FIS 26. Mecânica II. Aula 3: Corpo rígido. Momento angular.
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- Isaque Barata
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1 FIS 26 Mecânica II Aula 3:. Momento angular.
2 - Roteiro Resumo das últimas aulas Momento de Inércia - Momento angular no movimento planar - Momento de inércia em relação a um eixo - Raio de giração - Teorema dos eixos paralelos - Teorema dos eixos perpendiculares Tensor de Inércia - Momentos e eixos principais de inércia
3 Resumo das últimas aulas Definição: Um corpo é rígido quando a distância entre duas partículas quaisquer do corpo é invariável. ¹ Translação: trajetória de translação retilínea/cuvilínea¹ Rotação: em torno de um eixo/ponto fixo¹ Movimento geral: translação + rotações (em torno de 3 eixos): 1 Nussenzveig, H. M., Curso de Física Básica, Vol. 1, 2ª.ed., Edgard Blücher, Hibbeler, R.C., Mecânica para Engenheiros, Vols 1 e 2, Pearson Education, 12ª.ed.
4 Resumo das últimas aulas Movimento planar/tridimensional: Movimento geral: 1 Hibbeler, R.C., Mecânica para Engenheiros, Vols 1 e 2, Pearson Education, 12ª.ed.
5 Momento de inércia (de massa) Momento angular no movimento planar: Para uma rotação em torno de um eixo Δ com velocidade angular ω, o momento angular de uma partícula de massa m em relação a um ponto O (sobre o eixo) é dado por
6 Momento de inércia (de massa) Momento angular no movimento planar: O momento angular não possui necessariamente a mesma direção de ω.
7 Momento de inércia (de massa) Momento angular no movimento planar: O momento angular não possui necessariamente a mesma direção de ω. Projeção na direção do eixo Δ
8 Momento de inércia (de massa) Momento de inércia em relação a um eixo O termo de proporcionalidade entre a projeção do momento angular na direção de Δ e o módulo da velocidade angular é chamado de momento de inércia em relação ao eixo Δ:
9 Momento de inércia (de massa) Momento de inércia em relação a um eixo O termo de proporcionalidade entre a projeção do momento angular na direção de Δ e o módulo da velocidade angular é chamado de momento de inércia em relação ao eixo Δ: Momento de inércia em relação ao eixo Δ Mede a resistência do sistema à aceleração angular; medida da inércia rotacional.
10 Momento de inércia (de massa) Momento de inércia em relação a um eixo Para um sistema de partículas, o momento de inércia total (em relação a Δ) é dado pela soma dos momentos de inércia de cada partícula: Momento de inércia em relação ao eixo Δ 1 Beer et al- Vector Mechanics Engineers Statics Dynamics 9ª Ed. McGraw Hill.
11 Momento de inércia (de massa) Momento de inércia em relação a um eixo Para uma distribuição contínua de massa o momento de inércia total (em relação a Δ) é dado pela integral: Momento de inércia em relação ao eixo Δ 1 Beer et al- Vector Mechanics Engineers Statics Dynamics 9ª Ed. McGraw Hill.
12 Momento de inércia (de massa) Momento de inércia em relação a um eixo Para uma distribuição contínua de massa o momento de inércia total (em relação a Δ) é dado pela integral: Momento de inércia em relação ao eixo Δ Distribuição linear Distribuição superficial Distribuição superficial 1 Beer et al- Vector Mechanics Engineers Statics Dynamics 9ª Ed. McGraw Hill.
13 Momento de inércia (de massa) Momento de inércia em relação a um eixo O raio de giração representa a distância ao eixo em que toda a massa poderia ser concentrada sem alterar o momento de inércia: Momento de inércia em relação ao eixo Δ Raio de giração Massa total 1 Beer et al- Vector Mechanics Engineers Statics Dynamics 9ª Ed. McGraw Hill.
14 Momento de inércia (de massa) Momento de inércia em relação a um eixo Exemplo: O cone circular é formado pela revolução da área sombreada ao redor do eixo x. Determine o raio de giração do cone ( kx ), sabendo que o cone possui densidade constante e massa total M. 1 Hibbeler, R.C., Mecânica para Engenheiros, Vols 1 e 2, Pearson Education, 12ª.ed.
15 kx=?, densidade constante e massa M. Momento de inércia (de massa) Momento de inércia em relação a um eixo
16 kx=?, densidade constante e massa M. Momento de inércia (de massa) Momento de inércia em relação a um eixo 1 Hibbeler, R.C., Mecânica para Engenheiros, Vols 1 e 2, Pearson Education, 12ª.ed.
17 Momento de inércia (de massa) Momento de inércia em relação a um eixo Teorema dos eixos paralelos (Teorema de Steiner): Considere conhecido o momento de inércia em relação a um eixo (e.g. z ) que passa pelo centro de massa (CM ou G, localizado em X CM=Y CM=Z CM=0). Usando: Mostre que 1 Hibbeler, R.C., Mecânica para Engenheiros, Vols 1 e 2, Pearson Education, 12ª.ed.
18 Momento de inércia (de massa) Momento de inércia em relação a um eixo Teorema dos eixos paralelos: X CM=Y CM=Z CM=0. 1 Beer et al- Vector Mechanics Engineers Statics Dynamics 9ª Ed. McGraw Hill.
19 Momento de inércia (de massa) Momento de inércia em relação a um eixo Teorema dos eixos paralelos: X CM=Y CM=Z CM=0. O momento de inércia (Iz) de um corpo em relação a qualquer eixo (z) é igual à soma do momento de inércia (Iz ) em relação a um eixo paralelo (z ) que passe pelo centro de massa (CM) e o momento de inércia da massa total do corpo (MD²) localizada no centro de massa em relação ao eixo considerado. ¹ 1 Arya, A.P. - Introduction to Classical Mechanics, Allyn and Bacon (1990).
20 Momento de inércia (de massa) Momento de inércia em relação a um eixo Teorema dos eixos perpendiculares: A soma dos momentos de inércia de uma lâmina plana em relação a dois eixos perpendiculares no plano é igual ao momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo ponto de intersecção e é perpendicular ao plano da lâmina Válido somente para lâminas planas!!! 1 Beer et al- Vector Mechanics Engineers Statics Dynamics 9ª Ed. McGraw Hill.
21 Momento de inércia (de massa) Momento de inércia em relação a um eixo Teorema dos eixos perpendiculares: A soma dos momentos de inércia de uma lâmina plana em relação a dois eixos perpendiculares no plano é igual ao momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo ponto de intersecção e é perpendicular ao plano da lâmina 1 Beer et al- Vector Mechanics Engineers Statics Dynamics 9ª Ed. McGraw Hill.
22 Momento de inércia (de massa) Momento de inércia em relação a um eixo Teorema dos eixos perpendiculares: A soma dos momentos de inércia de uma lâmina plana em relação a dois eixos perpendiculares no plano é igual ao momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo ponto de intersecção e é perpendicular ao plano da lâmina 1 Beer et al- Vector Mechanics Engineers Statics Dynamics 9ª Ed. McGraw Hill.
23 Momento de inércia (de massa) Momento de inércia em relação a um eixo Teorema dos eixos perpendiculares: A soma dos momentos de inércia de uma lâmina plana em relação a dois eixos perpendiculares no plano é igual ao momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo ponto de intersecção e é perpendicular ao plano da lâmina 1 Beer et al- Vector Mechanics Engineers Statics Dynamics 9ª Ed. McGraw Hill.
24 Momento de inércia (de massa) Momento de inércia em relação a um eixo Teorema dos eixos perpendiculares: A soma dos momentos de inércia de uma lâmina plana em relação a dois eixos perpendiculares no plano é igual ao momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo ponto de intersecção e é perpendicular ao plano da lâmina 1 Beer et al- Vector Mechanics Engineers Statics Dynamics 9ª Ed. McGraw Hill.
25 Momento de inércia (de massa) Momento de inércia em relação a um eixo Exercício: Sabendo que o momento de inércia do aro de massa M e raio a em relação ao eixo z (perpendicular ao plano do aro, passando pelo centro de massa) é Ma², calcule o momento de inércia do aro em relação ao eixo x. 1 Arya, A.P. - Introduction to Classical Mechanics, Allyn and Bacon (1990).
26 Momento de inércia (de massa) Momento de inércia em relação a um eixo Exercício: massa M, raio a, kx =? Pelo teorema dos eixos perpendiculares e pela simetria do aro: Pelo teorema dos eixos paralelos: Raio de giração 1 Arya, A.P. - Introduction to Classical Mechanics, Allyn and Bacon (1990).
27 Para uma partícula: Momento e velocidade angulares Para um sistema de partículas compondo um corpo rígido
28 Para uma partícula: Momento e velocidade angulares Para um sistema de partículas compondo um corpo rígido Índice (a) identifica cada uma das partículas: partícula 1 de massa m ¹, posição r(1) ; partícula 2 de massa m ², posição r(2), etc..
29 Momento e velocidade angulares Para um sistema de partículas compondo um corpo rígido Como relacionar momento angular com a velocidade angular de forma análoga à relação entre momento linear e velocidade?
30 Momento e velocidade angulares Relacionando momento angular de corpo rígido com velocidade angular:
31 Momento e velocidade angulares Relacionando momento angular de corpo rígido com velocidade angular:
32 Momento e velocidade angulares Relacionando momento angular de corpo rígido com velocidade angular:
33 Momento e velocidade angulares Relacionando momento angular de corpo rígido com velocidade angular:
34 Momento e velocidade angulares Relacionando momento angular de corpo rígido com velocidade angular:
35 Momento e velocidade angulares Relacionando momento angular de corpo rígido com velocidade angular:
36 Momento e velocidade angulares Relacionando momento angular de corpo rígido com velocidade angular: Momentos de inércia em relação ao eixo do sistema x.
37 Momento e velocidade angulares Relacionando momento angular de corpo rígido com velocidade angular: Diagonal principal: Momentos de inércia em relação aos eixos do sistema de coordenadas com origem em O.
38 Momento e velocidade angulares Relacionando momento angular de corpo rígido com velocidade angular:
39 Momento e velocidade angulares Relacionando momento angular de corpo rígido com velocidade angular: Produto de inércia em relação aos eixos x e y.
40 Momento e velocidade angulares Relacionando momento angular de corpo rígido com velocidade angular: Fora da diagonal principal: Produtos de inércia em relação aos eixos do sistema de coordenadas com origem em O.
41 Tensor de inércia Relacionando momento angular de corpo rígido com velocidade angular: Tensor de inércia (Tensor de momento de inércia)
42 Tensor de inércia Relacionando momento angular de corpo rígido com velocidade angular: Tensor de inércia (Tensor de momento de inércia)
43 Tensor de inércia Exercício calcule o tensor de inércia do conjunto de massas cujos valores e posições são dados abaixo:
44 Tensor de inércia Exercício calcule o tensor de inércia do conjunto de massas cujos valores e posições são dados abaixo:
45 Tensor de inércia Relacionando momento angular de corpo rígido com velocidade angular: Para distribuição contínua de massa de massa
46 Tensor de inércia Relacionando momento angular de corpo rígido com velocidade angular: Para distribuição contínua de massa de massa
47 Momentos e eixos principais de inércia É possível encontrar um sistema de coordenadas com origem em O, tal que o tensor de inércia é diagonal?
48 Momentos e eixos principais de inércia É possível encontrar um sistema de coordenadas com origem em O, tal que o tensor de inércia é diagonal? Sim!!! Teorema: Uma matriz simétrica é sempre diagonalizável. Além disso, ela sempre pode ser diagonalizada através de uma matriz ortogonal (colunas formam uma base ortonormal de vetores) ¹
49 Momentos e eixos principais de inércia A diagonalização da matriz está ligada ao problema de autovalores e autovetores: Autovalor Autovetor
50 Momentos e eixos principais de inércia A diagonalização da matriz está ligada ao problema de autovalores e autovetores: Para soluções não triviais (a trivial seria v=0)
51 Momentos e eixos principais de inércia A diagonalização da matriz está ligada ao problema de autovalores e autovetores: Para soluções não triviais (a trivial seria v=0) Equação característica (ou secular)
52 Momentos e eixos principais de inércia A diagonalização da matriz está ligada ao problema de autovalores e autovetores: Equação de 3º grau para λ, possui 3 raízes, que são os autovalores do tensor de inércia:
53 Momentos e eixos principais de inércia A diagonalização da matriz está ligada ao problema de autovalores e autovetores: Equação de 3º grau para λ, possui 3 raízes, que são os autovalores do tensor de inércia: 3 autovetores associados a λ1, λ2, λ3. (normalmente, escolhe-se vetores normalizados)
54 Momentos e eixos principais de inércia A diagonalização da matriz está ligada ao problema de autovalores e autovetores: Fazendo a mudança de base: Componentes dos autovetores na base ux,y,z
55 Momentos e eixos principais de inércia A diagonalização da matriz está ligada ao problema de autovalores e autovetores: Fazendo a mudança de base:
56 Momentos e eixos principais de inércia A diagonalização da matriz está ligada ao problema de autovalores e autovetores: Momentos principais de inércia Eixos principais de inércia
57 Momentos e eixos principais de inércia Balanceamento: Quando o centro de gravidade do corpo rígido encontrase sobre o eixo de rotação, diz-se que ele está estaticamente balanceado. Quando eixo de rotação é um dos eixos principais, diz-se que ele está dinamicamente balanceado. Quando esta última condição não é observada, o momento angular varia a direção, o que indica a existência de um torque. O corpo começa a vibrar e diz-se que o corpo está desbalanceado. 1 Arya, A.P. - Introduction to Classical Mechanics, Allyn and Bacon (1990).
58 Momentos e eixos principais de inércia Balanceamento: 1 Arya, A.P. - Introduction to Classical Mechanics, Allyn and Bacon (1990).
59 Momentos e eixos principais de inércia Balanceamento: 1 Arya, A.P. - Introduction to Classical Mechanics, Allyn and Bacon (1990).
60 Momentos e eixos principais de inércia Balanceamento: 1 Arya, A.P. - Introduction to Classical Mechanics, Allyn and Bacon (1990).
61 Momentos e eixos principais de inércia Exercício: Obtenha os eixos principais de inércia em relação ao ponto O (origem do sistema de coordenadas) do conjunto de 4 massas (2 com massa M e 2 com massa m) ligadas por hastes de massas desprezíveis, distribuídas conforme a figura. O que acontece quando M=m?
62 Momentos e eixos principais de inércia Exercício: Obtenha os eixos principais de inércia em relação ao ponto O (origem do sistema de coordenadas) do conjunto de 4 massas (2 com massa M e 2 com massa m) ligadas por hastes de massas desprezíveis, distribuídas conforme a figura. O que acontece quando M=m?
63 Momentos e eixos principais de inércia Exercício: Obtenha os eixos principais de inércia em relação ao ponto O (origem do sistema de coordenadas) do conjunto de 4 massas (2 com massa M e 2 com massa m) ligadas por hastes de massas desprezíveis, distribuídas conforme a figura. O que acontece quando M=m?
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