Velocidade (Instantânea)

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1 FAP5 - Fundamentos de Mecânica. Terceira Lista de exercícios. Março de 9. Velocidade (Instantânea) Entregar as soluções dos exercícios e, apresentando todas as etapas necessárias para conseguir resolvê-los; não é suficiente apresentar as respostas. Velocidade média 3 ) (RHK E.) A posição de um objeto que se move em linha reta é dada por ( ) x t = At + Bt + Ct, onde A = 3, m/s, B =, m/s e C =, m/s 3. a) Qual a posição do objeto nos instantes t =,,, 3 e s? b) Qual o deslocamento do objeto entre t = e t = s? E entre t = e t = s? c) Qual a velocidade média no intervalo de tempo de t = s a t = s? E entre t = e t = 3 s? Representação gráfica do movimento: a velocidade é a inclinação da reta tangente ) O gráfico ao lado representa o movimento de um automóvel subindo uma ladeira, em que o motorista pára o carro, que escorrega um tanto para trás antes de retomar a subida. a) Determine a velocidade média nos intervalos de, s a, s e de, s a, s. b) Em que instantes a velocidade do automóvel 8 é nula? c) Qual a distância percorrida para trás pelo automóvel, desde que ele pára a primeira vez até que ele retome o movimento para cima da ladeira? d) Em que intervalos de tempo a velocidade é positiva? - e) Em que intervalo(s) de tempo a velocidade é - negativa? Dentro desse(s) intervalo(s), - quando o módulo da velocidade é máximo? f) Determine a velocidade nos instantes: t = s; - t = 3, s e t =, s. -8 3) O gráfico ao lado descreve o movimento.5 de um professor na frente da classe, que em t = s estava parado na posição, m. a) A partir do gráfico, determine a.5 velocidade do professor nos instantes: t i = i +,5 s, onde i é um número inteiro entre e 7 (ou seja, de segundo.5 em segundo, começando em,5 s e terminando em 7,5 s) b) Esboce o gráfico da velocidade em função do tempo, a partir das suas - respostas do item a e do gráfico de -.5 posição em função do tempo. c) A partir do gráfico obtido no item b acima, determine as acelerações em t = i segundos, onde i é um número inteiro entre e 7. d) (OPCIONAL) Escreva a equação horária correspondente ao gráfico, sabendo que o movimento é uniformemente acelerado entre t = e, s com aceleração, m/s ; uniforme, de, a 3, s; uniformemente retardado entre 3, e,5 s com aceleração, m/s ; uniforme, de,5 a 5,5 s e uniformemente retardado entre 5,5 e 7, s, parando em t = 7, s e permanecendo parado a partir daí.

2 ) Um minuto na vida de um velho passageiro de um velho ônibus. Eu me encaminho para o ponto do ônibus, distante metros, andando m/s. Olho para trás e vejo o ônibus que, distante 5 metros do mesmo ponto, aproxima-se a 5 m/s. Resolvo correr para conseguir chegar ao ponto antes do ônibus. O motorista percebe meu movimento, atenciosamente diminui sua velocidade e pára no ponto alguns segundos depois de mim. Tomo o ônibus, encontro assento e o ônibus acelera uniformemente de maneira que 5 segundos depois alcança m/s e mantém essa velocidade. Represente num mesmo gráfico x vs. t os movimentos do velho senhor e do velho ônibus. t (s) Dicas. O gráfico da posição em função do tempo de um movimento é contínuo não tem saltos e quando não há colisão também é derivável tem uma inclinação (velocidade) bem definida a cada instante. Também preste atenção às velocidades do ônibus e do velho em t = s, que são dados do problema. Fora essas características, você tem liberdade e obrigação de escolher todos os detalhes do problema que não tenham sido enunciados. 5) A vazão de um rio muda durante o ano de acordo com o gráfico ao lado, onde o instante t = mês corresponde ao valor observado no dia de janeiro e há apenas um dado por mês. Com base nesse gráfico: a) determine a taxa de variação da vazão (T v ) em unidades de (mil litros/s)/mês, no período de janeiro a fevereiro, de fevereiro a março e de junho a setembro; b) represente graficamente o comportamento da taxa de variação de vazão ao longo do ano.

3 ) O gráfico abaixo representa o movimento da posição horizontal de um pêndulo em função do tempo. x(cm) b) A partir da sua resposta ao item a, esboce o gráfico da aceleração. Não se esqueça de marcar a escala e 7) O gráfico abaixo representa o movimento de um bloco preso a molas e apoiado sobre uma superfície com atrito b) A partir da sua resposta ao item a, esboce o gráfico da aceleração; é difícil ter boa precisão, particularmente a partir de t = s, de modo que se preocupe mais com os aspectos qualitativos da aceleração que com os quantitativos. Apesar disso, não se esqueça de marcar a escala e 8) O gráfico abaixo representa o movimento de um corpo realizado especialmente para este exercício. x(cm) b) A partir da sua resposta ao item a, esboce o gráfico da aceleração. Não se esqueça de marcar a escala e 3

4 9) O gráfico abaixo representa o movimento de um balão de aniversário, com cm de diâmetro e g de massa, abandonado de, m de altura e que rebate no chão. y (m) t (s),,,,7,8,,, v(m/s) a) Faça um esboço representando o sistema descrito no enunciado e marque a origem e a orientação do eixo compatíveis com o gráfico. b) Preencha a tabela de velocidade v em função do tempo t com valores obtidos a partir do gráfico, por meio da inclinação da reta tangente à curva y(t) no instante adequado. c) Usando os dados da tabela, construa o gráfico da velocidade em função do tempo: marque os pontos no gráfico (não se esqueça de marcar a escala e identificar os eixos, incluindo as unidades) e una os pontos por uma curva suave, exceto no instante em que a bola rebate no chão. d) Determine a fração da energia cinética do balão que é perdida na rebatida no chão. e) Determine, a partir do gráfico v(t), em que instantes a aceleração é máxima. Qual o valor máximo da aceleração, excetuando o valor no instante em que a bola rebate no chão? Equação horária do movimento ) (RHK E.) Enquanto pensava em Isaac Newton, uma pessoa em pé sobre uma passarela inadvertidamente deixa cair uma maçã por cima do parapeito justamente quando a frente de um caminhão passa exatamente por baixo dele. O veículo move-se a 55 km/h e tem m de comprimento. A que altura, acima do caminhão, está o parapeito se a maçã passa rente à traseira do caminhão? Representação algébrica do movimento: a velocidade é a derivada da função posição ) Uma partícula move-se ao longo do eixo x de acordo com a equação x(t) = 5t + t 3, sendo x em centímetros e t em segundos. Calcule: a) a velocidade média da partícula no intervalo [ s, 3 s] do movimento; b) a velocidade instantânea da partícula em t = 3, s e c) a aceleração nesse mesmo instante.

5 ) A equação horária do movimento de um corpo é x(t) = 3 + t t (x em metros para t em segundos). a) Esboce o gráfico da posição x contra o tempo t no intervalo (-; 3) s. b) Qual é sua velocidade e sua aceleração instantânea como função do tempo? c) Esboce os gráficos da velocidade, v, e da aceleração, a, em função do tempo no intervalo (-; 3) s. d) Qual é a sua velocidade média no intervalo (-; ) s? e) No instante t = s, um outro objeto, movendo-se uniformemente com rapidez v =, m/s no sentido oposto ao do eixo Ox, cruza com o corpo cujo movimento está descrito no item a. Escreva a equação horária do movimento deste outro objeto. f) Em que instante posterior a t = s os dois objetos voltam a se cruzar? E em que posição? 3) A posição de uma partícula ao longo do eixo x depende do tempo de acordo com a equação 3 x( t) = At Bt, onde x está em metros e t em segundos. a) Em quais unidades do SI devem estar A e B? A partir de agora admita que os valores numéricos de A e B, em unidades do SI, são 3, e,, respectivamente. b) A partir de qual instante a partícula passa a ocupar posições na parte negativa do eixo Ox? c) Qual o comprimento total da trajetória percorrida pela partícula nos primeiros, segundos? d) Qual é o seu deslocamento durante os primeiros, segundos? e) Qual a velocidade da partícula ao final de cada um dos quatro primeiros segundos? f) Qual é a aceleração da partícula ao final de cada um dos quatro primeiros segundos? g) Qual é a velocidade média para o intervalo de tempo compreendido entre t =, e t =, s? ) (RHK E.9) A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo x é dada em cm por 3 x ( t) = A + Bt, onde A = 9,75 cm e B =,5 cm/s 3. Considere o intervalo de tempo de t =, s a t = 3, s e calcule: a) a velocidade média; b) a velocidade instantânea em t =, s; c) a velocidade instantânea em t = 3, s; d) a velocidade instantânea em t =,5 s e e) a velocidade instantânea quando a partícula estiver no ponto médio entre as posições ocupadas nos instantes t =, s e t = 3, s. 5) (YF.7, modificado) Um carro, que estava parado em um semáforo, inicia seu movimento no instante escolhido como origem de tempo e percorre um trecho retilíneo de modo que sua distância ao 3 semáforo é dada por x( t) = bt ct, onde b =, m/s e c =, m/s 3. a) Calcule a velocidade média do carro para o intervalo de tempo entre t = e t =, s. b) Calcule a velocidade instantânea do carro nos instantes t = ; 5, e, s. c) Usando uma planilha de cálculo, verifique numericamente que o instante em que o carro está no ponto médio das posições ocupadas em t = e t =, s é t m = 5,97 =, s com dois dígitos significativos. Calcule a velocidade instantânea nesse ponto. d) Qual o primeiro instante após t = s em que o carro pára? E quando ele retorna à origem? 5