Gráficos (UM e UMV) Gabarito: Página 1. + vt. Tratando-se de uma. Resposta da questão 1: [E]

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1 Gráficos (UM e UMV) Gabarito: Resposta da questão 1: [E] A distância (D) pedida é numericamente igual à área hachurada no gráfico D= 10 D= 350 m. Resposta da questão : Distâncias percorridas pelos carros: No gráfico v t a distância percorrida é numericamente igual à área entre a linha do gráfico e o eixo dos tempos. Assim: 5+ 3 DA = DA = 8 m DA = + ( 3 1 ) DB = 8 m. Aceleração do carro A: Dados: v 0 = 0; v = m/s; Δ t = s. Entendendo por aceleração apenas a aceleração escalar do veículo, temos: Δv 0 a = = a = 1 m/s. Δt Resposta da questão 3: Analisando cada um dos trechos: [I] o módulo da velocidade escalar cresce linearmente com o tempo: o movimento é uniformemente variado, acelerado. [II] o módulo da velocidade escalar é constante e não nulo: o movimento é uniforme. [III] o módulo da velocidade escalar decresce linearmente com o tempo: o movimento é uniformemente variado, retardado. Resposta da questão 4: = 15. [01] Correta. A velocidade não varia com o tempo, tratando-se de uma função constante, assim, o gráfico uma reta paralela ao eixo dos tempos. [0] Correta. A função horária da posição em função do tempo para o Movimento Uniforme é S= S0 + vt. Tratando-se de uma função do 1º grau, o gráfico é uma reta cujo coeficiente angular é ( ΔS Δ t = v ). Página 1

2 [04] Correta. A função horária do espaço percorrido em função do tempo para o Movimento Uniforme é Δ S= vt. Tratando-se de uma função do 1º grau, o gráfico é uma reta. [08] Correta. No gráfico v t, a área entre a linha do gráfico e o eixo dos tempos dá o espaço percorrido. [16] Incorreta. No Movimento Uniformemente Variado, a função horária da velocidade é v = v0 + at. Como é uma função do 1º grau, o gráfico da velocidade em função do tempo é uma reta. Resposta da questão 5: Para calcular o deslocamento do jipe-robô, usamos a propriedade do gráfico v t, calculando a área destacada no gráfico abaixo , ΔS= ΔS= 6,5 + 6, , ,5 = 600 cm ΔS= 6 m. Resposta da questão 6: Calculando o deslocamento ( ) Δ x A do móvel A até o instante t = 15 s. Da propriedade do gráfico v t x A = "área" = 10 xa = 5 5 xa = 15 m. Calculando o instante em que a distância entre os móveis é igual a 33 m, usando novamente a propriedade anterior: Página

3 ( ) t+ t 5 ΔxA = = ( t 5) 5 ΔxA = 10 t 5. Sendo x0a = 0, temos: xa = x0a + ΔxA = t 5 xa = 10 t 5. t+ ( t 8) ΔxB = = ( t 8) 5 ΔxB = 10 t Sendo x0b = 3m, temos: x = x + Δx = 3 10 t+ 40 x = 10 t B 0B A B No instante t a distância entre os móveis ( D AB) deve ser 33 m. ( ) D = x x 33= 10 t 5 10 t = 0 t 68 0 t = 400 AB A B t = 0 s. Resposta da questão 7: Verdadeira. Os gráficos apresentados são de deslocamento por tempo. Como o enunciado nos informa que o automóvel desenvolve velocidade constante de módulo v, no início e no final, teremos a função d= v.t de primeiro grau, ou seja, o gráfico deverá ser uma reta no inicio e no final o que é satisfeito por todas as alternativas. No intervalo Δ t o automóvel aumenta e em seguida diminui sua velocidade, ambos uniformemente, o que nos a.t remete à função d= v.t+ de segundo grau, ou seja, o gráfico deverá ser duas parábolas seguidas, a primeira com concavidade para cima, o que representa o aumento da velocidade e a segunda com a concavidade para baixo, o que representa a diminuição da velocidade, sendo a alternativa a única que satisfaz o enunciado. Falsa. O gráfico apresenta uma reta no intervalo Δ t. Falsa. O gráfico apresenta uma reta no intervalo Δ t. Falsa. O gráfico apresenta uma reta no intervalo Δ t. [E] Falsa. O gráfico apresenta, aparentemente, duas parábolas, porém com as concavidades invertidas. Resposta da questão 8: A área no diagrama v t é numericamente igual ao espaço percorrido (d). Dividimos a figura em partes e calculamos a área da seguinte forma: d= A1( trapézio) + A ( retângulo) = ( 10+ ) 1/ = 6+ 10= 16 km. Mas o tempo total gasto é t = h. Então a velocidade média é: vm = d/t= 16/= 8 km/h. Resposta da questão 9: Página 3

4 As áreas da figura abaixo representam o deslocamento. Como uma é positiva e a outra negativa de mesmo módulo, o deslocamento total é nulo. Resposta da questão 10: O enunciado nos informa que o movimento é uniformemente acelerado e retrógrado. Com isso, podemos concluir que: sua velocidade possui um sinal negativo por estar se deslocando contra a orientação da trajetória (movimento retrógrado); sua aceleração é constante com sinal igual ao da velocidade, ou seja, negativo (movimento uniformemente acelerado). Falsa. Aparentemente temos uma parábola em um gráfico de espaço (S) por tempo (t), voltada para cima, ou seja, é um gráfico de movimento uniformemente variado (parábola em Sxt) com aceleração positiva (voltada para cima). Falsa. Temos uma reta em um gráfico de espaço por tempo, o que representa um movimento uniforme, ou seja, com velocidade constante e aceleração igual a zero. Falsa. Temos uma reta em um gráfico de velocidade por tempo, o que representa um movimento uniformemente variado, porém com uma inclinação que representa uma aceleração positiva. Verdadeira. Temos uma reta em um gráfico de aceleração por tempo, que nos informa que a aceleração é constante e negativa, conforme o enunciado. Resposta da questão 11: O enunciado nos pede a relação entre os deslocamentos BC e AB, ou seja: S S BC AB =?. Lembrando que o valor da área da figura de um gráfico Vxt é igual à intensidade do deslocamento do corpo, teremos: Área 1 = SAB = b.h = (t1 0).(V0 0) = t 1.V0 Área 1 = SAB, que ocorreu entre 0 e t 1. Área = SBC, que ocorreu entre t 1 e t. Página 4

5 Área = b.h (t t ).(V 0) (t t ).V SBC = = = (t t ).V S (t t ).V t t = =. = S t.v t.v.t 1 0 BC AB Resposta da questão 1: Considerando que os carros B e P iniciem seus movimentos no mesmo espaço e no mesmo instante t 0 (instante em que o carro B passa pelos policiais e a perseguição se inicia), eles irão se encontrar novamente quando percorrerem o mesmo deslocamento no mesmo intervalo de tempo, ou seja: SB = S P e tb = tp. Conseguiremos encontrar o deslocamento de cada carro através da área do gráfico, já que o gráfico dado é de velocidade em função do tempo. Analisando o gráfico dado, concluímos que as áreas serão iguais em t 4 : Resposta da questão 13: 1º Trecho: movimento acelerado (a > 0) o gráfico da posição em função do tempo é uma curva de concavidade para cima. º Trecho: movimento uniforme (a = 0) o gráfico da posição em função do tempo é um segmento de reta crescente. 3º Trecho: movimento desacelerado (a < 0) o gráfico da posição em função do tempo é uma curva de concavidade para baixo. Resposta da questão 14: No gráfico da velocidade em função do tempo, a área (A) entre a linha do gráfico e o eixo t dá o deslocamento escalar. ( ) ( ) ΔS= ΔS0 1+ ΔS1 = + = 0 0 ΔS= 0. Página 5

6 Resposta da questão 15: Construindo o gráfico: Resposta da questão 16: A área da figura sombreada é numericamente igual ao deslocamento. Δ S= = 117km. ΔS Vm= = km/h= m/s= 6,5m/s. Δt 5 5x3,6 Resposta da questão 17: [E] No trecho I, a declividade da curva espaço-tempo está aumentando, portanto o módulo da velocidade está aumentando, logo o movimento é acelerado. No trecho II, o espaço é constante, portanto o móvel está em repouso. No trecho III, o espaço diminui linearmente com o tempo, tratando-se de um movimento uniforme retrógrado. Resposta da questão 18: Note que entre 3 e 8 min a posição não varia. Portanto, o carro está parado. Resposta da questão 19: Página 6

7 Pela leitura do gráfico, conclui-se que o objeto atinge a superfície do lago no instante t = 1 s, com velocidade de 10 m/s, pois a partir desse instante sua velocidade começa a diminuir, chegando ao fundo do lago no instante t = 3,5 s, quando a velocidade se anula. A profundidade do lago (h ) pode ser calculada pela área (A ) da figura abaixo da linha do gráfico entre t = 1 s a t = 3,5 s. 1 9 h = "A " = + ( 3,5 1) 1= 4,5+,5 h = 7 m. Resposta da questão 0: Como o movimento é retilíneo, a aceleração tem módulo igual ao módulo da aceleração escalar, dado por: v a =. Assim: t a I = a II (constante) 0; a III = 0; a IV 0 (constante) Resposta da questão 1: Propriedade do gráfico v = f(t): a área entre a linha do gráfico e o eixo t representa o espaço percorrido pelo móvel ( S). Como não há mudança de sentido, o espaço percorrido é igual à distância percorrida. Resposta da questão : Analisando o gráfico: No instante t = 30 min, Tânia está passando pelo km 1, onde fica a igreja. Ângela passa por esse marco no instante t = 40 min, isto é, 10 min após o telefonema. No instante t = 40 min, Tânia está no km 16, ou seja, 4 km à frente de Ângela. Página 7

8 Resposta da questão 3: Analisemos cada intervalo: De 0 a 3 s: o movimento é uniformemente acelerado; a aceleração escalar é a 1 = v1 8 =,7m/s. t 3 1 O espaço percorrido é calculado pela área de 0 a 3 s 3 8 S1 = = 1m. De 3 s a 5 s: o movimento é uniforme, com velocidade escalar v = 8 m/s. O espaço percorrido é: S = v t 8 = 16 m. De 5 s s 7 s: o movimento é uniformemente retardado; a aceleração escalar é: a 3 = v = = = 4m/s. t O espaço percorrido é: 8 S3 = = 8m. Resposta da questão 4: O gráfico sugere: movimento progressivo acelerado (corrida para pegar o ônibus); repouso (espera no ponto); movimento uniforme regressivo (volta para casa); novo repouso (espera pelo táxi) e, finalmente, movimento progressivo uniforme (movimento do táxi). Resposta da questão 5: No gráfico, a distância percorrida é: d = OA+ AB+ BC (AO) = = 100 AO= 10 cm; AB = (1 6) = 6 cm; BC = (8 0) = 8 cm; Página 8

9 Assim: d = = 4 cm. Obedecendo à escala dada, d = = cm = 40 m =,4 10 m. No gráfico, o deslocamento (vetorial) é: D = OC = 1 cm, no sentido de O para C. Obedecendo à escala dada: D = = cm = 10 m = 1, 10 m. Resposta da questão 6: No intervalo de 0 a 1 h, a velocidade escalar é positiva e tem módulo decrescente. Então, o movimento é progressivo e desacelerado. No intervalo de 1 h a h, a velocidade escalar é negativa e tem módulo crescente. Então, o movimento é regressivo (ou retrógrado) e acelerado. Resposta da questão 7: A rigor, o problema não tem solução, pois os dados da tabela não são suficientes para se chegar a alguma conclusão. Qualquer curva passando pelos pontos tabelados é uma solução. Para se chegar à resposta esperada, o examinador deveria informar que a taxa de variação da velocidade entre dois instantes consecutivos mostrados na tabela é constante. a) Com muito boa vontade vamos à resolução com os valores sugeridos e não dados pela tabela (resposta esperada pelo examinador), supondo que nos intervalos de 0 e 4 s e de 1 s a 16 s a velocidade permaneça constante e que, nos intervalos de 4 s a 8 s e de 16 s a 0 s as variações de velocidade sejam constantes. Com essas considerações, o gráfico pedido está representado a seguir. b) Com base no gráfico obtido no item a) podemos descrever o movimento do carrinho da seguinte maneira: de t = 0 a t = 4 s o movimento é progressivo e uniforme; de t = 4 s a t = 8 s o movimento é progressivo e uniformemente retardado; de t = 8 s a t = 1 s o movimento é retrógrado e uniformemente acelerado; de t = 1 s a t = 16 s o movimento é retrógrado e uniforme, de t = 16 s a t = 0 s o movimento é retrógrado e uniformemente retardado. Resposta da questão 8: É um gráfico de aceleração tempo. Analisando-o podemos afirmar que a aceleração é constante e não nula nos intervalos C e G e nula no intervalo E, sendo assim, constante a velocidade. Resposta da questão 9: Pelo gráfico, percebe-se que o motorista imprudente é o condutor do veículo A, que recebe acelerações e desacelerações mais bruscas. Página 9

10 De 10 s a 0 s: a (I) = = a (I) =,0 m/s De 30 s a 40 s: a (II) = = a (II) = 3,0 m/s Resposta da questão 30: Durante a subida, agem na bolha o empuxo (E ) e o peso (P ), uma vez que as forças resistivas são desprezíveis. Se, conforme supõe o enunciado, as bolhas têm o mesmo tamanho (ou mesmo volume) e a mesma quantidade de gás, o empuxo e o peso são constantes. Se uma bolha sobe em movimento acelerado, então E > P. Aplicando o princípio fundamental da dinâmica: F res = E P = m a. Se E e P são constantes, a resultante é constante, logo a aceleração também é constante. Isso significa que o movimento é uniformemente acelerado. Como a bolha parte do repouso, a velocidade inicial é nula, portanto a função horária da velocidade é: v = at. O gráfico da velocidade em função do tempo é uma reta, o que nos leva ao gráfico VI. A função horária do espaço (S) para um movimento uniformemente variado, a partir do repouso, supondo posição inicial nula é: 1 S= a t. O gráfico correspondente é um arco de parábola que passa pela origem, o que nos remete ao gráfico II. Resposta da questão 31: Como a trajetória é retilínea, a aceleração restringe-se à componente tangencial ( a t), que, em módulo, é igual a aceleração escalar (a), dada pela taxa de variação da velocidade ( v) em relação ao tempo ( t). a = v. Usando essa expressão em cada um dos intervalos: t I. a I = a I = 10 m/s. II. a II = 0 (não houve variação da velocidade) III. a III = = Resposta da questão 3: a III = 5 m/s. Como o gráfico da velocidade em função do tempo é uma reta, trata-se de movimento uniformemente variado. Desses gráficos podemos tirar que: S 0 = 0; v 0 = 10 m/s. Página 10

11 Podemos ainda concluir que no instante t = s a velocidade se anula (v = 0), ou seja, o móvel inverte o sentido de seu movimento, uma vez que a trajetória é retilínea. Calculando o espaço percorrido de 0 a s pela área no primeiro gráfico: S = 10 = 10m. Mas: S = S S 0 10 = S 0 S = 30 m. Resposta da questão 33: Lembrando que no gráfico da aceleração escalar em função do tempo a variação da velocidade é numericamente igual a área entre a linha do gráfico e o eixo dos tempos, como destacado na figura, temos: v = v 1 + v + v 3 = v = (6 4) (4 3) + (6 4) = = 36 cm/s. Mas v = v v 0. Então: v = 36 v = 38 cm/s. Resposta da questão 34: As áreas das figuras sombreadas são numericamente iguais aos deslocamentos dos corpos S1 = = 5m o corpo 1 está a 5m da posição inicial 10 5 S = = 5m o corpo está a 5m da posição inicial t.5 (10 t). 5t+ t 0 7t 0 S 7 3 = = = = = 15m o corpo 3 está a 15m da posição inicial S = 10.( ) = 0m o corpo está a 0m da posição inicial 4 Resposta da questão 35: Nos intervalos de tempo em que a velocidade escalar é constante (1 s a s; 3 s a 4 s e 5 s a 6 s) a aceleração escalar é nula. Nos intervalos 0 a 1 s; s a 3 s; 4 s a 5 s e 6 s a 7 s, a velocidade varia linearmente com o tempo, sendo, então, a aceleração escalar constante. v Podemos, então, fazer a= t. Assim: Página 11

12 De 0 a 1 s: a = 1 0 = 1 m/s ; De s a 3 s: a = = 3 m/s ; 3 De 4 s a 5 s: a = 1 4 = 5m/s ; ( 1) De 6 s a 7 s: a = = 1m/s. 7 6 Resposta da questão 36: Antes do instante t 1, os veículos apresentam a mesma velocidade em relação ao solo e, desta forma, apresentam velocidade relativa nula. Isto pode ser observado em todas as alternativas. Entre o instante t 1 e t apenas o carro de Felipe está acelerado e, deste modo, a distância entre os carros aumenta, o que significa que a velocidade relativa aumenta. Como este aumento é linear, visto que a aceleração é constante, neste intervalo entre t 1 e t, a linha de gráfico deverá ser retilínea e crescente. Isto pode ser visto nas opções A e B. A partir do instante t, a velocidade do carro de Barrichelo começa a crescer no mesmo ritmo da de Felipe, de modo que a velocidade relativa se fixa novamente. Desta forma, a alternativa correta é a A. Resposta da questão 37: O gráfico solicitado entre t = 0 e t = 10 s. Se x = t.t então v = 16 4.t v = = = 0 m/s Em t = 0 s S = 5 m e em t = 5 s S = (5) = = 35 m. Desta forma como a partícula avança até a posição máxima em t = 4 s S = (4) = = 37 m, a distância percorrida é (37 5) + (37 35) = 3 + = 34 m. O deslocamento é 35 5 = 30 m. Resposta da questão 38: [E] Resolução Entre os instantes 1 e a velocidade é negativa e desta forma a partícula viaja no sentido negativo do eixo. No instante a partícula muda o sinal de sua velocidade e consequentemente muda o sentido de seu movimento. Para isto precisa, ainda que momentaneamente entrar em repouso, visto que seu movimento é unidimensional. A área entre a linha de gráfico e o eixo do tempo neste diagrama também, como a função horária, determina o deslocamento da partícula. Resposta da questão 39: Página 1

13 Resolução Pela equação horária do gráfico 1 a velocidade constante é 1 m/s. A velocidade é numericamente igual a tangente de alfa tgα = 1 = 0,5 A velocidade do gráfico será numericamente igual a tg(α), que é tg(α) =.tgα / (1 tg α) =.0,5 / (1 0,5) = = = 0, Resposta da questão 40: a) Observe o gráfico É interessante notar que como o movimento é caracterizado por duas acelerações, uma de 0 a 0 s e outra de 0 s a 50 s, o diagrama da velocidade manterá esta característica com uma velocidade crescente no primeiro trecho (pois a aceleração é positiva) e uma velocidade decrescente no segundo trecho. b) A distância percorrida é 1150m. Este mesmo diagrama pode nos fornecer a distância percorrida, pois esta é numericamente a área entre a linha de gráfico e o eixo das abscissas. Assim: S = 0.40/ + ( ).(50-0) / = 800/ / = = 1150 m Página 13