VETOR POSIÇÃO 𝑟 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘

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2 VETOR POSIÇÃO r = xi + yj + zk

3 VETOR DESLOCAMENTO Se uma partícula se move de uma posição r 1 para outra r 2 : r = r 2 r 1 r = x 2 x 1 i + y 2 y 1 j + z 2 z 1 k VETORES VELOCIDADE MÉDIA E VELOCIDADE INSTANTÂNEA v m = r t v = dr dt

4 Exemplo 1 Um veículo robótico está explorando a superfície de Marte. O módulo de aterrissagem é a origem do sistema de coordenadas e a superfície do planeta é o plano xy. O veículo, que será representado por um ponto, possui componentes x e y que variam com o tempo de acordo com: x = 2 m (0,25 m/s²)t² y = (1 m/s)t + (0,025 m/s³)t³ a) Calcule as coordenadas do veículo e sua distância do módulo de aterrissagem no instante t = 2s. b) Calcule o vetor deslocamento e o vetor velocidade média no intervalo de tempo entre 0 s e 2 s. c) Expresse a velocidade instantânea em t = 2 s, usando componentes e também em termos do módulo, direção e sentido.

5 VETORES ACELERAÇÃO MÉDIA E ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA a m = v t a = dv dt Exemplo 2 Para o exemplo 1: a) Calcule os componentes do vetor aceleração média no intervalo de tempo entre 0 s e 2 s. b) Ache a aceleração instantânea para t = 2s.

6 COMPONENTES PERPENDICULARES E PARALELOS DA ACELERAÇÃO

7 Componente Paralelo: Há mudança no módulo da velocidade, mas não em sua direção; O móvel se move em linha reta, com velocidade escalar variável.

8 Componente Perpendicular: Há mudança na direção da velocidade, mas não em seu módulo; O móvel se move em trajetória curva, com velocidade escalar constante.

9 Exemplo 3: encontre os componentes paralelo e perpendicular da aceleração em t = 2s para os exemplos anteriores.

10 MOVIMENTO DE PROJÉTEIS Um projétil é um corpo lançado no ar, o qual realiza uma trajetória curvilínea, devido sua velocidade inicial, à aceleração da gravidade e à resistencia do ar. a x = 0 a y = -g

11 Considerando o instante do lançamento do projétil: No eixo vertical: g//v 0y altera o módulo da velocidade, mas não sua direção; ocorre movimento na vertical, com velocidade variando uniformemente queda livre v = v 0 + gt y = y 0 + v 0 t gt²

12 Considerando o instante do lançamento do projétil: No eixo horizontal: g v 0x muda a direção da velocidade do projétil, mas não seu módulo; movimento com velocidade constante MRU v = v 0x x = x 0 + vt

13 * Trajetória do projétil: Componentes de v 0 : v ox = v o cosθ 0 v oy = v o senθ 0 Para cada eixo: x = x 0 + v 0x t x = (v 0 cosθ 0 )t (I) y = y 0 + v 0y t 1 gt² y = (v 2 0senθ 0 )t 1 gt² (II) 2

14 Isolando t em (I) e substituindo em (II): t = x v 0 cosθ 0 y = v 0 senθ 0. x v 0 cosθ g x v 0 cosθ 0 2 y = tgθ 0 x g 2v 0 ²cos²θ 0 x² Equação da Trajetória (Equação da parábola)

15 * Alcance Horizontal R: Indica a distância horizontal entre a posição final do projétil e o seu ponto de lançamento Horizontal: R = v 0 cosθ 0 t t = R v 0 cosθ 0 Vertical: 0 = v 0 senθ 0 t 1 2 gt² Substituindo o tempo na segunda equação: 0 = v 0 senθ 0. R v 0 cosθ g 0 = R senθ 0 cosθ g R² R v 0 cosθ 0 v 0 ²cos²θ 0 2

16 gr² 2v 0 ²cos²θ 0 = R senθ 0 cosθ 0 R = 2v 0²cos²θ 0 g. senθ 0 cosθ 0 R = v 0² g. 2cosθ 0senθ 0 Usando a identidade trigonométrica 2senθ 0 cosθ 0 =sen2θ 0 : R = v 0² g sen2θ 0 R máx θ 0 = 45 o R mín θ 0 = 0 ou θ 0 = 90 o

17 Exemplo 4 Um motociclista maluco se projeta para fora da borda de um penhasco. No ponto exato da borda, sua velocidade é horizontal e possui módulo igual a 9 m/s. Ache a posição do motociclista, a distância da borda do penhasco e a velocidade depois de 0,5 s.

18 Exemplo 5 Uma bola de beisebol deixa o bastão do batedor com uma velocidade inicial v 0 = 37 m/s com um ângulo inicial θ 0 = 53,1 o em um local onde g = 9,8 m/s². a) Ache a posição da bola e o módulo, a direção e o sentido de sua velocidade para t = 2s. b) Calcule o tempo que a bola leva para atingir a altura máxima de sua trajetória e ache a altura h desse ponto. c) Ache o alcance horizontal R, ou seja, a distância entre o ponto inicial e o ponto onde a bola atinge o solo.

19 MOVIMENTO CIRCULAR A trajetória circular é causada pelo componente da aceleração perpendicular à velocidade, responsável por alterar sua direção.

20 * Movimento Circular Uniforme (MCU): A velocidade escalar do móvel é constante, pois nesse caso não existe o componente paralelo da aceleração. Considere uma partícula em dois instantes em um MCU:

21 Da definição de ângulo, θ = S/R, temos para cada um dos triângulos semelhantes que: θ = S R e θ = v v, onde v = v 1 = v 2 Portanto: v v = S R v = v R S Dividindo a equação por t: v t = v R S t Tomando o limite para t 0, temos: v lim t 0 t = v R lim S t 0 t a = v R v

22 Sendo a velocidade instantânea constante no MCU: a = v² R Como a aceleração é radial em todo o MCU, denomina-se a = a rad. Assim: a rad = v² R

23 Exemplo 6 O carro Aston Martin V8 Vantage possui aceleração lateral de 0,96g, o que equivale a 0,96. 9,8 m/s² = 9,4 m/s². o que representa a aceleração centrípeta máxima sem que o carro deslize para fora de uma trajetória circular. Se o carro se desloca a uma velocidade constante de 40 m/s (cerca de 144 km/h), qual é o raio mínimo da curva que ele pode aceitar?

24 Exemplo 7 Em um brinquedo de parque de diversões, os passageiros viajam com velocidade constante em um círculo com raio 5 m. Eles fazem uma volta completa no círculo em 4 s. Qual é a aceleração deles?

25 VELOCIDADE RELATIVA Geralmente a velocidade é medida a partir de um referencial considerado em repouso, como o solo ou alguma placa ou marco preso a ele. No entanto, é possível medi-la para referenciais também em movimento, como faz um motorista ao ultrapassar um veículo a sua frente. Nesse exemplo, a velocidade do motorista em relação à estrada possui certo valor, porém em relação ao carro da frente observa-se um módulo diferente.

26 * Velocidade Relativa em Uma Dimensão: Se uma mulher caminha com velocidade de 1 m/s em um trem a 3 m/s, qual a velocidade da mulher? Para responder essa pergunta, é necessário conhecer o referencial para o qual foi medido cada velocidade e qual o sentido do deslocamento da mulher e do trem.

27 Mulher e trem se deslocam para direita: Em relação ao solo: Em relação ao trem: v = v m + v t = 4 m/s v = v m = 1 m/s

28 Mulher se desloca para esquerda e trem para direita: Em relação ao solo: Em relação ao trem: v = v t v m = 2 m/s v = v m = -1 m/s

29 Exemplo 8 Você dirige em uma estrada retilínea do sul para o norte com velocidade constante de 88 km/h. Um caminhão se aproxima em sentido contrário com velocidade constante de 104 km/h. a) Qual a velocidade do caminhão em relação à você? b) Qual sua velocidade em relação ao caminhão? c) Como as velocidades relativas variam depois que o caminhão cruza por você?

30 * Velocidade Relativa em Duas ou Três Dimensões: Nesse caso, estende-se o conceito de velocidade relativa para mais dimensões, utilizando-se a notação vetorial para um espaço bidimensional ou tridimensional.

31 Exemplo 9 Voando com vento ortogonal: a bússola de um avião mostra que ele se desloca do sul para o norte e seu indicador de velocidade do ar mostra que ele está se movendo no ar com velocidade igual a 240 km/h. Se existe um vento de 100 km/h de oeste para leste, qual é a velocidade do avião em relação à Terra?

32 REFERÊNCIAS Young & Freedman. Sears & Zemansky Física I: Mecânica. 12ª edição, editora Addison Wesley, São Paulo, As imagens e exemplos foram extraídas da fonte acima ou criadas pelo autor.