Capítulo 3 Movimento em Duas ou Três Dimensões

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1 Capítulo 3 Moimento em Duas ou Três Dimensões 3.1 Vetor posição e etor elocidade objeto de nosso estudo sistema

2 o obserador sistema de referência

3 . O ponto de referência

4 O

5 O

6 O

7 O trajetória

8 objeto de nosso estudo sistema modelo: partícula

9 O

10 Coordenadas cartesianas: r xiˆ + yj ˆ + zkˆ Vetor r posição (t) O

11 O Vetor r posição (t)

12 t r (t) etor posição da partícula no instante t em relação ao obserador em O. O

13 Vetor deslocamento r r ( t + t) r ( t) Vetor deslocamento da partícula entre os instantes t e t +Δt t r (t) r r( t+ t) t+ t O Componentes: r ˆ ( x) i + ( y) j + ( z)k ˆ ˆ

14 rfinal rinicial t r t t r r + ) ( ) ( A C B A C AC B C BC A B AB r r r r r r r r r r AB r BC

15 Velocidade média m r t r r (t) r( t+ t) m secante à trajetória O Componentes: m x t iˆ + y t ˆj + z t kˆ

16 Velocidade instantânea t r (t) r m O t decrescente

17 t decrescente r decrescente t r (t) r m O lim t r t tangente à trajetória no instante considerado

18 (t) ( t 1 ) t r (t) O ( t tangente à trajetória ) ( t 3 )

19 Em termos das componentes: r dr dx dy lim iˆ + ˆj + t t dt dt dt dz dt kˆ dx dy x, y, z dt dt dz dt Módulo do etor elocidade: + + (igual à elocidade escalar) x y z

20 3. Vetor aceleração Aceleração média: a m t Aceleração instantânea: a Componentes: a d dt x lim t d iˆ y + ˆj + dt d t dt d dt z kˆ a d dt d x dt d d y dt d dt x y z x, a, a y z dt d z dt

21 Componentes perpendicular e paralela da aceleração: Componente perpendicular a t ( t + t ) Componente paralela ( a t ) ( t + t ) a ( t ) d dt t a (t )

22 a (t) e Componente paralela da aceleração altera o módulo da elocidade são paralelos a t ( t + t) t apenas o módulo da elocidade é alterado! a

23 (t) No limite Componente perpendicular da aceleração altera a direção da elocidade t ( t + t) (t) ( t + t), a aceleração torna-se perpendicular à elocidade a (t) ( t + t) a

24 (t) No limite Componente perpendicular da aceleração altera a direção da elocidade t ( t + t) (t) ( t + t), a aceleração torna-se perpendicular à elocidade a (t) ( t + t) a

25 (t) No limite Componente perpendicular da aceleração altera a direção da elocidade t ( t + t) (t) ( t + t), a aceleração torna-se perpendicular à elocidade a (t) ( t + t) a

26 a a a Exemplos Aceleração normal à trajetória: elocidade escalar é constante Componente paralela da aceleração normal no mesmo sentido da elocidade: elocidade escalar aumenta Componente paralela da aceleração normal no sentido oposto da elocidade: elocidade escalar diminui

27 3.3 Moimento de um projétil Moimento de um corpo no campo graitacional da Terra, desprezando os efeitos de resistência do ar, curatura e rotação da Terra. Moimento ocorre em um plano, definido pelo etor elocidade inicial e pela etor aceleração da graidade a a gj ˆ a x, a y g x x iˆ + y cosα, ˆj y sen α

28 Decomposição do moimento Moimento horizontal com elocidade constante Moimento ertical com aceleração constante x cosα a y g ( queda lire ) a

29 Demonstração: Kit LADIF 1C- Vídeos: Physics Demonstrations in Mechanics I.4, I.5, I.6

30 Vídeo: (a partir de 46:1 min)

31 Equações do moimento de projétil Moimento horizontal com elocidade constante Moimento ertical em queda lire a y y x x ( senα ) senα gt t cosα ( cosα ) 1 gt t

32 Aplicações: Distância até a origem a qualquer instante Módulo da elocidade a qualquer instante Direção e sentido da elocidade: tgα y x r r x + + y x y y r (t) α x y (t) x

33 x y Equação da trajetória: cosα x t ( ) ( ) 1 sen cos gt t y t x α α Sabemos que: ( ) cos 1 cos sen α α α x g x y ( ) cos tg x g x y α α A trajetória é uma parábola (resultado obtido pela primeira ez por Galileu)

34 y Altura máxima: Obtemos o tempo t 1 para alcançar a altura máxima a partir da condição y h y t 1 senα senα g Então substituimos t 1 na equação para y(t) : h x ( senα ) h gt 1 ( t ) ( sen ) t gt h y α 1 senα g sen g α 1 g 1 1 senα g 1 Note que a altura será a maior possíel para α 9

35 Alcance: Obtemos o tempo t para o projétil retornar ao solo: Então substituimos t na equação para x(t) : senα t t1 g y R x ( t ) ( cosα ) t senα R g ( cosα ) senα cosα R g R R x sen g α Note que o alcance será o maior possíel para α 45

36 Galileu: As amplitudes das parábolas descritas por projéteis disparados com a mesma elocidade, mas com ângulos de eleação acima e abaixo de 45 o e equidistantes de 45 o, são iguais entre si Demonstração experimental: Kit LADIF (lançador de projéteis)

37 3.4 Moimento circular Moimento circular uniforme Moimento ao longo de uma trajetória circular com elocidade escalar constante (elocidade muda apenas de direção): aceleração será sempre perpendicular à elocidade, apontando para o centro do círculo (centrípeta) a rad R a rad a rad a rad a rad R Período (T ): Tempo para uma olta completa πr T, a rad 4π R T

38 Exemplo: Y&F 3.11 Um carro possui aceleração lateral máxima de,96g. Se o carro se desloca a 144 km/h, qual o raio mínimo da cura que ele pode aceitar? 144 km/h 4 m/s R a rad a rad R min R amax ( 4 m/s),96 9,8m/s 17m

39 Exemplo: Órbitas dos planetas Raio médio T translação 4 R (U.A.) (U.A) (anos) a rad R T a rad Mercúrio,39,4 67,3 4,7 Vênus,7,6 Terra ,94 38,3 39,47 39,5 Marte 1,5 1,88 16,98 39, Júpiter 5, 11,86 1,459 39,5 Saturno 9,54 9,46,434 39,5 Urano 19,19 84,1,173 39,5 Neptuno 3,6 164,79,437 39,5 π Plutão 39,53 47,7,544 39,7

40 Moimento circular não uniforme Além da aceleração radial (centrípeta), existe também uma aceleração tangencial, que causa ariações na elocidade escalar a rad, R a tg d dt

41 3.5 Velocidade relatia Velocidade depende do sistema de referência (referencial): conjunto de eixos e um cronômetro

42 Em 1D: y A y B x P/A O A x B/A O B x P/B P x A, x B A: referencial de um obserador externo, parado na estrada B: referencial de um obserador sentado dentro do ônibus x P / A xp / B + xb / A Deriando em relação ao tempo, obtemos: dx dt dxp dt dxb dt P / A / B / A + P / A P / B + B / A Exemplo: P / B B / A P / A 1m/s 4 m/s P / B + B / A 3 m/s

43 Em D e 3D: y A O A r P / z B A y B r B / A O B x A P r P / B x B r P / A rp / B + rb / A Deriando em relação ao tempo, obtemos: P / A P / B + B / A Transformação de elocidades de Galileu z A

44 Exemplos: Y&F 3.14 e 3.15 Velocidade do aião em relação à Terra: P / E P / E P / A α arctg P / A + A/ E + A/ E 1 km/h 4 km/h 6 km/h 3 Em que direção o piloto dee inclinar seu aião para ir do Sul para o Norte? β 1 km/h arcsen 4 km/h 5 Velocidade do aião em relação à Terra: P / E P / A A/ E 18 km/h

45 Próximas aulas: 6a. Feira 6/8: Aula de Exercícios (sala A-37) 4a. Feira 3/8: Aula Magna (sala A-343) e teste do Cap. 3

46 Aisos: Mudança na data da P: a. Feira 8/11, 17h Testes (alendo até 1, ponto na proa): Bonus na proa [(Media nos testes),] 8, (Ausências nos testes são computadas como nota zero para o cálculo da média)