(Queda Livre, Lançamentos Verticais, velocidade media, mru, mruv, derivada e integrais)

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1 Movimento vertical (Queda Livre, Lançamentos Verticais, velocidade media, mru, mruv, derivada e integrais) 1. Três bolinhas idênticas, são lançadas na vertical, lado a lado e em seqüência, a partir do solo horizontal, com a mesma velocidade inicial, de módulo igual a 15m/s para cima. Um segundo após o lançamento da primeira, a segunda bolinha é lançada. A terceira bolinha é lançada no instante em que a primeira, ao retornar, toca o solo. Considerando g = 10 m/s² e que os efeitos da resistência do ar ao movimento podem ser desprezados, determine: a) a altura máxima (h máx ) atingida pela primeira bolinha e o instante de lançamento da terceira bolinha. b) o instante e a altura H, indicada na figura, em que a primeira e a segunda bolinha se cruzam. Resposta- a)1,5 s, 11,25 m, 3,5 s b) 2 s 10 m 2)Tipler: 74) Página 57) Um objeto é largado do repouso de uma altura H. Durante o último segundo de queda ele percorre a distância de 38 m. Determine H. Adote g = 9,81 m/s 2. 3) Halliday cap 2-50) No instante t = 0, uma pessoa deixa cair a maçã 1 de uma ponte, pouco depois, a pessoa deixa cair a maçã 2 verticalmente para baixo do mesmo local. A figura 2-30 mostra a posição vertical y das duas maçãs em função do tempo durante a queda até a estrada que passa por baixo da ponte. A escala horizontal do gráfico é definida por ts = 2,0 s. Aproximadamente com que velocidade a maçã 2 foi jogada para baixo? Resposta- 9,6

2 4) Halliday cap 2-56) A figura 2-32 mostra a velocidade v em função da altura y para uma bola lançada verticalmente para cima ao longo de um eixo Y. A distância d é 0,40 m. A velocidade na altura y A é V A. A velocidade na altura y B é V A /3. Determine a velocidade V A. Sugestão coloque o eixo para cima e use Torricelli Resposta-3,0 Página 36: 60) Uma pedra é lançada verticalmente para cima a partir do solo no instante t = 0. Em t = 1,5 s, a pedra ultrapassa o alto de uma torre; 1,0 s depois atinge a altura máxima. Qual é a altura da torre? Resposta- 20,4 m. VELOCIDADE MEDIA. 1) Um motorista pretende percorrer, em 4,5 horas, a distância de 360 km. Todavia, dificuldades imprevistas obrigam-no a manter a velocidade de 60 km/h durante os primeiros 150 minutos. No percurso restante, para chegar no tempo previsto, ele deverá manter a seguinte velocidade média: a) 90 km/h. b) 95 km/h. c) 100 km/h. d) 105 km/h. e) 110 km/h. Resposta da questão 1: [D] 2) Dois trens, ambos se movendo com velocidade de 30 km/h, trafegam em sentidos opostos na mesma linha férrea retilínea. Um pássaro parte da extremidade dianteira de um dos trens, quando estão separados por 60 km, voando a 60 km/h, e se dirige em linha reta para outro trem. Ao chegar ao outro trem, o pássaro faz meia volta e se dirige para o primeiro trem, e assim por diante. Qual a distância que o pássaro até os dois trens colidirem? Resposta- 60 km 3) Tipler questão 53- pag56 ( valores modificados): O Guepardo pode correr até 100 km/h, o Falcão pode voar até até 150 km/h e o Marlim pode nadar até 100 km/h. Os três participam, como equipe, de uma corrida de revezamento, cada um cobrindo uma distância L com sua rapidez máxima. Qual é a rapidez média desse time para todo o percurso? Lembre-se dos problemas de trechos iguais. Neste caso três trechos.

3 4) A velocidade média de um automóvel que durante os primeiros 150 km de viagem deslocou-se a 50 km/h e nos 700 km seguintes a 100 km/h, é: a) 55 km/h b) 60 km/h c) 65 km/h d) 85 km/h e) 70 km/h 5) Um carro se desloca entre duas cidades em duas etapas. Na primeira etapa desloca-se com velocidade média de 80 km/h durante 3,5 h. Após permanecer parado por 2,0 horas, o carro percorre os 180 km restantes com velocidade média de 40 km/h. A velocidade média do carro no percurso entre as duas cidades foi, em km/h, a) 40 b) 46 c) 64 d) 70 e) 86 MRU 1) Duas estações A e B estão separadas por 200 km, medidos ao longo da trajetória. Pela estação A passa um trem P, no sentido de A para B, e simultaneamente passa por B um trem Q, no sentido de B para A. Os trens P e Q têm movimentos uniformes com velocidades de valores absolutos 70 km/h e 30 km/h, respectivamente. Determine o instante do encontro. Resposta- 2 h - Sugestão escreva a função horária e iguale as funções. Não esqueça que uma das velocidades será negativa. 2) Dois carros viajam ao longo de uma estrada reta. O carro A mantém uma rapidez constante de 80 km/h e o carro B mantém uma rapidez constante de 110 km/h. Em t=0, o carro B está 45 km atrás do carro A. A) Quanto mais viajará o carro A até ser ultrapassado pelo carro B? B) Quanto à frente do carro A estará o carro B 30 s após tê-lo ultrapassado? Resp. A) m B) 0.25 km 3) (a) Se a posição de uma partícula é dada por x = 4-12t + 3t 2 (onde t está em segundos e x está em metros), qual é a sua velocidade em t =1 s? (b) Ela está se deslocando no sentido positivo ou negativo de x neste exato momento? (c) Qual é o módulo da sua velocidade neste mesmo instante? (d) O módulo da velocidade é maior ou menor em instantes posteriores? (e) Determine sua velocidade media no intervalo de de t 0 =0 a t= 2s. 4) Um trem parte do repouso e se move com aceleração constante. Em um determinado instante, ele viaja a 30 m/s e, 160 m adiante, trafega a 50 m/s. Calcule (a) a aceleração, (b) o tempo necessário para percorrer os 160 m mencionados, (e) o tempo necessário para atingir a velocidade de 30 m/s e (d) a distância percorrida desde o repouso até o instante em que sua velocidade era de 30 m/s. 5) Uma partícula tinha uma velocidade de v = 18 m/s na direção do eixo x, em um certo tempo, e 2,4 s depois sua velocidade era de 30 m/s no sentido contrário. Quais eram o modulo e o sentido da aceleração média da partícula durante este intervalo de 2,4 s? 6) Um múon (uma partícula elementar) entra em uma região com uma velocidade de 5, m/s e depois é desacelerado a uma taxa de 1, m/s 2. Qual a distância que o múon percorre até parar?

4 7) Um elétron possui uma aceleração constante de +3,2 m/s 2. Em um certo instante sua velocidade é de + 9,6 m/s. Qual é a sua velocidade (a) 2,5 s antes e (b) 2,5 s depois? 8) Halliday-37) A figura mostra o movimento de uma partícula que se move ao longo do eixo x com aceleração constante. A escala vertical do gráfico é definida por x s = 6,0 m. Quais são: a) O módulo da velocidade? B) O módulo da aceleração da partícula. Sugestão- escreva duas equações espaço do MRUV e monte um sistema. Observe que a posição inicial e - 2 m Resposta-a) 0 e b) 4 positivo 9) Tipler 84: Página 58) Dois trens viajam em sentidos opostos, em trilhos paralelos. Eles estão inicialmente em repouso e suas frentes estão distantes 40 m. O trem a esquerda acelera para a direita a 1,0 m/s 2. O trem a direita acelera para a esquerda a 1,3 m/s 2. A) Determine o instante de encontro. B)Qual a distância percorrida pelo trem da esquerda ate que as frentes dos trens se cruzem? Respostas-3) Resp. (a) v (1s) = - 6 m/s i; (b) negativo; (c) v = 6 m/ s; (d) diminui; (e) sim, t =2 s 4) Resp. (a) a = 5 m/s2; (b) t = 4 s; (c) t = 6 s e (d) x = 90 m. 5) Resp. a = - 20 ms-2 i 6) Resp. x = 0,1 m 7) Resp. (a) v = 1,6 m/s e (b) v = 17,6 m/s. DERIVADAS. 1) A posição de um móvel em movimento retilíneo é dada por x(t) = t 3 9t 2 + 1,5t onde, t está em segundo e x em metros. a) Determine a posição do móvel em t = 6 s. b) Determine a velocidade media durante o intervalo de 0 a 6 s. Determine a velocidade instantânea em t = 2 s. c) O movimento e MRU- MRUV ou MV Justifique. 2) Dado que x(t) = ,5t - 1,5 t 2 + t 3 /3 determine A) a função velocidade B) a função aceleração. 3) Um ponto material move-se alo longo de uma trajetória horizontal com a posição dada por: x(t) = t 3-3 t 2 determine a distância percorrida pelo móvel em 3,5 segundos de movimento.

5 4) Um movimento é dado pela expressão x(t) = 10 2t + ½ t 2 onde a posição é medida em metros e t em segundos. Determine: a) A equação da velocidade instantânea em função do tempo; b) Verifique se o móvel muda de sentido, se mudar, determine a posição em que isto ocorre; c) Em que instante o móvel passa pela origem, se isso acontecer; d) Qual o aspecto do gráfico da posição em função do tempo, e da velocidade em função do tempo. Resp. a) v (t) = -2 + t ; b) sim, t = 2 s e x = 8 m e c) nunca. 5) A posição de um móvel ao longo de uma linha reta é dada pela função: x(t) = 3,0t 3 10,0t 2 + 9,0 t ; Onde t é dado em segundos e x em metros (SI). Sabendo que a velocidade instantânea é dada pela derivada da posição em relação ao tempo e que geometricamente, esta derivada é representada pela inclinação da reta tangente ao gráfico da posição em função do tempo. Determine para o intervalo de tempo entre 0 t 10,0 s: a) Qual a equação da velocidade instantânea em função do tempo? c) Em que instantes, se ocorrer, a velocidade do móvel é zero? e) Qual a velocidade média no intervalo de tempo de t = 3 s a t = 6 s? INTEGRAL 1) Considere que um estudante está dirigindo um carro em um trecho retilíneo de uma. No tempo t = 0, quando ele está se movendo a 10 m/s no sentido positivo do eixo x, ele passa por um poste de sinalização que indica uma distância de 50 m. Sabendo que a aceleração em função do tempo é dada por: a(t) = 2,0 m/s 2 0,10 m/s 2 t. a) Deduza uma expressão para V(t) e X(t). b) Determine a velocidade para t = 2 s. c) Onde está o carro quando a t = 3 s 2) A aceleração de um ônibus é dada por a(t) = αt, onde α = 1,2 m/s 3. a) Se a velocidade do ônibus para t = 1,0 s é igual a 5,0 m/s, qual é sua velocidade para t = 2,0 s? b) Se a posição do ônibus para t= 1,0 s é igual a 6,0 m, qual sua posição para t = 2,0 s? 3) A aceleração de uma motocicleta é dada por a(t) = At Bt 2, onde A = 1,5 m/s 3 e B = 0,12 m/s 4. A motocicleta está em repouso na origem no instante t = 0s. Calcule sua velocidade e posição em função do tempo.

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