4 Movimento em Duas ou Três Dimensões

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1 4 Movimento em Duas ou Três Dimensões

2 4-1 Posição e Deslocamento Metas de aprendizado Desenhar vetores de posição em duas ou três dimensões, indicando os componentes ao longo dos eixos do sistema de coordenadas. Em um sistema de coordenadas, determinar a direção e magnitude do vetor de posição de uma partícula a partir de seus componentes e vice-versa. Aplicar a relação entre o vetor deslocamento de uma partícula e seus vetores posição inicial e final.

3 Qual é a física? Análise do movimento em 2D e 3D Medicina e engenharia: efeito do movimento em voos p. ex. Engenharia: materiais esportivos Carro x avião: 2D x 3D

4 Posição e Deslocamento Localizando a partícula no espaço com o vetor posição: Componente z Componente y Se estende de um ponto de referência (origem) até a partícula Exemplo Vetor posição para partícula em (-3m, 2m, 5m) Componente x

5 Posição e Deslocamento Alteração na posição da partícula pode ser descrita pelo vetor deslocamento: Que pode ser reescrito como: Ou também:

6 4-2 Velocidade Média e Velocidade Instantânea Metas de aprendizado Concluir que a velocidade é um vetor e portanto possui magnitude e direção e também componentes. Desenhar vetores de velocidade bi- e tridimensionais para uma partícula, indicando os componentes ao longo dos eixos do sistema de coordenadas. Em notação de magnitude-ângulo ou vetores unitários, relacionar os vetores posição inicial e final, o intervalo de tempo entre estas posições e o vetor velocidade média. Dado um vetor posição de uma partícula como função do tempo, determinar seu vetor velocidade (instantânea).

7 Velocidade Média O quão rápido a posição se alterou num certo intervalo? Ou podemos escrever suas componentes: (vetor velocidade média) Conforme a partícula se move, o vetor posição se altera Tangente Trajetória Este é o deslocamento

8 Velocidade Instantânea O quão rápido a posição se altera a cada instante? (vetor velocidade instantânea) Ou podemos escrever suas componentes e vetores unitários:

9 Velocidade Instantânea A direção da velocidade instantânea é sempre tangente à trajetória da partícula O vetor velocidade sempre é tangente à trajetória Tangente Trajetória Estas são as componentes x e y do vetor neste instante

10 4-3 Aceleração Média e Aceleração Instantânea Metas de aprendizado Concluir que a aceleração é um vetor e portanto possui magnitude e direção e também suas componentes. Desenhar os vetores aceleração em duas ou três dimensões para uma partícula, indicando suas componentes. Dados os vetores velocidade inicial e final de uma partícula e o intervalo de tempo entre estas velocidades, determinar o vetor aceleração média nas notações magnitude-ângulo e vetores unitários. Dado o vetor velocidade de uma partícula como uma função do tempo, determinar seu vetor aceleração (instantânea). Para cada direção do movimento, aplicar as equações de aceleração constante (Cap. 2) para relacionar aceleração, velocidade, posição, e tempo.

11 Aceleração Média O quão rápido a velocidade se alterou num certo intervalo? (vetor aceleração média) Ou podemos escrever suas componentes:

12 Aceleração Instantânea O quão rápido a velocidade se altera a cada instante? (vetor aceleração instantânea) Ou podemos escrever suas componentes e vetores unitários:

13 Aceleração Instantânea Estas são as componentes x e y do vetor neste instante Trajetória

14 4-4 Movimento de Projéteis Metas de aprendizado No desenho da trajetória do movimento de um projétil, explicar os módulos e direções da velocidade e aceleração durante o voo. Dada a velocidade de lançamento na notação de magnitude-ângulo ou vetores unitários, calcular a posição da partícula, deslocamento, e velocidade num determinado instante durante o voo. Fornecido os dados para um instante durante o voo, calcular a velocidade de lançamento.

15 Movimento de Projéteis É um caso especial de movimento em 2D

16 Independência dos movimentos No movimento de projéteis, o movimento na direção horizontal independe do movimento na direção vertical e com isso podem ser tratados de maneira separada como problemas em1d.

17 Movimento de Projéteis Movimento vertical + Movimento horizontal movimento de projétil Veloc. vertical Este movimento vertical mais este movimento horizontal produz este movimento de projétil Velocidade de lançamento Ângulo de lançamento Lançamento Veloc. horizontal Lançamento

18 Movimento de Projéteis Veloc. decrescente Veloc. constante

19 Movimento de Projéteis Parado na altura máxima Veloc. constante

20 Movimento de Projéteis Veloc. aumenta Veloc. constante

21 Movimento de Projéteis Veloc. constante

22 O movimento horizontal O movimento é uniforme, isto é, sem aceleração:

23 O movimento vertical A aceleração é constante e para baixo em toda a trajetória:

24 A equação da trajetória Basta isolar a variável do tempo numa equação e substituir na outra: Relembrando: Assim temos:

25 O alcance horizontal A posição na direção y (vertical) volta a ser a mesma do início do lançamento e na direção x (horizontal) será o chamado alcance: Portanto, o alcance é máximo quando sen 2q é máximo, isto é, quando o projétil é lançado a 45 graus

26 O alcance horizontal: os efeitos do ar Nos cálculos anteriores consideramos os efeitos do ar como desprezíveis, uma aproximação grosseira da realidade. Com os efeitos do ar o alcance máximo, a altura máxima e o tempo de voo diminuem. O ar reduz a altura e o alcance

27 4-5 Movimento Circular Uniforme Metas de aprendizado Desenhar a trajetória em um movimento circular uniforme e explicar os vetores velocidade e aceleração (magnitude e direção) durante o movimento. Aplicar as relações entre o raio da trajetória circular, o período, a velocidade da partícula, e a sua aceleração.

28 Movimento Circular Uniforme Uma partícula está em movimento circular uniforme se: Descreve uma trajetória circular ou um arco de circunferência Em velocidade escalar constante Percebam que a velocidade se altera (direção), portanto a partícula está acelerada Velocidade e aceleração Módulo constante Mudança de direção O vetor velocidade é sempre tangente à trajetória O vetor aceleração sempre aponta para o centro

29 Movimento Circular Uniforme

30 Movimento Circular Uniforme A aceleração é chamada de aceleração centrípeta: Sempre em direção ao centro da trajetória O período de revolução T é o tempo que a partícula leva para completar uma volta numa trajetória fechada

31 4-6 Movimento Relativo em Uma Dimensão Metas de aprendizado Aplicar as relações entre a posição da partícula, velocidade e aceleração tal como medidas a partir de dois sistemas de referência que se movem em relação um ao outro numa velocidade constante e ao longo de um dos eixos.

32 Movimento Relativo em Uma Dimensão As medidas de posição e velocidade dependem do referencial Como o observador está se movendo? Nosso sistema de referência usual é a Terra Na figura, os subscritos com A ou com B se referem aos referenciais nos quais foram medidos referencial A O referencial B se move em relação ao referencial A, enquanto ambos observam P referencial B

33 Movimento Relativo em Uma Dimensão Da figura, podemos ver que a posição da partícula pode ser descrita como: Derivando a equação acima obtemos a velocidade: O referencial B se move em relação ao referencial A, enquanto ambos observam P As acelerações (para referenciais não acelerados a BA =0) são descritas por: referencial A referencial B

34 4-7 Movimento Relativo em Duas Dimensões Metas de aprendizado Aplicar as relações entre a posição da partícula, velocidade e aceleração tal como medidas a partir de dois sistemas de referência que se movem em relação um ao outro numa velocidade constante e em duas dimensões.

35 Movimento Relativo em Duas Dimensões Da mesma maneira que em uma dimensão, mas agora utilizando-se de vetores Posições Velocidades Acelerações (para referenciais não acelerados) referencial B referencial A