Corpos Rígidos CORPOS RÍGIDOS. Mecânica II (FIS-26) Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá IEFF-ITA. 5 de março de R.R.Pelá

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1 CORPOS RÍGIDOS Mecânica II (FIS-26) Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá IEFF-ITA 5 de março de 2013

2 Roteiro 1 2

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4 Algarismos significativos 0,333 3 alg. sign. 3,155 4 alg. sign. 3 1 alg. sign. 3,0 2 alg. sign alg. sign alg. sign. 3,010 4 alg. sign. 0,033 2 alg. sign. 0,030 2 alg. sign.

5 Algarismos significativos Algarismo significativo é diferente de casa decimal Fazer os cálculos com a maior quantidade de casas decimais possível No final, ao dar a resposta, colocar com a quantidade adequada de algarismos significativos Regra do mais pobre Arredondar sempre para o número mais próximo Arredondar não é o mesmo que truncar

6 Exemplo Um corpo de 3,00 kg está sujeito a uma força de 10 N. Qual a aceleração deste corpo? Qual o deslocamento do corpo após 3,00 s, considerando que o mesmo partiu do repouso? Solução: Aceleração: a = F/m = 10/3,00 = 3,33333 m/s 2 Considerando alg. sign.: a = 3,3 m/s 2 Distância: d = at 2 /2 = (3,3333)(3, 00) 2 /2 = 15,000 m Considerando alg. sign.: d = 15 m

7 Mecânica I Estática Cinemática Dinâmica: força e aceleração Dinâmica: trabalho e energia Dinâmica: momento linear e angular Teoria cinética dos gases

8 Mecânica I Centro de Massa (CM) de um sistema de N partículas: r CM = mi r i M sendo M = N m i. i=1 Há uma tabela de CM no apêndice da apostila Também no site: rrpela/downloads/fis26- MomentoArea-2011.jpeg rrpela/downloads/fis26- MomentoInercia-2011.jpeg

9 Mecânica I Distribuição linear: r CM = rdm rλdl M = M Distribuição superficial: r CM = rdm rσda M = M Distribuição volumétrica: r CM = rdm rρdv M = M

10 Mecânica I Se um corpo possui um eixo de simetria, então o CM está localizado sobre este eixo. Se um sistema de partículas pode ser subdividido em dois subsistemas A e B, então: r CM = m A r CM,A + m B r CM,B m A + m B

11 Mecânica I Momento linear de um sistema de partículas: P = m 1 v 1 + m 2 v m N v N = M v CM Segunda lei de Newton: F (ext) = d P dt = M a CM Propriedade do CM O CM de um sistema de partículas se move como se a massa total do sistema e todas as forças estivessem atuando neste ponto.

12 Mecânica I Momento angular de um sistema de partículas: L = N m i r i v i = M r CM v CM + L CM i=1 onde L CM é o momento angular do sistema em relação a um referencial no CM Torque: τ (ext) = d L dt τ (ext) CM = d L CM dt

13 Mecânica I Trabalho e energia: W (ext) + W (int) = E C se as forças internas são conservativas: W (ext) = U sendo U = E C + E (int) P Pergunta desafio: Como desfazer a aparente contradição entre a equação W (ext) = U e a primeira lei da Termodinâmica?

14 Mecânica I Energia cinética: E C = m 1v m 2v No caso de duas partículas: m Nv 2 N 2 = Mv2 CM 2 + E C,CM E C,CM = µv2 rel 2 sendo µ = (m 1 m 2 )/(m 1 + m 2 ) a massa reduzida do sistema de duas partículas.

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16 Motivação Dificilmente, as partículas ocorrem isoladamente na natureza, elas geralmente formam aglomerados, ou melhor, sistemas de partículas. Molécula de H 2 : sistema de 4 partículas. 22,4 l de Ar, nas condições normais de temperatura e pressão, podem ser vistos como um sistema de partículas de Ar Classe de sistemas de partículas particularmente útil em diversos problemas de Engenharia: são os corpos rígidos.

17 Motivação Corpo Rígido Um corpo rígido é um sistema de partículas no qual a distância entre quaisquer duas partículas não se altera com o tempo. Exemplos de corpos rígidos: uma caixa, as pás da hélice de um ventilador, a roda de um automóvel, a fuselagem de um avião, uma barra Na prática, não existam corpos perfeitamente rígidos Todos os corpos admitem pequenas deformações No entanto, a teoria de corpos rígidos consegue fornecer resultados excelentes para o movimento de muitos corpos Corpos deformáveis: podem ser considerados rígidos, numa primeira aproximação

18 Quando todas as partículas de um corpo rígido se movem ao longo de trajetórias que são equidistantes de um plano fixo, diz-se que o corpo rígido possui um movimento plano. Há 3 tipos de movimento plano de corpo rígido 1 Translação: quando cada segmento de linha sobre o corpo rígido permanece, durante o movimento, paralelo à sua posição original. 2 Rotação em torno de um eixo fixo: quando todas as partículas do corpo rígido (exceto as que se apoiam sobre o eixo de rotação) se movem em trajetórias circulares. 3 Movimento plano geral: quando há uma combinação dos dois movimentos anteriores.

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20 Movimento de Translação Derivando: v B = v A O movimento de translação é de análise imediata A derivada de r B/A é zero por se tratar de movimento de translação Por fim, a aceleração é dada por: a B = a A r B = r A + r B/A

21 Rotação em torno de um eixo fixo Reduz-se ao movimento circular de um ponto P em qualquer seção transversal ao eixo. 1 grau de liberdade: ângulo θ Isto é falso para um movimento de rotação mais geral (e.g., no movimento de um pião, o eixo de rotação varia a cada instante). Para caracterizar uma rotação no caso geral, não basta o ângulo de rotação, é preciso saber a direção do eixo de rotação.

22 Rotação em torno de um eixo fixo Podemos associar um vetor θ a uma rotação? Uma rotação finita, embora tenha módulo, direção e sentido, não é um vetor Rotações infinitesimais podem ser caracterizadas como vetores. δθ módulo: δθ (deslocamento angular), : direção: eixo de rotação, sentido: regra da mão direita.

23 Rotação em torno de um eixo fixo Isto continua válido mesmo quando OP e P P não estão no mesmo plano. Sendo OP = r e P P = δ s, temos: δ s = δ θ r. Neste caso: δs = ρδθ = r sin ϕ(δθ).

24 Rotação em torno de um eixo fixo Uma vez definido o vetor ângulo (infinitesimal), temos: ( δ ω = lim ) θ, δt 0 δt v = lim δt 0 ( ) ( δ s = lim δt δt 0 δ θ δt ) r = ω r. Derivando em relação ao tempo, obtemos a aceleração de um certo ponto P do corpo rígido: a = d ω dt sendo α = d ω dt r + ω d r dt a aceleração angular. = α r + ω ( ω r),

25 Movimento Plano Geral Movimento plano geral = translação + rotação O sistema de eixos xy é fixo e mede a posição absoluta de dois pontos A e B sobre o corpo. A origem do sistema x y está fixada a um ponto A do corpo rígido (um ponto que geralmente tem um movimento conhecido) Os eixos x y não giram com o corpo, eles podem apenas transladar em relação ao sistema fixo

26 Movimento Plano Geral v B = v A + v B/A B está sempre à mesma distância de A Seu movimento (em relação a A) pode ser caracterizado como uma rotação em torno de um eixo fixo que passa por A v B = v A + ω r B/A a B = a A + α r B/A + ω ( ω r B/A )

27 Exemplo A barra AB mostrada na Figura está confinada a mover-se ao longo de planos inclinados em A e B. Se o ponto A tem uma aceleração de 3,00 m/s 2 e uma velocidade de 2,00 m/s ambas direcionadas plano abaixo no instante em que a bara fica na horizontal, determine a aceleração angular da barra neste instante.

28 Solução Uma vez que A e B se movem em trajetórias retilíneas, as velocidades (e acelerações) destes pontos estão dirigidas ao longo destas direções Como o comprimento da barra não varia com o tempo, v A cos 45 = v B cos 45, ou seja, v B = v A = 2,00 m/s. Como v B/A = ωr B/A, temos: (2).(2m/s).( 2/2) = (ω).(10,0 m), ou seja, ω = (0,283 rad/s)ẑ

29 Solução Aceleração angular: a B = a A + α r B/A + ω ( ω r B/A ) (a B cos 45 )ˆx + (a B sin 45 )ŷ = (a A cos 45 )ˆx (a A sin 45 )ŷ + (10,0α)ŷ (0,283) 2.(10,0)ˆx que conduz ao seguinte sistema de equações: { ab cos 45 = a A cos 45 (0,283) 2.(10,0) a B sin 45 = a A sin ,0α Substituindo a A = 3,00 m/s 2, obtemos α = (0,344 rad/s 2 )ẑ