Universidade Federal do Paraná Departamento de Física

Transcrição

1 Universidade Federal do Paraná Departamento de Física Prof. Lauro Luiz Samojeden

2 Capítulo 2 Movimento Retilíneo Um dos objetivos da física é estudar o movimento dos objetos. A rapidez com que se movem, a distância percorrida ou a posição em um instante particular. Ex. A zootecnia usa essa parte da física para estudar o movimento dos animais. Cinemática Parte da mecânica que estuda o movimento sem se preocupar com o que causou esse movimento. Consideraremos o movimento somente em linha reta (na horizontal ou na vertical). Movimento unidimensional. Nosso objetivo será descrever o movimento de um objeto, isto é, sua trajetória, sua velocidade e se ele está acelerado ou não.

3 Consideraremos apenas aqueles objetos que possam ser representados como partículas. Frequentemente usaremos a partícula como modelo ideal de um corpo em movimento, isto é, quando os efeitos de rotacão e da forma do objeto não forem relevantes. Nesse caso todas as partes do corpo movem-se na mesma direção e com a mesma rapidez. Exemplo: Movimento da Terra ao redor do Sol. Um animal correndo em uma estrada reta. Para descrever o movimento, precisamos em primeiro lugar de um referencial. No caso unidimensional é simplesmente uma reta orientada em que se escolhe a origem O. A posição de uma partícula em movimento no instante t é descrita pela abscissa correspondente x(t). Não confundir x(t) com x(m)! Ver figura ao lado.

4 Observar na figura anterior o sentido positivo e o sentido negativo. A mudança de uma posição x 1 para uma posição x 2 é associado um deslocamento x = x 2 - x 1. Significado do símbolo grego. x > 0 x 2 > x 1. Sentido positivo. x < 0 x 2 < x 1. Sentido negativo. Deslocamento é uma grandeza vetorial (módulo, direção e sentido). Exemplos: Considere três pares de posições iniciais e finais, respectivamente, ao longo do eixo x. Determine o sentido desses deslocamentos: a) -3 m, +5 m; b) -3 m, -7 m; c) 7 m, -3 m? Respostas: a) x = 8 m > 0; x = -4 m < 0; x = -10 m < 0

5 Velocidade média e velocidade escalar média. Considere o gráfico a seguir: v med x t x ( t ) x ( t t t 0 0 ) No gráfico acima, de x em função de t, a velocidade média é a inclinação da reta que liga dois pontos particulares da curva x(t). A velocidade média também é uma grandeza vetorial. O módulo é o valor absoluto da inclinação da reta. O sentido é dado por x ou pela inclinação da reta.

6 A velocidade se mede em km/h, m/s, cm/s,, conforme as unidades adotadas. Calcular a velocidade média entre os instantes t 0 = 1 s e t = 4 s. v med x t x t 0 2m ( 4m) 4s 1s 6m 3s 2m / 0 s. A velocidade escalar média s med é uma forma diferente de escrever com que rapidez uma partícula está se movendo. A velocidade média envolve o deslocamento, enquanto a velocidade escalar média é definida em termos da distância total percorrida (número de quilômetros percorridos, por exemplo), independentemente da direção. s med distância t total A velocidade escalar média não possui sinal algébrico e em algumas situações seu módulo pode coincidir com o módulo da velocidade média.

7 Exemplo Depois de dirigir um automóvel em uma estrada retilínea por 8,4 km e a uma velocidade média de 70 km/h, o motorista pára por falta de combustível. Nos 30 min seguintes ele caminha por mais 2,0 km ao longo da estrada até chegar ao posto de gasolina mais próximo. a) Qual o deslocamento total, desde o início da viagem até chegar ao posto de gasolina? Solução: x = x 2 - x 1 = 8,4 km + 2,0 km 0 = 10,4 km. b) Qual o intervalo de tempo t entre o início da viagem e o instante em que o motorista chega ao posto? Solução: t = t dirigindo + t caminhando = 0,12 h + 0,50 h = 0,62 h = 37,2 min.

8 c) Qual a velocidade média do início da viagem até a chegada do motorista ao posto? Solução: v med x t 10,4km 0,62h 16,8km/ h. d) Após comprar o combustível, o motorista retorna, levando 45 min para chegar até o local onde estava o automóvel. Qual a velocidade escalar média do início da viagem até o momento em que chega de volta ao automóvel? Solução: s med 8,4km 2,0km 2,0km 0,12h 0,50h 0,75h 12,4km 1,37h 9,1 km/ h.

9 Velocidade Instantânea e Velocidade Escalar Instantânea Vimos nas seções anteriores os conceitos de velocidade média e velocidade escalar média. Mas, quando falamos em rapidez em geral estamos pensando na rapidez com a qual um objeto está se movendo em um certo instante, isto é, sua velocidade instantânea, ou simplesmente, velocidade. A velocidade em um dado instante é obtida a partir da velocidade média, ao fazermos o intervalo de tempo t tendendo a zero, ou seja v x dx lim. t dt t 0 A velocidade v é a taxa com a qual a posição x está variando com o tempo em um dato instante, ou seja, v é a derivada de x em relação a t. A velocidade instantânea ou velocidade, também é uma grandeza vetorial.

10 A velocidade escalar instantânea, ou simplesmente, velocidade escalar, é o módulo da velocidade, ou seja, a velocidade desprovida de qualquer indicação de direção. O velocímetro de um carro indica a velocidade escalar e não a velocidade, já que não mostra a direção em que o carro está se movendo. Quando a velocidade for constante: v = v med = (x x 0) / (t t 0 ) x(t) = x 0 + v.(t t 0 ) Equação horária do movimento uniforme, onde x(t) é a posição de um objeto num instante de tempo t; x 0 é a posição no instante inicial t 0 e v é a velocidade constante.

11 Aceleração Quando a velocidade de uma partícula varia, diz-se que ela sofreu uma aceleração. Para movimentos ao longo de uma direção, a aceleração média a méd em um intervalo de tempo t é a méd v2 v1 v t t t 2 1 onde a partícula tem velocidade v 1 no instante t 1 e velocidade v 2 no instante t 2. A aceleração instantânea (ou, simplesmente aceleração) é dada por dv a. dt A aceleração de uma partícula em qualquer instante é a taxa com a qual a velocidade está variando nesse instante.,

12 Unidade de aceleração no SI é o m/s 2. Assim, uma aceleração de 1 m/s 2 significa que a cada segundo a velocidade aumenta de 1 m/s. A aceleração é uma grandeza vetorial. O sinal algébrico +/- representa o sentido da partícula que está acelerada. a = 5,0 m/s 2 sentido + do eixo x. a =-5,0 m/s 2 sentido do eixo x. A forma apropriada para interpretar os sinais é: Se os sinais da velocidade e da aceleração de uma partícula são iguais, a velocidade escalar da partícula aumenta. Se os sinais são opostos, a velocidade escalar diminui. O sinal de uma aceleração indica um sentido, e não se a velocidade de um objeto está aumentando ou diminuindo.

13 Teste: Uma partícula se move ao longo do eixo x. Qual é o sinal de sua aceleração se ela está se movendo: (a) no sentido positivo com velocidade escalar crescente; (b) no sentido positivo com velocidade escalar decrescente; (c) no sentido negativo com velocidade escalar crescente; (d) no sentido negativo com velocidade escalar decrescente. Solução: (a) Sentido positivo, v aumenta (v f > v i ) a > 0; (b) Sentido positivo, v diminui (v f < v i ) a < 0; (c) Sentido negativo, v aumenta (v f > v i ) a < 0; (d) Sentido negativo, v diminui (v f > v i ) a >0; +x

14 Aceleração Constante: Um caso especial Em muitos tipos de movimento, a aceleração é constante ou aproximadamente constante. Consideraremos somente o caso de aceleração constante. Quando a aceleração é constante, a aceleração média e a aceleração instantânea são iguais, e podemos escrever: v v aa 0 méd, t Onde v 0 é a velocidade no instante t = 0 e v é a velocidade no instante t. Explicitando v, temos: v = v 0 + at.

15 As equações do movimento retilíneo uniformemente variado está resumido na seguinte tabela: Equação Grandeza faltante v = v 0 + at x x 0 x = x 0 + v 0 t + at 2 /2 v 2 = v a(x x 0 ) x x 0 = (v 0 + v)t/2 v t a x x 0 = vt at 2 /2 v 0

16 Exemplo: A cabeça de um pica-pau está se movendo para a frente com uma velocidade de 7,49 m/s quando o bico faz contato com o troco da árvore. O bico pára depois de penetrar 1,87 mm no tronco. Determine o módulo da aceleração, em termos de g = 10 m/s 2, supondo que ela seja constante. Solução: Dados: v 0 = 7,49 m/s, v = 0, x x 0 = 1,87 x 10-3 m. Observamos que nos dados falta o tempo, logo podemos usar a equação: Substituindo os dados, obtemos: v 2 = v a (x x 0 ). 0 = (7,49 m/s) a (1,87 x 10-3 m), a = 1,5 x 10 4 m/s 2. Dividindo e multiplicando por g obtemos: a = (1,5 x 10 3 )g. Tal aceleração seria mortal para o ser humano. O fato do pica-pau suportar tal aceleração ainda é controverso.

17 Aceleração em Queda Livre Como pode ser visto na figura ao lado, se soltarmos uma pedra e uma pena simultaneamente de uma mesma altura, no vácuo, ambas estão sob uma mesma aceleração e assim aumentam suas velocidades com a mesma taxa. No ar, a pena cai mais devagar, devido à resistência do ar. Os dois objetos estão sob uma mesma aceleração para baixo igual a g, que ao nível do mar e em latitudes médias é igual a 9,8 m/s 2. A aceleração da gravidade g varia com a altitude e com a latitude. Nas equações do movimento com aceleração constante, podemos fazer a = -g = - 9,8 m/s 2. E como o movimento é na vertical substituímos x y.

18 Nesse caso as equações ficam: Equação Grandeza faltante v = v 0 - gt y y 0 y = y 0 + v 0 t - gt 2 /2 v 2 = v 02-2g(y y 0 ) y y 0 = (v 0 + v)t/2 v t a y y 0 = vt gt 2 /2 v 0 Na resolução de problemas basta aplicar as equações acima e substituir g por 9,8 m/s 2 sem mudar o sinal.

19 Teste: (a) Se você arremessa uma bola verticalmente para cima, qual é o sinal do deslocamento da bola durante a subida, desde o ponto inicial até o ponto mais alto da trajetória? (b) Qual é o sinal do deslocamento durante a descida, desde o ponto mais alto da trajetória até o ponto inicial? (c) Qual é a aceleração da bola no ponto mais alto da trajetória, quando v = 0? Solução: (a) x > 0. (b) x < 0. (c) a = -g. Exemplo: Um jogador lança uma bola de beisebol verticalmente para cima, com uma velocidade inicial de 12 m/s. Despreze a resistência do ar. (a) Quanto tempo a bola leva para atingir a altura máxima? Solução: Dados: a=-9,8 m/s 2, v 0 = 12 m/s 2 e v = 0, queremos t. Assim, t = (v v 0 )/a = (0 12 m/s)/(-9,8 m/s 2 ) = 1,2 s. (b) Qual a altura máxima alcançada pela bola em relação ao ponto de lançamento? Solução: Dados: y 0 = 0 e v = 0, queremos y. Assim, y = (v 2 v 02 )/2 a= (0 (12 m/s) 2 /2(-9,8 m/s 2 )=7,3 m.

20 (c) Quanto tempo a bola leva para atingir um ponto 5,0 m acima do ponto inicial? Solução: Dados: v 0 = 12 m/s, a =-9,8 m/s 2 e y = 5,0 m. Assim, y = v 0 t gt 2 /2 5,0 m = (12 m/s)t (4,9 m/s 2 )t 2. Que pode ser escrita como 4,9t 2 12t + 5,0 = 0. A solução dessa equação do segundo grau é: t 1 = 0,53 s e t 2 = 1,9 s. Interpretação do resultado: Após ser lançada, para t = 0,53 s ela atinge a altura de 5,0 m. Vai até o ponto mais alto, pára e retorna até atingir a altura de 5,0 m 1,37 s depois.

21 Lista de exercícios 1) Um carro sobe uma ladeira com uma velocidade constante de 40 km/h e desce a ladeira com uma velocidade constante de 60 km/h. Calcule a velocidade escalar média da viagem de ida e volta. 2) A posição de um objeto que se move ao longo de um eixo x é dada por x = 3t 4t 2 + t 3, onde x está em metros e t em segundos. Determine a posição do objeto para os seguintes valores de t: (a) 1 s; (b) 2 s; (c) 3 s; (d) 4 s. (e) Qual é o deslocamento do objeto entre t = 0 e t = 4 s? (f) Qual é a velocidade média para o intervalo de tempo de t = 2 s e t = 4 s? 3) Você tem de dirigir em uma via expressa para se candidatar a um emprego em outra cidade, a uma distância de 300 km. A entrevista foi marcada para as 11h15min da manhã. Você planeja dirigir a 100 km/h e parte às 8h da manhã para ter algum tempo de sobra. Você dirige na velocidade planejada durante os primeiros 100 km, depois um trecho da estrada em obras o obriga a reduzir a velocidade para 40 km/h por 40 km. Qual a menor velocidade que você deve manter no resto da viagem para chegar a tempo para a entrevista?

22 4) Em um certo instante de tempo, uma partícula tinha uma velocidade de 18 m/s no sentido positivo de x; 2,4 s depois, a velocidade era de 30 m/s no sentido oposto.qual foi a aceleração média da partícula durante este intervalo de 2,4 s? 5) Uma certa cabina de elevador percorre uma distância máxima de 190 m e atinge uma velocidade máxima de 305 m/min. A cabina pode acelerar a partir do repouso e desacelerar de volta ao repouso a uma taxa de 1,22 m/s 2. Qual a distância percorrida pela cabina enquanto acelera a partir do repouso até a velocidade máxima? 6) Em um prédio em construção, um operário deixa cair uma ferramenta e a mesma atinge o solo a uma velocidade de 24 m/s. (a) De que altura a ferramenta caiu? (b) Quanto tempo durou a queda?

23 Problemas Cap Um automóvel viaja em uma estrada retilínea por 40 km a 30 km/h. Em seguida, continuando no mesmo sentido, percorre outros 40 km a 60 km/h. (a) Qual a velocidade média do carro durante este percurso de 80 km? (Suponha que o carro se move no sentido positivo de x). (b) Qual é a velocidade escalar média? 2.Suponha que uma nave espacial se move com uma aceleração constante de 9,8 m/s2, que dá aos tripulantes a ilusão de uma gravidade normal durante o vôo. (a) Se a nave parte do repouso, quanto tempo leva para atingir um décimo da velocidade da luz? (b) Que distância a nave percorre nesse tempo? 3.Um balão de ar quente está subindo a uma taxa de 12 m/s e está a 80 m acima do solo quando um tripulante deixa cair um pacote. (a) Quanto tempo o pacote leva para atingir o solo? (b) Com que velocidade ele atinge o solo? 4.Uma bola de argila úmida cai 15 m até o chão e permanece em contato com o solo por 20 ms ante de parar completamente. (a) Qual é o módulo da aceleração média da bola durante o tempo de contato com o solo? (b) Qual o sentido da aceleração? 5. Uma pedra é largada do alto de um penhasco de 100 m de altura. Quanto tempo ela demora para cair: (a) os primeiros 50 m? e (b) os segundos 50 m? 6) Um objeto cai verticalmente de uma ponte que está 45 m acima do nível da água. O objeto atinge um barquinho que está se movendo com velocidade constante e se encontrava a 12 m do ponto de impacto quando o objeto foi solto. Determine a velocidade do barco. Respostas: 1- a)+40 km/h; b) 40 km/h 2- a) 3,1 x 10 6 s; b) 4,6 x s 3- a) 5,4 s; b)41 m/s 4- a) 857 m/s 2 ; b) para cima 5- a) 3,2 s; b) 1,32 s 6-3,96 m/s