Fundamentos da Eletrostática Aula 07 Algumas aplicações elementares da lei de Gauss

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1 Fundamentos da Eletrostática Aula 7 Algumas aplicações elementares da lei de Gauss Prof. Alex G. Dias Prof. Alysson F. Ferrari Aplicações da Lei de Gauss Quando a distribuição de cargas fontes é altamente simétrica, a lei de Gauss permite encontrar o campo elétrico E rapidamente, sem a necessidade de resolver integrais complicadas. A diculdade pode estar em reconhecer a simetria da distribuição de carga, e imaginar uma superfície fechada adequada para aplicar a lei de Gauss, aproveitando esta simetria. Nesta aula vamos estudar algumas destas congurações, buscando ganhar alguma intuição sobre as diversas congurações de campos que podem ser criadas. NH8 - Fundamentos da Eletrostática - 9t NH8 - Fundamentos da Eletrostática - 9t

2 Problema Determinar o campo elétrico dentro e fora de uma esfera sólida de raio R e densidade volumétrica de carga ρ (r) ρ r r α, onde r é a posição do centro da esfera, ρ uma constante e α. Solução. Note que a distribuição de cargas considerada tem simetria esférica. A resolução do problema será muito simplicada se escolhermos nosso sistema de referência apropriadamente, aproveitando esta simetria. Colocamos assim o sistema de referências no centro da esfera, e usamos coordenadas esféricas. Desta forma, a densidade de carga tornase, simplesmente, ρ (r) ρ r α. Vamos considerar uma superfície esférica S de raio r, centrada na origem. De acordo com a lei de Gauss, temos, q (r) ε, onde q (r) signica a carga total englobada pela superfície, ou seja, q (r) ρ (r) d 3 V. Vamos calcular q (r) oportunamente. Começamos calculando E (r) da. Note que, devido à simetria esférica da distribuição, o campo E (r) é radial e só depende de r, ou seja, Além disso, da rda, logo E (r) E (r) r. E (r) da E (r) r π E (r) r sin θdθdφ {z } π 4πr E (r). π dφ sin θdθ {z } Note que o fato de E (r) ser constante na superfície S (r) foi fundamental, permitindo calcular a integral E (r) da mesmo sem conhecer ainda E (r)! Este é o ponto chave do método: saber reconhecer uma superfície onde sabemos E (r) ser constante (devido à simetria), de forma que possa ser fatorado para fora da integral de superfície. Pela lei de Gauss, Falta apenas calcular q (r). E (r) 4πε q (r) r. NH8 - Fundamentos da Eletrostática - 9t NH8 - Fundamentos da Eletrostática - 9t 3

3 Ponto interior à esfera. esfera, temos e portanto, q (r) ρ (r) d 3 V π π r ρ π 4πρ r α+3 α + 3 π Se r < R, ou seja, um ponto no interior da ρ `r α `r sin θ dr dθ dφ «r `r +α sin θ dθ dφ dr E r<r (r) ρ ε r α+ α + 3r. Ponto exterior à esfera. Se r > R, temos q (r) ρ (r) d 3 V ρ π π 4πρ R α+3 α + 3, «R `r +α sin θ dθ dφ dr que não é nada mais que a carga total Q T contida na esfera. Neste caso, o campo elétrico será E r>r (r) ρ R α+ r ε α + 3 r! R α+3 r 4πρ 4πε α + 3 r Q T 4πε r r. Ou seja, no exterior da esfera, o campo elétrico encontrado é o mesmo que seria gerado se toda a carga contida na esfera estivesse concentrada numa carga pontual localizada na origem (que coincide com o centro da esfera). Note que, embora E (r) q(r) r e o fator r sempre decresce com r, se α >, o campo elétrico cresce com r (dentro da esfera), pois a carga englobada por S (r) cresce mais rapidamente. Questão: em princípio, tomamos α > para evitar que a densidade de carga ρ r α tivesse uma singularidade (um ponto de densidade innita) em r. Observando as expressões acima, contudo, você consegue determinar se há a possibilidade de se tomar α < sem óbvias inconsistências? NH8 - Fundamentos da Eletrostática - 9t 4 NH8 - Fundamentos da Eletrostática - 9t 5

4 Problema onde S, S e S 3 são as três superfícies indicadas na gura. Note que, em S e S 3, da está na direção de ẑ, Considere um longo cilindro de comprimento L e raio R, cuja densidade volumétrica de carga é ρ (ρ) kρ β, sendo ρ a distância do ponto considerado até o eixo do cilindro, k uma constante e β >. dentro e fora do cilindro para pontos longe de suas extremidades. Determine o campo elétrico Solução. A distribuição de cargas considerada apresenta simetria cilíndrica. Escolhemos então um referencial com o eixo dos z coincindindo com o eixo do cilindro, e usamos coordenadas cilíndricas para resolver o problema. em qualquer ponto do espaço. Note que, se o cilindro fosse innito, poderíamos armar que, por simetria, E (r) está na direção radial (ρ) e, além disso, não pode depender nem de z nem de θ, ou seja, O cilindro considerado não é innito, mas é bastante longo, e se considerarmos pontos longe das suas extremidades, o campo elétrico deve ser aproximadamente igual ao de um cilindro innito. Vamos, portanto, partir da aproximação que E (r) E (ρ) ρ. E (r) E (ρ) ρ, Com esta aproximação, é conveniente considerarmos uma superfície S (ρ) cilíndrica, com raio ρ e comprimento l, com o eixo coincindindo com o eixo da distribuição de cargas. Temos aí S(ρ) S (ρ) E (r) da + E (r) da + E (r) da, S 3 (ρ) Como E está na direção de r, temos e portanto S (ρ) temos da +ẑ ; da 3 ẑ. E (r) da E (r) da 3, S 3 (ρ). Já em S, vale que da ρ; além disso, como E (r) só depende de ρ, (E (ρ) ρ) ρda E (ρ) da. da não é mais que a área total do cilindro S (ρ). Você pode A expressão determiná-la usando geometria básica ou, o que é mais afeito ao nosso curso, realizando a integral, Portanto, pela lei de Gauss, E (ρ) da πlε ρ l l V (ρ) π ρ dθ dz πρl. ρ (r) d 3 V πlε ρ q (ρ). Novamente, q (ρ) é a carga contida no volume delimitado por S (ρ). NH8 - Fundamentos da Eletrostática - 9t 6 NH8 - Fundamentos da Eletrostática - 9t 7

5 Ponto interior ao cilindro. Se ρ < R, temos q (ρ) ρ (r) d 3 V V (ρ) ρ l π l k `ρ β ρ dθ dz dρ Problema 3 Determinar o campo elétrico gerado por um plano innito carregado e cuja densidade supercial de carga é constante e igual a σ. k ρ πkl ρβ+ β +. `ρ β+ dρ l l dz Portanto, para pontos dentro da distribuição de carga E ρ<r (r) k ε ρ β+ β + ρ. π dθ Ponto exterior ao cilindro. Se ρ > R, temos q (ρ) k R πkl Rβ+ β +. `ρ β+ dρ l Portanto, para pontos fora da distribuição de carga l E ρ>r (r) k ε R β+ β + dz ρ ρ. π Questão: note que, em ambos os casos, o campo elétrico não depende de L. Você acha este resultado razoável? dθ NH8 - Fundamentos da Eletrostática - 9t 8 NH8 - Fundamentos da Eletrostática - 9t 9