Plano de Aulas. Física. Módulo 2 Movimentos com velocidade variável

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1 Plano de Aulas Física Módulo Movimentos com velocidade variável

2 Resolução dos exercícios propostos Exercícios dos conceitos CAPÍTULO 1 1 a) A aceleração é constante durante todo o percurso, então: b) a 5 Sv St ] a ] a ] a 5,6 m/s b) Construindo o gráfico v # t para o deslocamento deste móvel: 1 6 N Área 5 Ss 1, O deslocamento do móvel pode ser obtido a partir da área sob a curva do gráfico: Ss 5 N A ] Ss ] Ss 5 3 m O deslocamento pode ser obtido por: Ss 5 N A ] Ss 5 (B 1 b) 3 h (1 1 6) 3 1 Ss 5 ] Ss 5 8 m c) A equação horária da velocidade para o móvel é: v 5 v 1 at ] v t (SI) Então, no instante 5,5 s a velocidade será: v ,5 ] v 5 8 m/s 4 O deslocamento no primeiro trecho ( 1h) é de: x 1 5 N A ] x ] x km O deslocamento no segundo trecho (1h h) é nulo, pois o veículo está parado A distância percorrida pode ser determinada a partir da área sob a curva do gráfico: Ss 5 N A ] Ss 5 (B 1 b) 3 h (18 1 8) 3 18 Ss 5 ] Ss 5 34 m 3 a) a 5 Sv St ] a ] a 5 4 m/s O deslocamento no terceiro trecho (h 4h) é de: x 3 5 N A ] x () ] x km Então: x 5 x 1 x 1 1 x 1 x 3 ] x ] x 5 5 km No instante 4h a posição do veículo é 5 km. 5 a) De a 1 s p movimento progressivo e acelerado (a. e v. ) De 1 a 3 s p movimento progressivo e uniforme (v é constante) De 3 a 4 s p movimento progressivo e retardado (a, e v. )

3 6 c b) O deslocamento do veículo em todo o trajeto é: Ss 5 N A ] Ss 5 (B 1 b) 3 h (4 1 ) 3 Ss 5 ] Ss 5 6 m Então, a velocidade média é dada por: v m 5 Ss St ] v m ] v m 5 15 m/s Sv ] Sv 5 3 km/h ] Sv 5 3 3,6 m/s Então, a desaceleração é dada por: a 5 Sv 3 St ] a 5 3,6 3 ] a ,6 ] a 7,8 m/s ] OaO 7,8 m/s 7 e A aceleração do automóvel é de 6 m/s em cada minuto, ou seja, a 5 1 m/s. A equação horária da velocidade é: v 5 v 1 at ] v t Depois de meio minuto (3 s), temos: v ] v 5 4 m/s Construindo o gráfico v # t do automóvel neste intervalo de tempo: Ss 5 N A ] Ss 5 (B 1 b) 3 h Ss 5 (4 1 1) 3 3 Ss 5 75 m Então, a velocidade média é dada por: v m 5 Ss St ] v m ] v m 5 5 m/s 8 b A distância percorrida pelo corredor foi: Ss 5 N A ] Ss 5 (B 1 b) 3 h (1 1 6) 3 1,5 Ss 5 ] Ss 5 1 m Então, a velocidade média é de: v m 5 Ss St ] v m ] v m 5 1 m/s CAPÍTULO 1 36 km/h p 1 m/s a) A partir da equação horária da velocidade, temos: v 5 v 1 at ] t ] t 5,5 s b) Podemos considerar uma velocidade média para esse percurso de: v m ] v m 5 5 m/s Então: Ss 5 v m 3 t ] Ss 5 1,5 m a) Pela definição de aceleração: a 5 Sv St ] a 5 5 ] a 5,5 m/s b) A velocidade do corpo no instante 4 s é: v 5 v 1 at ] v 5 1,5 3 4 ] v 5 1 m/s Então, podemos considerar uma velocidade média nesse percurso de: v m ] v m 5 5 m/s Ss 5 v m 3 t ] Ss ] Ss 5 m 3 a) a 5 Sv St ] a ] a 5 1 m/s b) Podemos considerar uma velocidade média de: v m ] v m 5 1,5 m/s Ss 5 v m 3 t ] Ss 5 1,5 3 3 ] Ss 5 31,5 m 9

4 c) Entre 3 s e 5 s, a velocidade média é de 1 m/s, então: Ss 1 5 v m 3 t ] Ss ] Ss m Portanto, o deslocamento entre s e 5 s é: Ss T 5 31,5 + 4 ] Ss T 5 55,5 m 4 d I. Errado. O automóvel está freando e, portanto, a aceleração está no sentido contrário do movimento. II. Errado. Podemos considerar uma velocidade média nos primeiros segundos de: v m v m 5 13 m/s Ss 5 v m 3 t ] Ss ] Ss 5 6 m III. Errado. a 5 Sv St ] a ] a 5 m/s IV. Correto. Conforme aumenta o intervalo de tempo, diminui a velocidade. V. Correto. v 5 v 1 at ] 5 15 t ] t 5 7,5 s 5 A equação horária da posição do automóvel é: s A 5 s A 1 v A t 1 1 at ] s A t ] s A 5 t (SI) A equação horária da posição do ônibus é: s o 5 v 3 t ] s o 5 16 t (SI) No instante de encontro, os móveis estarão na mesma posição, então: s A 5 s o ] t 5 16 t ] t (t 16) 5 ] t 5 s (encontro no semáforo) t 5 16 s (instante do alcance) Portanto, em 16 s o automóvel terá percorrido: s A 5 t ] s A 5 16 ] s A 5 56 m Portanto, a distância percorrida durante o período de desaceleração foi de: v 5 v 1 ass ] (,5) 3 Ss ] Ss m Como a distância total que o trem percorre durante toda a ultrapassagem é 4 m (1 1 3 m), sabemos que o trem percorre 5 m (4 m 175 m) com velocidade constante de 15 m/s. v m 5 Ss ] ] St 5 15 s St St ST T 5 St 1 1 St ] ST T ] ST T 5 5 s 7 a) a 5 Sv St ] a ] 6 a 5 m/s ] OaO 5 m/s b) Trecho I: a 5 Sv St ], ] t t 5 7,5 s. Então: 1 o trecho: v 5 v 1 ass ,4 3 Ss ,8 3 Ss 1 Ss ,5 m o trecho: Ss 5 v 3 St Ss Ss 5 7 m 3 o trecho: v 5 v 1 ass () 3 Ss 3 Ss Ss m Como o percurso total foi de 1 km, temos: Ss 1 1 Ss 1 Ss 3 1 Ss ] 67, v m4 3 St ] 6 3 St ,5 ] St 4 7 3,4 s A duração total do movimento foi de: St 1 1 St 1 St 3 1 St 4 ] 7, ,4 ] ST T 5 76,9 s m 3 m A velocidade do trem no instante em que ele para de desacelerar é: v 5 v 1 at ] v 5,5 3 1 ] v 5 15 m/s P 1 P 8 a) v m 5 Ss 1 St ] 5 Ss 1 ] Ss m b) Ss 5 v 3 t 1 at ] Ss ] Ss 5 48 m Ss T 5 Ss 1 1 Ss ] Ss T 5 88 m c) Pela equação de Torricelli: v 5 v 1 3 a 3 SS ] v ] v ] v 5 1 m/s

5 9 c) A 1 m 15 m/s a) s A 5 s A 1 v A 3 t 1 at ] s A 5 t ] s A 5 t s B 5 s B 1 vt ] s B t No instante do encontro, s A 5 s B, então s A 5 s B ] t t ] t 1 15t 1 5 Resolvendo a equação do o grau: S 5 5 4(1) (1) ] S 5 65 t 5 5 s ou t 5 15! 5 t 5 s (Fisicamente esta resposta não é aceitável) Portanto, os móveis se encontram após 5 s. b) Substituindo o instante de encontro na equação horária da posição do móvel A: s A 5 t ] s A 5 5 m Ponto B Ponto A b 18 km/h p 3 m/s O automóvel para completamente percorrendo uma distância de: v 5 v 1 a Ss ] Ss ] Ss 5 15 m Portanto, o caminhão deve parar completamente em uma distância de 15 1 D min, utilizando a equação de Torricelli: v 5 v 1 a Ss ] (15 1 D min ) ] D min ] D min 5 75 m 11 A partir do gráfico, vemos que, em um determinado instante, os atletas atingem a mesma velocidade de 9 m/s. 5 B A aceleração do atleta 1 é dada por: a 1 5 Sv St ] a ] a 1 5,4 m/s Então, a equação horária da velocidade é: v 5 v 1 at ] v 5 1,4 t ] v 5,4 t Portanto, o instante em que os atletas atingem a mesma velocidade é: 9 5,4 t ] t 5,5 s A distância D, que separa os atletas, pode ser obtida pela subtração das áreas. D 5 Ss Ss 1 ] (,5 1 1,5) 3 9 D 5,5 3 9 ] D 5 148,5 11,5 ] D 5 47,5 m 1 b Após s, as posições dos automóveis serão: s A 5 s A 1 v A t 1 at ] s A 5 1 t ] s A 5 m s B 5 s B 1 v B t ] s B ] s B m A velocidade do automóvel A após s é de: v 5 v 1 a Ss ] v ] v 5 m/s No instante do encontro, s A 5 s B, então: s A 1 v A 3 t 5 s B 1 v B t ] 1 t t ] 5 t ] t s Após 984 s, os automóveis estarão na posição: s A 5 s A 1 v A t ] s A ] s A m ] s A 5 19,88 km km/h p 15 m/s a) Nos,5 s de tempo de reação, o carro percorre: Ss 5 v 3 St ] Ss ,5 ] Ss 5 7,5 m Utilizando Torricelli: v 5 v 1 ass ] Ss ] Ss 5 37,5 m Portanto, a distância total percorrida até parar foi de: 7,5 1 37, m E, portanto, ele não consegue parar antes do semáforo. Ele para 7 m após o semáforo. 11

6 1 b) Devido ao tempo de reação do motorista, o carro percorre 7,5 m até que ele comece a acelerar. Como o cruzamento tem 5 m, a distância que o carro deve percorrer no trecho de aceleração é de: 38 7, ,5 m O carro irá acelerar durante s, já que o motorista perde,5 s com o tempo de reação. Calculando a distância percorrida no trecho acelerado: 14 a) 9 km/h p 5 m/s b) s 5 s 1 v t 1 at ] s ] s m E, portanto, ele consegue ultrapassar o cruzamento antes que o farol fique vermelho. v m 5 Ss St ] 5 5 Ss ] Ss 5 5 m v A = 5 m/s 5 5 m a B = 5 m/s v B = 5 m/s O veículo que está na frente irá parar em: v 5 v 1 ass ] Ss ] Ss 5 6,5 m Como este carro já estava 5 m atrás, a distância total que o carro de trás tem para frear é 11,5 m. Como o motorista só aciona os freios de,5 s, ele percorre uma distância nesse período de: v m 5 d ] d 5 5 3,5 ] d 5 1,5 m St Portanto, a aceleração mínima que o carro deve ter, para que ele possa parar em 11,5 1,5 5 1 m, é: v f 5 v 1 ass ] a 3 1 ] a 5 65 ] a 5 3,15 m/s 15 a) a 5 Sv 1 St ] a 5 3,6 ] a 7 1,54 m/s 18 b) s 5 s 1 v t 1 at ] s 7 1, s 7 77 m c) v 5 v 1 ass 1 3,6 # 5 3 1,54 3 Ss ] Ss 7 5 m 16 c A desaceleração máxima do automóvel é dada por: a 5 Sv St ] a 5 3 ] a 5 5 m/s 6 Portanto, a distância necessária para o carro reduzir de 3 m/s para 1 m/s é de: v f 5 v 1 ass ] Ss ] 1Ss 5 8 ] Ss 5 8 m CAPÍTULO 3 1 a) Em t 5 3 s, temos: s 5 8 6t 1 t ] s ] s ] s 5 1 m b) A equação horária do espaço em um MUV é: s 5 s 1 v t 1 at, comparando com a equação do enunciado, temos: v 5 6 m/s e a 5 m/s c) A equação horária da velocidade é: v 5 v 1 at, para este caso, a equação fica: v t Em t 5 1s, a velocidade do corpo é: v ] v 5 4 m/s Portanto, entre s e 1 s, o móvel está realizando um movimento no sentido contrário da orientação. O módulo da velocidade do corpo diminui, e, portanto, ele está desacelerando no intervalo de s e 1 s. Então, o movimento do corpo nesse intervalo é retrógrado e retardado. d) A velocidade inicial do corpo é negativa e, então, para que ele inverta o sentido do movimento sua velocidade deve se tornar nula em algum instante, e é nesse instante que ocorre a inversão do sentido. v t ] t ] t 5 3 s a) Entre t 5 s e t 5 s, a velocidade do corpo varia de 8 m/s para m/s e, portanto, se move contra a orientação da trajetória. Como o módulo da velocidade do corpo diminui, nesse intervalo, o corpo está desacelerando. Então, o movimento entre s e s é retrógrado e retardado.

7 3 a b) Entre t 5 s e t 5 4 s, a velocidade do corpo varia de m/s para 8 m/s, ou seja, o móvel está se movendo no mesmo sentido da orientação. Como o módulo da velocidade do corpo aumenta, nesse intervalo, o corpo está acelerando. Então, o movimento entre s e 4 s é progressivo e acelerado. c) s 5 s 1 v t 1 at O enunciado nos diz que o corpo parte da origem, portanto, s 5 m. A partir do gráfico, vemos que, para t 5 s, a velocidade é: v 5 8 m/s. Também analisando o gráfico, podemos calcular a aceleração do corpo: a 5 Sv St ] a ] a 5 4 m/s Substituindo: s t t ] s 5 8t 1 t (SI) A velocidade do trem em t 5 1 s é: v 1 5 v 1 at ] v ] v m/s A velocidade do trem em t 5 s é: v 5 v 1 1 at ] v ] v 5 3 m/s Entre t 5 s e t 5 5 s, a aceleração do trem é nula, e, portanto, a velocidade de 3 m/s será mantida. Então, a partir de t 5 5 s, o trem irá parar completamente em: v 5 v 1 at ] 5 3 t ] t 53 s t f ] t f 5 8 s A distância percorrida entre t 5 s e t 5 1 s é: v 1 5 v 1 ass 1 ] Ss 1 ] Ss m A distância percorrida entre t 5 1 s e t 5 s é: v 5 v 1 1 ass ] Ss ] Ss 5 m A distância percorrida entre t 5 s e t 5 5 s é: v m 5 Ss 3 St ] Ss ] Ss m A distância percorrida entre t 5 5 s e t 5 8 s é: v 4 5 v 3 1 ass 4 ] Ss 4 ] Ss m Então: Ss T 5 Ss 1 1 Ss 1 Ss 3 1 Ss 4 ] Ss T m 4 b Para calcular a distância entre os móveis A e B, temos: 5 d D 5 s B s A 5 (s B 1 v B s A 1 v A t 1 at # A partir da análise do gráfico, podemos obter os dados das equações dos móveis A e B; substituindo: D 5 ( , # ] D ] D 5 m Analisando o gráfico, a equação horária do espaço para o móvel II é: s t 1 at, também pelo gráfico ve- mos que em t 5 15 s, o móvel II está na posição 5 m. Substituindo: s 5 at ] a ] a 5 m/s O instante de encontro dos dois móveis é em t 5 15 s. A equação horária da velocidade do móvel II é: v 5 v 1 at Então, a velocidade no instante do encontro é: v ] v 5 3 m/s 6 a) v 5 v 1 at ] v t 1 5 t(s) v(m/s) b) A distância percorrida pode ser obtida pela área do gráfico v # t: Ss 5 N A ] Ss 5 (B 1 b) 3 h (5 1 3) 3 1 Ss 5 ] Ss 5 4 m 13

8 7 a) Podemos concluir, pelo gráfico, que a aceleração do movimento é negativa. Entre os instantes t 5 e t 5 5 s, pode-se concluir que o móvel desloca-se no sentido da orientação do referencial e, portanto, sua velocidade é positiva. Assim sendo, o movimento é progressivo e retardado entre t 5 e t 5 5 s. Entre os instantes t 5 5 e t 5 A s, a aceleração do movimento continua sendo negativa, mas o móvel desloca-se no sentido contrário ao da orientação do referencial e, portanto, sua velocidade é negativa. Dessa forma, o movimento é retrógrado e acelerado entre t 5 5 s e t 5 A s. b) s 5 s 1 v t 1 at, pelo gráfico sabemos que em t 5 5 s o móvel ocupa a posição 5 m, substituindo: v ] v 5 ] v 5 m/s c) Sabendo que a equação horária do espaço é: s 5 t t Então, para s 5 3 m, temos: 3 5 t t ] t 1 t 3 5 Resolvendo a equação do segundo grau: S 5 4() (3) ] S t 5! dllll 144 () t 5 s t 5 8 s O móvel passa duas vezes pela posição 3 m como pode-se ver no gráfico, e o instante identificado pela letra A é 8 s. CAPÍTULO 4 1 a) s 5 s 1 v t 1 at ] 31, t 1 1t ] t 5,5 s b) v 5 v 1 at 5 v ,5 ] v 5 5 m/s c) Após s, o deslocamento da pedra em relação ao 8 o andar é: s 5 s 1 v t 1 at ] s ] s 5 m, portanto, em relação ao solo, a pedra está a uma altura de H 5 31,5 ] H 5 11,5 m A velocidade do corpo após s de queda é: v 5 v 1 at ] v 5 m/s Portanto, entre os instantes s e 4 s, a distância percorrida foi de: s 5 s 1 v t 1 at ] s t t ] s ] s 5 6 m 3 Pela equação de Torricelli: v 5 v 1 ass ] v ] v ] v 7 5,77 m/s 4 Calculando a aceleração com que a carteira caiu: s 5 s 1 v t 1 at ] t 1 at ] 3 5 a 3 3 ] a ] a 5 3 ] a 7 6,67 m/s Portanto, o movimento de queda da carteira não pode ser considerado um movimento de queda livre, pois a aceleração com que a carteira cai não é a aceleração gravitacional. 5 a) Durante a queda livre, a aceleração de queda é a aceleração gravitacional, ou seja: a 5 9,8 m/s ou a 7 1 m/s b) A plataforma percorre 45 m em queda livre, então: (utilizando g 5 1 m/s ) v 5 v 1 ass ] v (3 75) ] v 5 3 m/s p com sentido oposto da orientação c) Utilizando a equação de Torricelli: v 5 v 1 ass ] a 3 ( 3) ] a 5 15 m/s 6 a) v = m/s 31,5 m g 14 d) Pela equação de Torricelli: v 5 v 1 ass ] Ss ] Ss 5 11,5 m

9 Para o objeto caindo da altura H, temos: s 5 s 1 v t 1 at ] 5 H 1 3 T 1 3 T ] 5 T 5 H (I) Para o objeto caindo da altura H, temos: 4 s 5 s 1 v t 1 at ] 5 H (T 3) H (T 3) H 5 (T 3) (II) Igualando as equações (I) e (II), vem: 5 T 5 (T 3) ] 5 T 5 (T 6T 1 9) ] 5 15 T 1 T 1 18 Resolvendo a equação do o grau: S 5 (1) 4 (15) (18) ] S ] S T 5 (1)! T 5 6 T 5 como o objeto largado da altura de H 4 atinge o solo em (T 3) s, a única resposta fisicamente aceitável é: T 5 6 s. 9 Quando a pedra atinge sua altura máxima, sua velocidade é nula; então: v 5 v 1 ass ] 5 v ] v 5 4 ] v 7 15,5 m/s 1 O projétil retornou ao ponto de lançamento 5 s após. Portanto, o tempo de subida e de descida do projétil é de,5 s. a) Durante a subida: v 5 v 1 at ] 5 v 1 3,5 ] v 5 5 m/s b) v 5 v 1 ass ] H máx ] H máx 5 65 ] H máx 5 31,5 m 11 a) O corpo atinge sua altura máxima em,8 s, então: v 5 v 1 at ] 5 v 1 3,8 ] v 5 8 m/s b) Pela equação de Torricelli: v 5 v 1 ass ] H ] H 5 64 ] H 5 3, m b) Substituindo T 5 6 s na equação (I), vem: H 5 5 T ] H ] H 5 18 m 1 d h MÁX v hmáx = 7 c O tempo gasto para a pedra cair da altura de 7, m é: s 5 s 1 v t 1 at ] 7, 5 5 t ] t 5 1, s Portanto, o carro que está com velocidade constante percorre uma distância de: ] v m 5 Ss St ] d , ] d 5 4 m 3,6 8 d Podemos calcular a velocidade que o aparelho terá no instante em que se inicia a frenagem: v máx 5 v 1 ass ] v máx 5 g(h min h) A equação de Torricelli para o trecho de frenagem é: v f 5 v máx 1 ass, substituindo v máx, temos: 5 g(h min h) g 3 ( h min ) ] 5 gh min 1 gh 6gh min ] h min 5 h 4 Calçada v final = 3 m/s v = 1 m/s O tempo que o projétil leva para atingir a altura máxima é: v 5 v 1 at ] t ] t 5 1 s Portanto, o tempo gasto para o projétil atingir a altura máxima e retornar ao mesmo ponto de lançamento é s. Como o projétil retorna ao ponto de lançamento com velocidade de 1 m/s, temos: v f 5 v 1 at ] t ] t 5 s Então, o tempo em que o projétil permaneceu no ar é: t ar ] t ar 5 4 s 15

10 13 a Vamos calcular o tempo de queda da primeira bola: s 5 s 1 v t 1 at ] t 5 t ] t 5 3 s Como a segunda bola será lançada 1 s após a primeira, para que as duas cheguem simultaneamente ao solo, o tempo de queda da segunda bola é de s: s 5 s 1 v t 1 at ] v ] v 5 5 ] v 5 1,5 m/s, o sinal negativo indica apenas que a velocidade está no sentido oposto ao da orientação. Ov O 5 1,5 m/s 14 a) O tempo que a bola permanece no ar é o dobro do tempo de subida, então: v 5 v 1 at ] 5 1 t s ] t s 5 s Portanto, o tempo de voo da bola é de 4 s. b) A distância percorrida pelo jogador enquanto a bola está no ar é: v m 5 Ss ] Ss ] Ss 5 3 m St c) s 5 s 1 v t 1 at ] s t ] s 5 16 m 15 b Podemos calcular a velocidade inicial pela equação de Torricelli: v 5 v 1 ass ] 5 v ] v 5 m/s O tempo de subida é o mesmo que o tempo de descida e é dado por: v 5 v 1 at ] 5 1 t ] t 5 s 16 d Por inércia o objeto se desprende do helicóptero, adquirindo a mesma velocidade em que estava o helicóptero: s 5 s 1 v 3 t 1 at ] 5 1 v ] 4 v 5 ] v 5 5 m/s 5 18 km/h com sentido oposto ao da orientação. Retomada dos conceitos CAPÍTULO 1 1 a) v 5 6 m/s, a 5 m/s b) o movimento é retardado, pois no intervalo de tempo de zero a 3 s o módulo da velocidade diminuiu, indo até o valor zero, em 3 s, quando então, o movimento tem seu sentido invertido e passa a ser acelerado, pois, em módulo, o valor da velocidade aumenta. a) como v 5 v 1 at, e para o movimento específico v 5 3 t, temos: v 5 3 km/h b) comparando as duas equações do item a temos que a 5 km/h c) quando t 5 1h, vem: v 5 3 (1) ] v 5 1 km/h d) em um MUV, a mudança de sentido se dá quando v 5, então: v 5 3 t ] 5 3 t ] t 5 3 ] t 5 1,5 h 3 a) a 5 Sv St ] a ] a 5 m/s 16 b) a 5 Sv St ] a ] a 5 1 m/s 6 c) Construindo o gráfico v # t nesse intervalo: O deslocamento nos últimos 6 s: Ss 5 N A ] Ss 5 (B 1 b) 3 h (16 1 1) 3 6 Ss 5 ] Ss 5 78 m

11 4 a) O movimento é uniformemente variado, pois a aceleração durante todo o trajeto é constante e diferente de zero. 5 b) A equação matemática que relaciona v e t é a equação horária da velocidade v 5 v 1 at. Como a aceleração no trajeto é: a 5 Sv St ] a 5 1,5 ] a 5,5 m/s 3 Pelo gráfico vemos que a velocidade inicial do automóvel é de m/s, então: v 5 v 1 at ] v 5,5 t (SI) c) O instante m é o instante no qual a velocidade do automóvel é nula, ou seja, o instante em que o automóvel para. v 5 v 1 at ] v 5,5 t ] 5,5 m ] m 5 8 s t = v = 8 m/s a 5 Sv St ] a ] a ] a 5 1,4 m/s Construindo o gráfico v # t de todo o trajeto: t = 5 s v = m/s Deslocamento do móvel B: Ss B 5 N A ] Ss B 5 b 1 3 h 1 1 (B 1 b ) 3 h ] Ss B (16 1 8) 3 5 Ss B ] Ss B 5 1 m Portanto o móvel A percorreu 5 m a mais que o móvel B. CAPÍTULO 1 a) s(4) ] s(4) 5 4 m b) s(t) 5 4 8t 1 t 5 4 ] t 8t 5 ] t (t 4) 5 ] t 5 s ou t 5 4 s a) s 5 s 1 v 3 t 1 at para t 5 1 s, temos: 5, a 3 1 ] a 5 1,5 ] a 5 3 m/s b) s(3) ] s(3) ,5 ] s(3) 5 5,5 m e s() 5 5,5 1 8,5 ] s() 5 14 m Então, entre s e 3 s, o corpo percorreu: Ss 5 s(3) s() ] Ss 5 5,5 14 ] Ss 5 11,5 m 8 5 Ss 5 N A ] Ss 5 (B 1 b) 3 h ( 1 8) 3 5 Ss 5 ] Ss 5 7 m 3 v 5 v 1 ass ] Ss ] Ss 5 6,5 m Portanto, para que não ocorra o atropelamento, o carro deve estar a 6,5 m do animal no instante em que aciona os freios e a 77,5 m do animal no instante em que o avista. 4 b 18 km/h 9 km/h p p 3 m/s 5 m/s 6 Deslocamento do móvel A: v 1 v Ss 5 N A ] Ss 5 (B 1 b) 3 h ( 1 1) 3 1 Ss A 5 Ss A 5 15 m Calculando a distância percorrida pelo primeiro carro até parar: vf1 5 v 1 1 ass 1 ] Ss 1 ] Ss m 17

12 18 A distância percorrida pelo segundo automóvel até parar é: v f 5 v 1 ass ] Ss ] Ss 5 6,5 m Portanto, para que não haja colisão, eles devem estar separados por: Ss T 5 Ss 1 1 Ss ] Ss T 5 15,5 m 5 a) Durante os,5 s que o motorista leva para acionar os freios, o automóvel percorre: v m 5 Ss 1 St ] Ss ,5 ] Ss m Portanto, o automóvel deve parar em 4 m, temos: v f 5 v 1 ass ] a 3 4 ] a 5 3 m/s b) Sabendo que o automóvel deve percorrer os 4 m em 1,7 s (, s,5 s) temos: s 5 s 1 v 3 t 1 at ] ,7 1 a(1,7) ] 4,4 5 a 3 3 ] a 5,4 m/s 6 a) 7 km/h p m/s Utilizando a equação de Torricelli: v 5 v 1 ass ] 5 3,8 3 Ss ] Ss 5 5 m b) Podemos separar o trajeto do trem em três trechos: TREM TREM TREM TREM 1º trecho aceleração º trecho M.R.U. 1 o trecho (Aceleração): v f 5 v 1 at 1 ] 5 1,8 t 1 ] t s v 5 v 1 ass ] 5 1 3,8 3 Ss ] 5 m Para calcular o intervalo de tempo e a distância percorrida em MRU ( o trecho), é necessário calcular o intervalo de tempo e a distância percorrida no 3 o trecho. 3 o (Desaceleração) v f 5 v 1 at ] 5,8 t 3 ] t s v 5 v 1 ass 3 ] 3º trecho desaceleração 5 3,8Ss ] Ss 5 5 m o trecho (MRU) A distância percorrida em MRU é de: m Então: v m 5 Ss ] St 5 3 St ] St 5 15 s O tempo total é de: t ] t 5 65 s 7 c Trecho 1: s 1 5 s 1 v 3 t 1 at ] Ss ] Ss m v 1 5 v 1 ass 1 ] v ] v m/s Trecho : v 1 5 Ss St ] Ss ] Ss 5.4 m Trecho 3: v f 5 v 1 1 ass 3 ] 5 6 3,5 3 Ss 3 ] Ss m Ss T 5 Ss 1 1 Ss 1 Ss 3 ] Ss T m 8 18 km/h p 3 m/s Pela definição de aceleração: a 5 Sv St ] a ] a 5 3 m/s a distância D pode ser calculada da seguinte forma: v 5 v 1 ass ] D ] D 5 15 m ] D 5 75 m Então, o tempo necessário para percorrer os primeiros 75 m é de: s 5 s 1 v 3 t 1 at ] t ] t 5 5 dll s 9 a) O movimento do rato é uniforme, então: v r 5 Ss ] St 5 4 St 7 ] St 5 6 s b) Sabemos que o rato demora seis segundos para atingir a toca. A coruja, passando pelo ponto P quatro segundos após o rato, terá apenas dois segundos para alcançá-lo no ponto T. s 5 s 1 v t 1 at ] a ] 5 a ] a 5 1 m/s

13 1 d 1 D 1 t 1,5t 5 1 3t ] t 1t 5 ] t 5 s ou t 5 1 s Portanto, eles irão se encontrar novamente no instante 1 s. 14 a) A B d s 5 s 1 v t t 1 at ] d 1 5 1,5 3 4 d m s 5 s 1 v t 1 at ] d ] d 5 16 m D 5 d 1 1 d ] D ] D 5 4 ] D 5 m 11 d Para calcularmos a distância percorrida pelo objeto durante 6 s, podemos construir o gráfico da velocidade em função do tempo. A distância percorrida será dada pela soma dos valores absolutos (módulos) equivalentes às áreas sob a curva traçada. 4 v 5 4t (SI) D 5 A 1 1 A D m O deslocamento do objeto é dado pela diferença entre as posições ocupadas nos instantes t 5 s e t 5 6 s. s 5 s 6 s 5 ( ) 1 s 5 48 m 1 a v 5 5 m/s a 5, m/s Quando o móvel atingir a mesma velocidade no sentido oposto temos v 5 5 m/s, então: v 5 v 1 at ] 5 5 5,t ],t 5 1 ] t 5 5 s 13 No instante do encontro, temos: s A 5 s B ] s A 1 v A t 1 at 5 s B 1 v B t ] 1 m No instante do encontro, temos: s A 5 s B ] s A 1 v A t 1 at 5 s B 1 v B t ] 1 3t 5t t ] 5t t 1 5 ] t 4t ] t 5 s (raiz dupla) Portanto, a distância percorrida por A em s é: s A ] s A 5 5 m b) De forma análoga ao item a, temos: s A 5 s B ] s A 1 v A t 1 at 5 s B 1 v B t ] 1 5t 5t t ] 5t 1t 1 5 ] t t Resolvendo a equação do o grau: S 5 () 4(1) (4) ] S 5 1, ou seja, essa equação não possui raiz real. Isso significa que o móvel A não irá colidir com o móvel B. 15 Para determinar quem ganhou a corrida, basta determinar a posição de encontro dos dois atletas: s José 5 s João ] s 1 vt 5 s 1 v t 1 at ] 6 1 1t t 1 3 t ] t t 5 Resolvendo a equação do o grau, temos: t 7 5,58 s Substituindo o tempo de encontro em qualquer das equações, temos: s José ,58 ] s José 5 115,8 m Ou seja, os atletas só irão se encontrar na posição 115,8 m, e, portanto, João cruzou a linha dos 1 m primeiro e venceu a corrida. 19

14 CAPÍTULO 3 1 a Em t 5, a posição do objeto é de 1 m, então x 5 1 m. A aceleração pode ser obtida pelo gráfico: a 5 Sv St ] a 5 1 ] a 5 1 m/s 1 Ainda pelo gráfico, em t 5 a velocidade do objeto é m/s, então: x 5 x 1 v 1 at, substituindo: x t 1 t e Analisando o gráfico, vemos que a velocidade do móvel B entre os instantes, h e,8 h é constante e, portanto, nesse intervalo o móvel B está em movimento uniforme. 3 c I. Falso, entre os instantes s e 4 s, a velocidade do móvel é constante (7,5 m/s) e, portanto, executa um movimento retilíneo uniforme. II. Falso, entre os instantes 4 s e 6 s o móvel permaneceu parado em s 5 5 m e, portanto, seu deslocamento foi m. III. Verdadeiro. Entre t 5 4 s e t 5 9 s, temos: v m 5 Sv St ] v m ] v m 5 m/s 4 e A equação horária do espaço para o móvel é: x 5 x 1 vt, sabendo que para t 5 3 s o móvel ocupa a posição x 5 5 m, temos: 5 5 x,5 3 3 ] x 5 1 m Então: x 5 1,5t, para t 5 15 s temos: x 5 1, ] x 5 6,5 m CAPÍTULO 4 1 c Utilizando a equação horária do espaço, temos: h a 3 e m H 15 m 1s g g 1º piso s 5 s 1 v t 1 at ] 5 h 1 3 t ] h 5 8 m Vamos calcular a velocidade com que o objeto passa pelo observador: s 5 s 1 v t 1 at ] v v ] v 5 1 m/s Então, para o trecho de queda antes do objeto passar pelo observador, temos: v 5 v i 1 ass ] (15 H) ] H ] H 5 4 ] H 5 m g h 5 e Analisando o gráfico, vemos que a partícula executa um MRU, calculando a velocidade média: v m 5 Ss St ] v m 5 () v m 5 4 ] v m 5 m/s 6º piso Térreo h

15 A velocidade da pedra quando passa pelo sexto piso é: v 1 5 v 1 at ] v ] v 1 5 m/s Percorrendo uma distância de: v 1 5 v 1 ass ] 5 3 h # ] h 5 4 m, portanto, o tempo total é de: s 5 s 1 v t 1 at ] t 5 3 t ] b) A equação horária do espaço é: s 5 s 1 v t 1 at ] Ss 5 3t 5t Ss(m) t(s) t 5 8 ] t 7,8 s 4 d No ponto mais alto da trajetória (s 5 3, m) do tijolo v 5, então, utilizando a equação de Torricelli, temos: v f 5 v 1 ass ] 5 v , ] v 5 8 m/s Altura máxima Altura em que foi apanhado 5 No ponto mais alto da trajetória, a velocidade da pedra será nula (é o ponto no qual o sentido da trajetória é invertido). A aceleração da pedra é constante em todo o trajeto, e, portanto, seu módulo é 1 m/s. 6 Podemos supor que a velocidade vertical do atleta ao passar rente a trave é nula, assim, vem: v f 5 v 1 ass ] Ss ] Ss 5 3, m 7 a) A equação horária da velocidade é: v 5 v 1 at ] v 5 3 1t (orientando a trajetória positivamente para cima) v(m/s) t(s) Instante em que o corpo atinge a altura máxima altura máxima 45 m altura em que o objeto foi apanhado 5 m a) A equação horária do espaço é: s 5 s 1 v t 1 at ] g t 5t v (dividindo a equação por 5) 6 temos: t 4t 1 5 Resolvendo a equação do o grau: S (1) (1) ] m S 5 64 t 5 14! 8 t 5 s resposta fisicamente não aceitável t 5 6 s b) Vamos calcular a altura máxima atingida pela pedra em relação ao alto da torre: v 5 v 1 ass ] h ] h 5 m Portanto, a altura máxima em relação ao solo é: H ] H 5 8 m 1

16 Exercícios de integração 1 b 4, v A partir do gráfico, podemos determinar a aceleração do móvel: a 5 Sv St ] a ] a 5 m/s Então, a equação horária da velocidade para este móvel é: v 5 v 1 at ] v 5 v 1 t Como sabemos que no instante 3 s a velocidade do móvel é nula, temos: v 5 v 1 t ] 5 v ] v 5 6 m/s O deslocamento é dado pela área sob a curva do gráfico: Ss 5 (3 3 6) 1 ( 3 4) Ss ] Ss 5 5 m 3, a) A velocidade do motorista é 35 metros a cada segundo durante todo o percurso. Sabemos também que em um movimento uniformemente acelerado partindo do repouso, a distância total percorrida é diretamente proporcional ao quadrado do tempo (Galileu). Então: 5, t(s) E a equação horária do espaço percorrido pelo carro é: s 5 s 1 v t ] s c t c) A distância que separa o carro da moto após 7 s é dada por: D 5 s c s m em t 5 7 s, então: D 5 ( ) (,6 3 7 ) ] D ,4 ] D 5 317,6 m d) A moto alcança o carro quando: s m 5 s c ],6t t ],6t 35t 5 Resolvendo a equação do o grau: S (,6) () ] S ] dll S 7 57,5 t 5 35! 57,5 3,6 t 7 4,3 s resposta não aceitável fisicamente t 7 17,8 s Substituindo o instante do encontro em qualquer das equações horárias do espaço: s m 5 s c ,8 ] s m 5 s c ] 83 m 3 b O módulo da aceleração do elevador no intervalo A é: Oa O 5 Sv St ] Oa O 5 3 1,5 ] Oa O 5 m/s O módulo da aceleração do elevador no intervalo C é: Oa O 5 Sv St ] Oa O 5 3 1,5 ] Oa O 5 m/s tempo (s) posição da moto (m),6 1,4 3,4 41,6 posição do carro (m) b) A aceleração da moto pode ser obtida da seguinte forma: s 5 s 1 v t 1 at ], t 1 a 3 1 ] a 5 5, m/s Então, a equação horária do espaço percorrido pela moto é: s 5 s 1 v t 1 at ] s 5,6 3 t 4 A posição da partícula no instante 4 s é: s 5 s 1 v t 1 at ] s t ] s ] s m A velocidade da partícula em t 5 4 s é: v 4 5 v 1 at ] v ] v m/s Então, a posição da partícula em t 5 8 s é: s 8 5 s 4 1 v t 1 at ] s (8 4) 1 (8 4) 1 ] s 8 5 m

17 5 6 a) O tempo que a goiaba leva para atingir a altura máxima é: v 5 v 1 at ] t 1 ] t 1 5 1,6 s A altura máxima atingida é: v 5 v 1 ass ] (H,5) ] ] H ] H 5 15,3 m b) A altura máxima atingida pela goiaba em relação ao chão é de 15,3 m. A velocidade final com que a goiaba atinge o chão é: h m v 5 v 1 ass ] v ( 15,3) ] v 5 36 ] v 7 17,5 m/s Portanto, a velocidade da goiaba, quando passa por um ponto situado na metade da altura máxima, tanto na subida quanto na descida é: v 5 v 1 ass ] 36 5 v m 3 15,3 # ] v m ] v m ] v m 7 1,37 m/s H,5 m Portanto, o tempo que a goiaba demora para atingir o solo, partindo da altura máxima é: s 5 s 1 v t 1 at ] 5 15,3 1 3 t 5t ] t 7 1,75 s Portanto, o tempo total gasto é: t 5 t 1 1 t ] t 5 1,6 1 1,75 ] t 5 3,35 s v g v g a) Analisando o gráfico, vemos que a pedra retorna ao ponto de partida s após ser lançada, pois a velocidade da pedra no instante do lançamento e no instante que retorna ao mesmo ponto é a mesma, diferindo apenas quanto ao sinal que indica o sentido do movimento da pedra em relação à orientação. b) Como a bola retorna ao ponto de lançamento s após ser lançada, o tempo gasto pela pedra até atingir o chão a partir desse ponto é 1 s, então: s 5 s 1 v t 1 at ] 5 h ] h 5 15 m 7 a) v 5 v 1 ass ] a 3 5 ] a 5 1,6 m/s b) O módulo da aceleração e da desaceleração é o mesmo; porém no trecho de desaceleração o vetor está no sentido contrário ao do movimento, já no trecho acelerado o vetor aceleração está no mesmo sentido do movimento. v s 5 s 1 v t 1 at ] s 5 1 4t 1,6 t ] s 5 4t,8 t t(s) 3, 1 4,8 5,5 4,8 3 3, ,8 3, 1,

18 v 5 v 1 at ] v 5 4 1,6 t t(s) 4,4 1,8,5,8 3, ,4 9 Durante a subida: v 5 v 1 at ] 5 1 a 3 8 ] a 5 1,5 m/s v 5 v 1 ass ] ,5 3 Ss ] Ss 5 48 m Portanto, na descida a bola irá percorrer apenas 4 m, tendo em vista os 8 m percorridos por Mário. s 5 s 1 v t 1 at ] t 1,5 3 t ] t ,5 ] t 7 7,3 s Portanto, o tempo total foi: St 5 t s 1 t d ] St ,3 ] St 5 15,3 s a) v 5 v 1 at ] t ] t 5 3 s,4 4 b) s 5 s 1 v t 1 at ] s t 1 ] s m 8 9 km/h p 5 m/s Nos 5 s que o motorista demorou para acionar os freios o ônibus percorreu: v m 5 Ss ] Ss ] Ss 5 15 m St Como inicialmente a área estava a 15 m do motorista, restam 5 m no instante em que ele aciona os freios. A distância que o motorista necessita para parar o carro completamente é: v 5 v 1 ass ] 5 5 3,4 3 Ss ] Ss 7 13,1 m Portanto o motorista irá colidir com a área com velocidade de: v 5 v 1 ass ] v 5 5 3,4 3 5 ] v ] v 5 55 ] v 7,47 m/s 11 A altura máxima atingida pela pedra é: v 5 v 1 ass ] h máx ] h máx 5 m, ou seja, 8 m em relação ao solo. A velocidade da pedra ao atingir o solo é: v 5 v 1 ass ] v ] v ] v 5 4 m/s 1 1,8 km/h p 3 m/s Quando a mochila se desprende do paraquedista ela possui uma velocidade de 3 m/s em relação ao solo, sua altura é dada por: s 5 s 1 v t 1 at ] s s 5 6 m 4

19 Gabarito Retomada dos conceitos CAPÍTULO 1 1 a) v 5 6 m/s, a 5 m/s b) O movimento é retardado, pois no intervalo de tempo de zero a 3 s o módulo da velocidade diminuiu, indo até o valor zero, em 3 s, quando então, o movimento tem seu sentido invertido e passa a ser acelerado, pois, em módulo, o valor da velocidade aumenta. a) v 5 3 km/h b) a 5 km/h c) v 5 1 km/h d) t 5 1,5 h 3 a) a 5 m/s b) a 5 1 m/s c) Ss 5 78 m 4 a) MUV b) v 5,5 t (SI) c) t 5 8 s 5 a 5 1,4 m/s Ss 5 7 m 6 O móvel A percorreu 5 m a mais que o móvel B. CAPÍTULO 1 a) s(4) 5 4 m b) t 5 s ou t 5 4 s a) a 5 3 m/s b) Ss 5 11,5 m 3 Para que não ocorra o atropelamento, o carro deve estar a 6,5 m do animal no instante em que aciona os freios e a 77,5 m do animal no instante em que o avista. 4 b 5 a) a 5 3 m/s b) a 5,4 m/s 6 a) Ss 5 5 m b) t ] t 5 65 s 7 c 8 a 5 3 m/s ; t 5 5 dll s 9 a) St 5 6 s b) a 5 1 m/s 1 D 5 m 11 d 1 a 13 t 5 1 s 14 a) s A 5 5 m b) O móvel A não irá colidir com o móvel B. 15 João cruzou a linha dos 1 m primeiro e venceu a corrida. CAPÍTULO 3 1 a e 3 c 4 e 5 e CAPÍTULO 4 1 c a 3 e 4 d 5 No ponto mais alto da trajetória, a velocidade da pedra será nula (é o ponto no qual o sentido da trajetória é invertido). A aceleração da pedra é constante em todo o trajeto, e, portanto, seu módulo é 1 m/s. 5

20 6 h 5 3, m 7 a) b) 45 4 Altura máxima 3 5 Altura em que foi apanhado 1 Instante em que o corpo atinge a altura máxima altura máxima 45 m altura em que o objeto foi apanhado 5 m 8 a) t 5 6 s b) H 5 8 m Exercícios de integração 1 b a) tempo (s) posição da moto (m),6 1,4 3,4 41,6,4 posição do carro (m) b) s 5 s 1 vt ] s c t (SI) c) D 5 317,6 m d) s m 5 s c 5 83 m 3 b 4 s 8 5 m 5 a) t 5 3,35 s b) v m 7 1,37 m/s 6 a) A pedra retorna ao ponto de partida s após ser lançada. b) h 5 15 m 7 a) a 5 1,6 m/s b) 5 4,8 3,,4 4 8 v 7,47 m/s 9 St 5 15,3 s 1 a) t 5 3 s b) s m 11 v 5 4 m/s 1 s 5 6 m ,