu CG. Raio: r = R 2 x² Volume: dv = πr 2 dx = π(r²-x²)dx Massa: dm = ρdv = πρ(r²-x²)dx Como vimos, a inércia de um disco de raio r e massa dm é dado por: di = 1 2 r2 dm = 1 2 R 2 x 2 2 πρ R 2 x 2 dx = πρ 2 R2 x 2 2 dx Vamos integrar de x=0 a x=r para obtermos o momento de inércia do hemisfério da direita. Como a esfera é simétrica, o momento de inércia total será o dobro R r Elemento de massa do disco de raio r e espessura dx do valor. dx EIXO 15

16 1.Momento de Inércia- Esfera homogênea Esfera homogênea com raio R girando em torno de um eixo que passa por seu CG. I 1/2 = πρ R(R 2 x²) dx = πρ R4 x R2 x 3 3 R2 x 3 R 3 + x5 5 0 = πρ 2 R5 R5 3 R5 3 + R5 5 = πρ 8R I = 2I 1/2 = 8πρ 15 R5 O volume da esfera é dado por V = 4πr³ 3 Como massa M=ρV: R r Elemento de massa do disco de raio r e espessura dx I = 2 5 MR2 dx EIXO 16

17 1.Momento de Inércia- Esfera homogênea Esfera homogênea com raio R girando em torno de um eixo que passa por seu CG. Esfera homogênea: I = 2 5 MR2 R r Elemento de massa do disco de raio r e espessura dx dx EIXO 17

18 1.Momento de Inércia- Teorema dos eixos paralelos Caso o momento de inércia de um corpo em relação a um eixo que passa por seu centro de gravidade for conhecido, o momento de inércia deste corpo em relação a qualquer eixo paralelo pode ser obtido através do Teorema dos eixos paralelos: I A = I CG + md² CG d Corpo de massa M A 18

19 Exercício 1 Determinar o momento de inércia do anel fino de massa 2kg, em relação ao eixo Z e Z. (r=1,2m) Eixo Y Eixo Y Eixo X r Eixo X 2m 19

20 Exercício 2 Determinar o momento de inércia do do corpo formado por um anel fino de massa 4kg e uma barra delgada de massa 1kg, em relação ao ponto A. (r=2m) Eixo Y Eixo X r A 20

21 Exercício 3 Determinar o momento de inércia do corpo formado por uma barra delgada de comprimento 1,3m e uma esfera de raio 0,3m, em relação ao ponto A. (raio da barra= 2cm; densidade do material= 2000kg/m³) A 21

22 Bibliografia Básica R. C. Hibbler. Dinâmica mecânica para engenharia. São Paulo: Pearson, 10 ed. Young e Freedman. Física I Mecânica. São Paulo: Pearson, 12 ed. 22