Movimento Uniformemente Variado (M.U.V.)

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1 Movimento Uniformemente Variado (M.U.V.) A principal característica do movimento uniformemente variado é a aceleração escalar constante. Quando um móvel qualquer se movimenta com aceleração escalar constante, existe uma variação de sua velocidade escalar e, como consequência direta, sua velocidade escalar é variável no tempo. Logo, em um movimento uniformemente variado, a velocidade do móvel varia de quantidades iguais ( v) em intervalos de tempos iguais ( t). Assim, a aceleração média (a m ) do móvel é igual a sua aceleração escalar (a). Ou seja: Então, podemos relacionar a variação da velocidade ( v) com a aceleração constante (a) e o intervalo de tempo ( t) através da expressão: v = a t Essa expressão também equivale ao cálculo da área formada no gráfico da aceleração contra o tempo para um móvel realizando um MUV. Com a variação da velocidade, podemos escrever: v a = t v = v f v o v f vo = a t v f vo = a( t f to ) Consideremos que no instante de tempo inicial t o = 0 o móvel tenha velocidade inicial v o. No instante de tempo final t f = t, o móvel tenha velocidade final v f = v. Assim, teremos que: Então: v vo = a( t 0) v v = o at v = v + at o v = v + o at Forma padrão da função horária para a velocidade de um móvel em M.U.V. Com a função horária do movimento uniformemente variado, podemos determinar a velocidade de um móvel que se movimente com aceleração constante em qualquer instante de tempo desde que seja conhecida sua velocidade inicial. A aceleração escalar pode ser obtida numericamente pela inclinação da reta, ou seja, pela tangente do ângulo que a reta no gráfico velocidade versus tempo forma com o eixo do tempo, do lado positivo. a = tg(θ ) = v t v a = tg( θ ) = tg( α) = t 1

2 Para determinarmos o deslocamento ( s) realizado por um móvel que executa um movimento uniformemente variado (M.U.V.), basta efetuarmos o cálculo da área determinada pela linha do gráfico com o eixo do tempo, dentro do intervalo de tempo considerado. ( vo + v) t s = Ou seja, o deslocamento é dado pelo produto do intervalo de tempo, (t 0), pela média aritmética entre a velocidade inicial e a final, (v o + v)/. Através desse raciocínio, podemos desenvolver uma relação geral para o cálculo do deslocamento e, também, da posição de um móvel que realiza um MUV. Suponha um móvel com velocidade inicial v o que acelera uniformemente até atingir uma velocidade final v, a qual é dada pela equação v = v + o at. Substituindo esses dados na relação s = ( v + o v) t / vamos obter: ( vo + vo + at) ( vo + at) s = t s = t at s = vo t + a t s = vo t + Forma padrão da função horária para o deslocamento de um móvel em M.U.V. Como s = s f s, então: o s so = vot + at at s = so + vot + s a t = so + vot + Forma padrão da função horária para a posição de um móvel em M.U.V. Logo, o deslocamento e a posição de um móvel realizando um MUV variam quadraticamente no tempo, ao contrário de um móvel em movimento uniforme (MU), no qual a posição varia linearmente com o tempo. Assim, o gráfico da posição com o tempo de um móvel em MUV forma uma parábola que pode ter concavidade para cima, no caso em que a aceleração é positiva (a > 0), ou concavidade voltada para baixo, no caso em que a aceleração for negativa (a < 0). aceleração positiva (a > 0) aceleração negativa (a < 0)

3 A Equação de Torricelli Com as equações da função horária da velocidade e do deslocamento, podemos obter uma terceira equação, relacionando velocidade (inicial e final), aceleração e deslocamento independentemente do tempo em que ocorre tal movimento. Isolando o tempo t na equação v = v + o at, obtemos: v v t = a Substituindo esta expressão na equação s = vo t + at /, que representa a função horária do deslocamento, temos: o v = vo + a s Equação de Torricelli A equação de Torricelli é de grande utilidade na resolução de exercícios de MUV que não mencionam o tempo nos dados do problema. INFORMAÇÕES ADICIONAIS Fórmula de Bhaskara para determinação das raízes de um polinômio do º Grau: Ax + Bx + C = 0 Equação do º Grau x = B ± B 4AC A B + x' = = B x' ' = B 4AC A B 4AC A Fórmula de Bhaskara Fórmulas para o cálculo da área de algumas figuras planas comuns: Triângulo retângulo: Retângulo: Trapézio: Área (A) do triângulo Área (A) do retângulo: Área (A) do trapézio: retângulo: ab A = A = ab ( b + B) h A = 3

4 Exemplos: 1. Um carro com velocidade de 108 km/h é freado e pára em 1 s. Considerando que a aceleração do móvel tenha sido constante e que o mesmo realizava um movimento retilíneo, determine: a) O valor da aceleração. b) A distância percorrida pelo carro até parar. c) O esboço do gráfico da velocidade contra o tempo para esse movimento.. Uma partícula se move ao longo de um eixo horizontal s de acordo com a equação s = t t 8 (SI) efetuando um movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV). Sendo assim, determine: a) A aceleração da partícula. b) A posição inicial da partícula. c) A velocidade inicial da partícula. d) A função horária para a velocidade da partícula. e) O(s) instante(s) de tempo em que a partícula cruza a origem da trajetória. f) O instante de tempo no qual a partícula inverte o sentido do seu movimento. g) O esboço do gráfico da posição (s) contra o tempo (t) para o movimento da partícula. h) O esboço do gráfico da velocidade (v) contra o tempo (t) para o movimento da partícula. i) O esboço do gráfico da aceleração (a) contra o tempo (t) para o movimento da partícula. j) A posição da partícula aos 3 s de movimento. 3. Um móvel executando um movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV) tem sua velocidade em função do tempo dada pelo gráfico ao lado. Sendo assim: a) Que distância o móvel percorre em 10 s? b) Qual a velocidade média do móvel nos 10 s? c) Esboce o gráfico da aceleração (a) contra o tempo (t) para o movimento do móvel. 4. O diagrama horário representa o comportamento da aceleração em função do tempo para um móvel que desenvolve um movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV). Inicialmente, o móvel estava na posição m e, após 10 s de movimento, o mesmo apresenta uma velocidade de 40 m/s. Sendo assim: a) Determine a variação da velocidade do móvel nos primeiros 10 s do movimento. b) Determine a velocidade inicial do móvel. c) Escreva a função horária para a velocidade escalar do móvel. d) Escreva a função horária para a posição do móvel Um trem começa a ser observado quando sua velocidade é de 108 km/h, a qual ele mantém durante os 15 s seguintes. Logo após, ele freia com aceleração constante e de magnitude igual a 0,5 m/s até parar em uma estação. Sendo assim, determine a distância na qual o trem se encontrava da estação quando o mesmo começou a ser observado. 4

5 Exercícios Propostos: 1. A cabeça de uma cascavel pode acelerar 50 m/s no instante do ataque. Em quanto tempo um carro, partindo do repouso, atingiria a velocidade de 100 km/h com a mesma aceleração (suposta constante)?. Abaixo, são apresentadas as equações horárias da posição de alguns móveis realizando um movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV). Para cada uma delas, determine a posição inicial do móvel, a velocidade inicial do móvel e sua aceleração do móvel. Todas as equações estão em unidades do SI. a) s = ( t 4)( t + ). b) s = 3( t 4). c) s = t(4 + 5t). d) s = 8( t ). 3. Uma partícula se move ao longo de um eixo horizontal s de acordo com a equação s = 50t + 10t (SI) efetuando um movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV). Sendo assim, determine: a) A aceleração da partícula. b) A posição inicial da partícula. c) A velocidade inicial da partícula. d) A função horária para a velocidade da partícula. e) O(s) instante(s) de tempo em que a partícula cruza a origem da trajetória. f) O instante de tempo no qual a partícula inverte o sentido do seu movimento. g) O esboço do gráfico da posição (s) contra o tempo (t) para o movimento da partícula. h) O esboço do gráfico da velocidade (v) contra o tempo (t) para o movimento da partícula. i) O esboço do gráfico da aceleração (a) contra o tempo (t) para o movimento da partícula. j) A posição da partícula aos 3 s de movimento. 4. A função horária da velocidade de uma partícula é v = 30 6t (SI). Sabendo que partícula se encontra na posição s = 6 m no instante de tempo t = 0, determine: a) A aceleração da partícula. b) A posição inicial da partícula. c) A velocidade inicial da partícula. d) A equação que representa a função horária para a posição da partícula; e) A posição da partícula quando sua velocidade é nula. 5. Um móvel executando um movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV) tem sua velocidade em função do tempo dada pelo gráfico ao lado. Sendo assim: a) Qual a aceleração do móvel? b) Que distância o móvel percorre em 3 s? c) Qual a velocidade média do móvel aos 3 s do movimento? 5

6 6. Um móvel executando um movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV) tem sua velocidade em função do tempo dada pelo gráfico ao lado. Sendo assim: a) Qual a aceleração do móvel? b) Que distância o móvel percorre em 5 s? c) Qual a velocidade média do móvel aos 5 s? d) Qual a distância percorrida pelo móvel entre os instantes t = s e t = 4 s? e) Qual a velocidade média do móvel entre os instantes t = s e t = 4 s? 7. Um automóvel A está parado em um semáforo. Quando o sinal verde acende, e A inicia seu movimento, passa por ele outro carro, sendo este o automóvel B, com velocidade constante. O gráfico ao lado representa o comportamento das velocidades dos dois carros em função do tempo. Assim sendo, determine quanto tempo leva para que o carro A alcance o carro B. 8. Dois veículos (1 e ) deslocam-se em trajetórias retilíneas e paralelas uma à outra. No instante inicial t = 0 eles se encontram lado a lado. O gráfico ao lado representa o comportamento das velocidades desses veículos em função do tempo, durante os 1.00 s seguintes do início da observação do movimento dos mesmos. Assim sendo, esses veículos estarão novamente lado a lado, pela primeira vez (após o início da observação do movimento dos mesmos), em quais dos instantes de tempo apresentados no gráfico? Veículo 1 Veículo 9. Uma partícula tem aceleração conforme mostra o gráfico ao lado. No instante inicial, em t = 0, sabe-se que a velocidade da partícula era de 5 m/s, sendo que a mesma apresentava o mesmo sentido da aceleração. Assim sendo, determine o módulo da velocidade da partícula no instante t = 10 s. 6

7 10. Uma partícula tem aceleração conforme mostra o gráfico. Sabe-se que a velocidade da partícula era nula (ou seja, a partícula estava em repouso) no instante inicial t = 0. Assim sendo, determine: a) O esboço do gráfico da velocidade da partícula contra o tempo. b) A aceleração média da partícula no intervalo de 0 s a 40 s Um veículo em movimento retilíneo com velocidade inicial de 7 km/h é acelerado uniformemente a 3 m/s. Que distância o veículo percorrerá até atingir a velocidade de 40 m/s? 1. Um veículo desloca-se com velocidade constante de 36 km/h quando uma criança entra na pista 5 m à frente. Se o motorista pisa no freio, imediatamente, imprimindo ao veículo uma desaceleração constante de 5 m/s, o mesmo irá parar antes ou após atropelar a criança? Justifique sua resposta. 13. De uma estação parte um trem A com velocidade constante v A = 80 km/h. Depois de certo tempo, parte dessa mesma estação um outro trem B, com velocidade constante v B = 100 km/h. Depois de um dado tempo de percurso, o maquinista do trem B verifica que o seu trem se encontra a 3 km do trem A. A partir desse instante, ele aciona os freios do seu trem indefinidamente, imprimindo no mesmo uma desaceleração constante de módulo igual a 50 km/h. O trem A continua no seu movimento anterior normalmente. Nessas condições, a alternativa (única) abaixo correta será aquela na qual: a) Não houve encontro dos trens. b) Depois de duas horas o trem B pára e a distância que o separa do trem A é de 64 km. c) Houve encontro dos trens 1 minutos após o maquinista do trem B acionar os freios do seu trem. d) Houve encontro dos trens 36 minutos após o maquinista do trem B acionar os freios do seu trem. e) Não houve encontro dos trens e a distância que os separa é de km. 14. A equação de Torricelli é de grande utilidade na resolução de exercícios de MUV que não mencionam o tempo (t) nos dados do problema. A mesma é obtida isolando-se a variável que representa o tempo (t) na equação da velocidade do móvel em MUV (isto é: v = v + o at ), e substituindo-se a expressão correspondente na equação para o deslocamento do móvel em MUV (isto é: s = v t + o at / ). Assim sendo, demonstre como obter esse resultado; ou seja, com base no procedimento indicado, mostre como se chega na equação de Torricelli (isto é: v = vo + a s ). 15. Mostre que isolando a variável que representa a velocidade inicial (v o ) na equação da velocidade em MUV (isto é: v = v + o at ), e substituindo-se a expressão correspondente na equação para o deslocamento no MUV (isto é: s = v t + o at / ), obteremos uma expressão (equação) para o cálculo do deslocamento de um móvel nesse tipo de movimento (MUV) em termos da sua velocidade final (v), sua aceleração (a) e do tempo (t) com a seguinte forma: s = vt a t 7

8 Respostas dos Exercícios Propostos: 1. 0,55 s;. a) s o = 8 m; v o = m/s; a = m/s ; b) s o = 48 m; v o = 4 m/s; a = 6 m/s ; c) s o = 0; v o = 8 m/s; a = 0 m/s ; d) s o = 16 m; v o = 0; a = 16 m/s ; 3. a) 0 m/s ; b) zero; c) 50 m/s; d) s = t (SI); e) 0 s e 5 s; f),5 s; g) h) i) j) 40 m; 4. a) 6 m/s ; b) 6 m; c) 30 m/s; d) s = t 3t (SI); e) 81 m; 5. a) 4/3 m/s (= 1,33 m/s ); b) 1 m; c) 4 m/s; 6. a) 5 m/s ; b) 6,5 m; c) 1,5 m/s; d) 0 m; e) 10 m/s; s; s; 9. 0 m/s; 10. a) b) 0,75 m/s ; m; 1. Antes, pois pára 15 m à frente da criança. 13. c. 8