Mecânica I (FIS-14) Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá Sala 2602A-1 Ramal 5785

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1 Mecânica I (FIS-14) Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá Sala 2602A-1 Ramal 5785 rrpela@ita.br

2 Onde estamos? Nosso roteiro ao longo deste capítulo Cinemática retilínea: movimento contínuo Cinemática retilínea: movimento irregular Movimento curvilíneo geral Movimento curvilíneo: componentes retangulares Movimento de um projétil Movimento curvilíneo: componentes normal e tangencial Movimento curvilíneo: componentes cilíndricas Análise do movimento absoluto dependente de duas partículas Movimento relativo de duas partículas usando eixos de translação Movimento relativo de duas partículas usando eixos de rotação

3 2.5 Movimento curvilíneo: componentes retangulares Ocasionalmente, o movimento de uma partícula pode ser mais bem descrito ao longo de uma trajetória que pode ser expressa em termos de suas coordenadas x, y, z. Se a partícula está em um ponto (x,y,z) sobre a trajetória curva, então sua posição é dada por:

4 Velocidade 2.5 Movimento curvilíneo: componentes retangulares A velocidade é sempre tangente à trajetória

5 Aceleração 2.5 Movimento curvilíneo: componentes retangulares Em geral, a aceleração não é tangente à trajetória

6 2.5 Movimento curvilíneo: componentes retangulares Exemplo: em qualquer instante de tempo, a posição horizontal do balão meteorológico é definida por x = (9,00t) m, onde t é dado em s. Se a equação da trajetória é sendo x dado em m, determine a intensidade e a direção da velocidade e da aceleração quando t = 2,00 s.

7 2.5 Movimento curvilíneo: componentes retangulares Exemplo: Para

8 2.5 Movimento curvilíneo: componentes retangulares Exemplo: Para

9 2.5 Movimento curvilíneo: componentes retangulares Exemplo: por um curto período de tempo, a trajetória de um avião é descrita por se o avião está decolando com uma velocidade constante de 10,0 m/s (na vertical), determine as intensidades da velocidade e aceleração quando ele está em y=100 m

10 2.5 Movimento curvilíneo: componentes retangulares Para y=100 m Para y=100 m Para y=100 m

11 2.6 Movimento de um projétil O movimento de um projétil em voo livre é frequentemente estudado em termos das suas componentes retangulares.

12 2.6 Movimento de um projétil Visto que a x = 0, a aplicação das equações de aceleração constante, resulta em: A primeira e a última equação indicam que a componente horizontal da velocidade sempre permanece constante durante o movimento.

13 2.6 Movimento de um projétil Movimento vertical Visto que o eixo y positivo está direcionado para cima, então a y = g. Obtemos A última equação pode ser formulada com base na eliminação do tempo t das duas primeiras equações, e, portanto, apenas duas das três equações anteriormente apresentadas são mutuamente independentes.

14 2.7 Movimento curvilíneo: componentes normal e tangencial Movimento curvilíneo: componentes normal e tangencial Quando a trajetória ao longo da qual uma partícula se move é conhecida, costuma ser conveniente descrever o movimento utilizando-se eixos de coordenadas n e t os quais atuam normal e tangente à trajetória, respectivamente, e no instante considerado tem sua origem localizada na partícula.

15 2.7 Movimento curvilíneo: componentes normal e tangencial Movimento plano Considere a partícula mostrada na Figura acima, que se move em um plano ao longo de uma curva fixa tal que em dado instante ela está na posição s, medida a partir do ponto O.

16 2.7 Movimento curvilíneo: componentes normal e tangencial Movimento plano A única escolha para o eixo normal pode ser feita observando-se que geometricamente a curva é construída a partir de uma série de segmentos do arco diferenciais ds, O plano que contém os eixos n e t é referido como o plano osculador, e nesse caso ele é fixo no plano do movimento.

17 2.7 Movimento curvilíneo: componentes normal e tangencial Velocidade A velocidade da partícula v tem uma direção que é sempre tangente à trajetória, Desse modo, onde:

18 2.7 Movimento curvilíneo: componentes normal e tangencial Aceleração A aceleração da partícula é a taxa de variação temporal da velocidade. Assim,

19 2.7 Movimento curvilíneo: componentes normal e tangencial Aceleração Como mostrado na Figura abaixo, precisamos u t = u t + du t.

20 2.7 Movimento curvilíneo: componentes normal e tangencial Aceleração a pode ser escrita como a soma de suas duas componentes, onde: e ou

21 2.7 Movimento curvilíneo: componentes normal e tangencial Aceleração Essas duas componentes mutuamente perpendiculares são mostradas na Figura abaixo. Portanto, a intensidade da aceleração é o valor positivo de:

22 2.7 Movimento curvilíneo: componentes normal e tangencial Movimento tridimensional Conhecendo u t e u n, podemos determinar o versor u b : u b = u t u n.

23 2.7 Movimento curvilíneo: componentes normal e tangencial Exercício Se a trajetória é expressa como y = f (x), o raio da curvatura ρ em qualquer ponto sobre a trajetória é determinado pela equação: