FIS-26 Resolução Lista-11 Lucas Galembeck

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1 FIS-6 Resolução Lista-11 Lucas Galembeck 1. Dentro de uma esfera de raio R e de densidade ρ existe uma cavidade esférica de raio a a < R. A distncia entre os centros O e O da esfera e da cavidade é d, ver Figura. a Para um ponto P externo, alinhado com os centros O e O e à distncia r de O, calcule a razão entre o campo gravitacional da esfera com a cavidade e aquele que existiria se a esfera fosse maciça sem cavidade. RESOLUÇÃO: Usando o princípio da superposição, temos: Dividindo ii por i: g c g m 1 { g m g c G ρ r 4πR a r a r d R 1 R i G ρ 4πR Gρ 4πa r r d r r rd + d ii 1 a 1 R d r b Calcule o campo gravitacional em módulo, direção e sentido num ponto P qualquer situado dentro da cavidade. RESOLUÇÃO: Da mesma forma, temos: g 1 4 π G ρ l i l g 4 π G ρ h ii h gr g1 + g g 1 g cos θ iii Da figura: d l + h hl cos θ cos θ l + h d 1 hl iv

2 Substituindo i, ii e iv em iii, temos: 4Gπ ρ l 4Gπ ρ h 4Gπ ρ l 4Gπ ρ h l gr + h d + hl 4Gπ ρ gr l + h l h + d 4Gπ ρ d 4Gπ ρ d gr. Considere um fio retilíneo homogêneo de massa M e comprimento L e uma partícula de massa m alinhada com o fio, à distncia D de uma extremidade ver Figura. Mostre que a força de atração gravitacional exercida pelo fio sobre a partícula é a mesma que se teria se a massa total do fio estivesse concentrada num único ponto, à distncia d da massa m, onde d DD L é a média geométrica das distncias de m às extremidades do fio. RESOLUÇÃO:Sabemos que dm λdx, onde λ M. Integrando, temos: L L L GmdM dx g ˆx ˆx Gmλ D x D x 1 g ˆx Gmλ D L 1 GMm g ˆx D DD L Mas note que se compararmos com g GMm temos que d DD L que é exatamente a média d geométrica das distncias de m às extremidades do fio.. Qual a força gravitacional que um cone sólido de massa exerce sobre uma partícula de massa m que se situa em seu vértice? O cone tem densidade ρ, altura H e a geratriz forma um ngulo α com o eixo de simetria. RESOLUÇÃO: Devido à simetria, sabemos que as componentes radiais se anulam. Além disso, temos que r H z tan α e que hh-z. Desta forma: i P/ anel: F z π Gm Gmπλr cos α cos α dm h + r h + r

3 ii P/ disco integrando os anéis: F z r F z Gmσπ Gmπσr cos αdr h + r 1 r hrdr Gmσπ h + r / h h + r Gmσπ 1 cos α iii P/ cone integrando os discos, note que cos α é constante: Ou ainda: F z F z H Gmρr cos α H H z + r dv Gmπρ1 cos αdz πgmρh1 cos α H z tan α π F z πgmρh1 cos α Gmρr H z dθ H z + r / dr dz 4. Calcule a energia potencial gravitacional total associada a uma esfera homogênea de raio R e massa M. RESOLUÇÃO: E V dm, onde V GM e dm 4πρr dr r Além disso, sabemos que ρ M 4πR. Logo: E R G V dm r E 16π GR πr ρ 4πr ρ dr 16π Gρ M 4πR GM 5. Um veículo espacial é projetado para colidir com o planeta Marte durante uma trajetória de aproximação apontando na direção do centro do planeta. Se a nave está a 1 km do planeta e viaja a km/h, obtenha a velocidade v de impacto. A aceleração gravitacional na superfície de Marte é,7 m/s, e o planeta tem aproximadamente 68 km de dimetro. 5R R 5 5 RESOLUÇÃO: Basta usar a conservação da energia mecnica: { E i mv i GMm i R+d E f mv f GMn ii R Igualando i e ii, temos: mvi GMm R + d mv f GMm R

4 vf vi GM R + d + GM R 1 v f vi GM R + d 1 R Sabemos que GM g, ,1.1 1, então substituindo os valores dados, temos: v f 4,1.1,6 1, ,4.1 6 v f 756,8 m/s v f 5,4.1 km/h 6. Em 1968, a nave espacial Apolo 8 foi colocada numa órbita circular em torno da Lua, a uma altitude de 11 km acima da superfície. O período observado dessa órbita foi de 1h59min. Sabendo que o raio da Lua é 178 km, calcule a massa da Lua. RESOLUÇÃO: Basta usar a a Lei de Kepler: T Apolo R + h 4π GM Lua M Lua R + h 4π T Apolo G M Lua π , ,5.1 kg 7. Em 1795, Pierre-Simon Laplace antecipou a existência de buracos negros, afirmando: Uma estrela luminosa de mesma densidade que a Terra, cujo dimetro fosse 5 vezes maior que o do Sol, não permitiria, em consequência de sua atração, que os seus raios luminosos nos atingissem; é possível, portanto, que os maiores corpos luminosos existentes no Universo sejam invisíveis para nós. Embora este raciocínio não relativístico não se justifique, deduza o resultado de Laplace. RESOLUÇÃO: Sabemos que V GM esc, que ρ R T 5,515.1 kg/m e que D S 1,9.1 9 m. Desta forma, basta mostrar que V esc > V luz. M x 4πR x V esc R x 5 D s 5, , ρ 4π1, , , , , kg 1, ,5.1 8 m/s > c.1 8 m/s 8. Considere uma estrela binária cujos componentes, de massa m 1 e m, separadas por uma distncia r, descrevem órbitas circulares de período T em torno do CM do par. Seja T s o período da órbita terrestre, de raio médio R, em torno do Sol, de massa M s. a Mostre que T T s M s r. m 1 + m R 4

5 RESOLUÇÃO: No binário temos que r 1 r m m 1 +m. Desta forma: F G F cp Gm 1m r m 1 Gm r T B T T R Dividindo as duas equações, temos: 4π T r 1 r m 4π r Gm 1 + m m 1 + m 4π TT 4π R GM S GM S πr1 T B i ii TB T T 4π r GM S Gm 1 + m 4π R M S r m 1 + m R b Aplique este resultado para calcular o período da estrela dupla Sirius A Sirius B, sabendo que a massa de Sirius A é,m s e a de Sirius B é de,9m s. A separação do par é de 19,9 U.A. RESOLUÇÃO: M s r T B T T m 1 + m R 1 M s 19,9 51 anos M s, +,9 1 c Calcule os raios r A e r B das órbitas de Sirius A e Sirius B. RESOLUÇÃO: r 1 r m m 1 + m 19,9,9M s, +,9M s 5,8 U.A r r r 1 19,9 5,8 14 U.A 9. Considere um astro de pequena massa orbitando em torno de um astro massivo e seja T o período da órbita. Definindo o valor médio da energia cinética como: Ē c 1 T t +T t E c tdt, e o valor médio da energia potencial como: Ē p 1 T t +T t E p tdt, mostre o teorema do virial: Ēc Ēp E, onde E é a energia total da órbita. Considere uma órbita elíptica. RESOLUÇÃO: Definindo a quantidade VIRIAL como G p i r i, com um pouco de álgebra, temos 5

6 que dg E dt c + F i r i, onde F é força total exercida sobre a partícula. Aplicando a média de tempo em ambos os lados desta equação, temos que: Ēc + F i r i med Ēc 1 Fi r i med Onde, com um pouco mais de algebra, temos para a atração gravitacional que F i r i med gradep ij r i r j grade p ij Ēp. Sendo assim, temos: Ē c 1 Ēp E finalmente: Ēc Ēp E Ēc + Ēp 1. Três massas pontuais P 1, P e P de massas m 1, m e m respectivamente interagem mutuamente através da atração gravitacional, sendo essa a única força em ação nesta situação. Seja α ij a distncia entre a i-ésima e j-ésima massas, e σ o eixo que passa pelo centro de massa e é normal a P 1 P P. Encontre a condição para que a velocidade angular ω do sistema de massas em torno de σ e as distncias α 1, α e α 1 permaneçam constantes e que o tringulo P 1 P P continue inalterado durante o movimento de rotação, isto é, a condição para que o sistema se comporte como um corpo rígido. RESOLUÇÃO: Da figura, temos que a ij r j r i. Além disso, se considerarmos a resultante centripeta, temos: m 1 ω r 1 Gm 1m a 1 Gm 1m 1 a 1 i 1 m ω r Gm 1m a 1 m ω r Gm m a 1 + Gm m a + Gm 1m a 1 1 ii iii Cuja soma e decomposição de i nos dá: m 1 ω Gm 1m a 1 ω Gm 1m a 1 G m m a 1 a 1 Mas da condição do enunciado, ainda temos: r 1 + Gm 1m r 1 + m a 1 a 1 r + Gm 1m r a 1 r + m r a 1 m 1 r 1 + m r + m r I 6

7 O que nos obriga a tomar a 1 a 1 d cte: d ω G m m r 1 + m r + m r II Se compararmos as duas equações, I e II, notamos que: d ω G m m m 1 ω m1 + m + m Gm1 + m + m G ω d d Note que se, de maneira análoga tomarmos as equações ii e iii para serem desenvolvidas, concluimos que a 1 a 1 a d e que ω tringulo permaneca inalterado. Gm 1 +m +m d são as condições necessárias para que o 7