Prof. Marcelo França

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1 Prof. Marcelo França

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3 VETOR POSIÇÃO ( ). No capítulo precedente, estudamos as propriedades e as operações envolvendo vetores. Temos, agora, plenas condições de iniciar o estudo dos movimentos no plano e no espaço. Para tanto, precisamos definir alguns conceitos básicos. Dado um sistema de coordenadas, no plano ou no espaço, podemos determinar a posição de qualquer objeto pontual (partícula) com o auxílio de um vetor posição, que vai da origem do sistema coordenado até o ponto onde a partícula se encontra.

4 A figura acima mostra uma partícula descrevendo uma trajetória no plano XY, entre dois instantes, t 1 e t 2, e seus respectivos vetores posição são e, tal que,

5 VETOR DESLOCAMENTO ( ). No intervalo de tempo t = t 2 - t 1, que vai do instante t 1 ao instante t 2, a partícula sofre, ao longo da trajetória, um deslocamento vetorial, tal que,

6 Note que o vetor é o vetor diferença entre e e que, portanto, vai da posição inicial à posição final (ver figura abaixo).

7 Vejamos o exemplo abaixo: No instante t 1, o vetor posição de uma partícula é dado por: (em unidades S.I.) No instante t 2, o vetor posição é: (em unidades S.I.) Logo, o vetor deslocamento, no intervalo de tempo t = t 2 - t 1 será: Logo, (em unidades S.I.)

8 Vamos representar os vetores no plano. Observe que o vetor deslocamento independe da forma da trajetória, pois o mesmo vai da posição inicial à posição final de uma partícula que se move no plano ou no espaço (os argumentos acima podem ser aplicados ao espaço tridimensional).

9 RELAÇÃO ENTRE O VETOR DESLOCAMENTO E O DESLOCAMENTO ESCALAR. Vimos na seção anterior que o vetor deslocamento vai da posição inicial à posição final num movimento plano qualquer. Por outro lado, o deslocamento escalar s corresponde ao deslocamento ao longo da trajetória ( ver figura abaixo). Verifica-se, a partir da figura ao lado, que A igualdade se verifica para trajetórias retilíneas, ou seja, (trajetórias retilíneas)

10 VETOR VELOCIDADE MÉDIA ( ): Na seção anterior vimos que, para o plano, representa o vetor deslocamento no intervalo de tempo t = t 2 - t 1. Definimos o vetor velocidade média como a razão ou seja, Das relações obtidas acima, concluímos que o vetor velocidade média tem a mesma direção e o mesmo sentido do vetor deslocamento.

11 De acordo com o exemplo anterior, se a partícula se desloca da posição para a posição num intervalo de tempo t = 2 s, o vetor velocidade média por será dado

12 Ao representarmos o vetor no plano, teremos Portanto, a direção e o sentido do vetor velocidade média representam a direção e o sentido do movimento, enquanto seu módulo nos fornece a rapidez com esse deslocamento é realizado.

13 Vejamos uma comparação entre o vetor velocidade média escalar média num movimento circular. e a velocidade Consideremos, a princípio, uma trajetória circular de centro O ( tomado como origem ) e raio R e que, em t o = 0, a partícula se encontre na posição P 1 da trajetória.

14 Vamos supor que, no intervalo de tempo t = t 1 - t o a partícula percorra ¼ de volta, atingindo o ponto P 2 da trajetória.

15 Note que o deslocamento escalar tem módulo igual a Enquanto o módulo do deslocamento vetorial é dado pelo teorema de Pitágoras, ou seja, Observe que,, portanto, (verifique!)

16 Admitamos, agora, o intervalo de tempo t = t 2 - t o, em que a partícula percorre 1/2 volta, atingindo o ponto P 3 da trajetória. Neste caso, o módulo do deslocamento escalar é, ao passo que o deslocamento vetorial possui módulo.

17 VETOR VELOCIDADE INSTANTÂNEA : No estudo da cinemática escalar, definimos a velocidade escalar instantânea como sendo o limite da velocidade escalar média para intervalos de tempo muito pequenos. Da mesma forma, definimos o vetor velocidade instantânea ou, simplesmente, vetor velocidade como o limite do vetor velocidade média para intervalos de tempo muito pequenos, ou seja, para. De fato,

18 No plano, o vetor velocidade seria representado por onde e são os módulos das componentes ortogonais de nas direções OX e OY, respectivamente. Isto é, E, portanto,,

19 A interpretação da definição acima pode ser feita geométrica e intuitivamente (embora haja uma demonstração mais rigorosa) com o auxílio da figura abaixo que mostra deslocamentos sucessivos de uma partícula em intervalos de tempo cada vez menores culminando com o limite, para o qual, determinamos a direção e o sentido do vetor. Na figura, são representados vetores deslocamento e velocidade média para intervalos de tempo cada vez menores. Note que, no limite, quando, os vetores velocidade média tendem a um vetor tangente à trajetória que representa a direção e o sentido do vetor velocidade no instante t 1.

20 Do exposto, concluímos que: Os vetores velocidade são tangentes à trajetória em cada ponto da mesma.

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