Fundamentos de Física. José Cunha

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1 José Cunha

2 Cinemática de um Ponto Material

3 Movimento Unidimensional Cinemática é a descrição do movimento sem considerar as suas causas 3

4 Cinemática 4

5 Cinemática 5

6 Cinemática Para descrever o movimento de um corpo é necessário conhecer a posição do corpo em cada instante. Mas, atenção! Quando falamos na posição estamos a considerar a localização do corpo em relação a um outro objecto, ou seja em relação a uma referência. Começamos por simplificar: tartaruga = partícula t o t uma partícula é um objecto cuja posição pode ser descrita por um ponto O estudo do movimento rectilíneo simplifica-se ao fazer coincidir um dos eixos do referencial com a direcção do movimento 6

7 Cinemática Vector Posição: Deslocamento Traduz a mudança de posição de um objecto É Caracterizado por: orige m t o t direcção - da recta suporte do vector sentido - aponta da posição inicial para a posição final módulo - menor distância entre a posição inicial e final xo x x - vector deslocamento = (x -x o ) x unidade S.I.: metro (m) 7

8 Cinemática Velocidade Média A velocidade média de uma partícula define-se, no intervalo [t 1 ; t 2 ], como o quociente do espaço percorrido pelo tempo que o levou a percorrer: v média deslocamento intervalo de tempo v média s t x t 2 2 x t 1 1 Admitindo que t 1 < t 2 teremos: Se v média > 0 x(t 2 ) > x(t 1 ) Se v média < 0 x(t 2 ) < x(t 1 ) O movimento tem o sentido positivo do eixo XX O movimento tem o sentido negativo do eixo XX 8

9 9

10 Exercicios 1: Numa prova um atleta corre 50m com uma velocidade de 10m/s e os 50m seguintes com uma velocidade média de 8m/s. Qual foi a velocidade média nos 100m? 2: Um carro viaja 80km em linha recta. Se nos primeiros 40km a velocidade média é de 80km/h e a viagem demora 1.2 horas, qual foi a velocidade média na segunda parte da viagem? 3: Depois de dirigir um carro numa estrada rectilínea por 8.4km a 70km/h, o carro para por falta de gasolina. Nos 30 minutos seguintes o condutor caminha por mais 2 km ao longo da estrada até chegar ao posto de combustível mais próximo. a) Qual o deslocamento total, desde o inicio da viagem até ao posto de combustível? b) Qual o intervalo de tempo t entre o início da viagem e o instante em que o condutor chega ao posto de combustível? c) Qual a velocidade média total da viagem? Determine a solução numérica e graficamente. 10

11 Cinemática Velocidade Instantânea Quanto menores forem os intervalos de tempo considerados, mais detalhada é a informação sobre a velocidade A velocidade instantânea v indica a velocidade, a direcção e o sentido do movimento de um objecto em cada instante. É igual ao valor limite da velocidade média, quando o intervalo de tempo se torna muito pequeno. s ds v lim v lim t 0 t 0 t dt x 4 x 3 x 2 x 1 0 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t (s) 11

12 Cinemática Aceleração Instantânea e média Aceleração: taxa de mudança da velocidade no intervalo [t 1 ; t 2 ]: a média = v t = v 2 v 1 t 2 t 1 Aceleração instantânea igual ao declive da linha tangente à função v(t) no instante considerado é o valor limite da velocidade média, quando o intervalo de tempo tende para zero. então: a = lim t 0 v t dv d(dx/dt) a = = = dt dt d 2 x dt 2 12

13 Cinemática 13

14 y (m) Cinemática Exemplo: Deixa-se cair uma pedra do cimo de uma torre. Ao longo da parede são colocados vários detectores que permitem registar em que instante a pedra passa por cada detector y = 4.84t t t(s) a) Com os resultados obtidos construiu-se o gráfico da figura. Calcule a velocidade para qualquer instante t. b) Calcule a aceleração instantânea para qualquer instante t. 14

15 Cinemática 15

16 Cinemática de uma partícula: - posição - velocidade - aceleração 16

17 Cinemática a = dv dt Poderemos então escrever que: dv = adt Esta relação pode ser integrada. Para isso é necessário o conhecimento de um valor de velocidade (v 0, por exemplo) para um dado instante t 0. Teremos então: v t dv = adt v 0 0 v v 0 = a t dt 0 v = v 0 + at De forma análoga, a equação do movimento pode ser obtido por integração, uma vez conhecida a lei das velocidades: v = dx dt x t dx = vdt x 0 0 x = x 0 + vt 17

18 Cinemática Equações do movimento com Aceleração Constante 18

19 Exercícios 1 a) Um carro viaja ao longo de uma estrada a uma velocidade de 71km/h. Observando mais à frente um congestionamento, o condutor trava o carro durante 2,3s e reduz a velocidade para 47km/h. Supondo que a aceleração é constante durante esse tempo, calcule o seu valor. b) Se o condutor continua-se a travar até parar o carro, e mantendo a aceleração constante, que distancia percorreria o carro até parar, desde a velocidade de 47km/h. 2 O núcleo de um átomo de hélio passa através de um tubo recto e oco, de 2.0 m de comprimento, que faz parte de um acelerador de partículas. a) Supondo que a aceleração seja constante, quanto tempo leva a partícula a atravessar o tubo, se a sua velocidade à entrada for de 1.0*10 4 m/s e à saída for de 5.0*10 6 m/s b) Qual a aceleração da partícula nesse intervalo? 19

20 Movimento em Queda Livre É um movimento rectilíneo com uma aceleração constante, igual à aceleração da gravidade, g, dirigida de cima para baixo. Seja h a altura da qual a partícula cai, o sentido do movimento é descendente. Escolhamos o eixo Oy com a direcção do movimento. A escolha da origem do eixo e do seu sentido é arbitraria. Admitamos que foram as da figura. Temos assim: a = g Partícula libertada da altura h: t = 0; v 0 = 0 v t dv = gdt v 0 0 v = v 0 gt Conhecendo a velocidade, poderemos obter a equação de movimento: y dy h t = gtdt 0 y h = 1 2 gt2 20

21 Movimentos Curvilíneos no Plano A posição de uma partícula que se move numa trajectória plana fica definida se for conhecido, a cada instante, o seu vector posição: r = r(t) Se o plano XOY é coincidente com p plano do movimento, isto corresponde a conhecer as leis de variação no tempo das suas coordenadas cartesianas, e teremos duas equações de movimento: x = x(t) y = y(t) r = x t i + y(t)j Velocidade média v média = r t 2 r t 1 t 2 t 1 21

22 Movimentos Curvilíneos no Plano Velocidade instantânea: v = lim t 0 r t + t r(t) t = dr dt v = dx dt i + dy dt j Aceleração média: a média = v t 2 v t 1 t 2 t 1 Aceleração instantânea: a = lim t 0 v t + t v(t) t = dv dt a = dv x dt i + dv y dt j = d2 x dt 2 i + d2 y d 2 t j 22

23 Exercício Um coelho atravessa um estacionamento, no qual, por alguma razão, um conjunto de eixos coordenados foi desenhado. As coordenadas da posição do coelho, em metros, em função do tempo t, em segundo, são dadas por: a) No instante t = 15s, qual é o vector posição r do coelho na notação de vectores unitários? b) Qual o valor do ângulo com o eixo Ox? c) Determine a velocidade v do coelho para o instante t = 15s e o modulo do vector. d) Determine a aceleração para o mesmo instante de tempo. 23

24 Movimento de um Projéctil O movimento de um projéctil constitui um bom exemplo de um movimento no plano. Normalmente, é conhecido a sua velocidade inicial (v 0 ) e fazendo um angulo a com a horizontal, para alem da aceleração (g). Temos assim: Integrando: v x v 0 x v y a x = 0 a y = g t dv x = a x dt = 0 0 t dy y = ( g)dt = 0 A partir da figura vemos que as componentes da velocidade inicial são: v ox = v 0 cosα v oy = v 0 senα v 0 y v x = v 0 consα v y = v 0 senα gt 0 24

25 Movimento de um Projéctil Para obter as leis de movimento, volta-se a integrar: Obtendo: Leis do Movimento Resolvendo em ordem a t as equações anteriores, obtém-se a equação cartesiana da trajectória. Equação da parábola 25

26 Movimento de um Projéctil O vértice da parábola é o ponto B, que satisfaz a condição dy dx = 0 (máximo da função). Assim: 26

27 Movimento de um Projéctil Outra forma de chegar a este resultado seria, notando que para t = t B, a componente vertical da velocidade anula-se, isto é: v y = v o senα gt B, obtendo-se o resultado da equação anterior. A altura máxima atingida pelo projéctil, y B, será também neste ponto. Assim, substituindo o tempo na equação de y, obtém-se: h max = y B = v 0 senα(t B ) 1 2 g t B 2 = v 0 senα v 0senα g 1 2 g (v 0) 2 sen 2 α g 2 h max = 1 2 g (v 0) 2 sen 2 α g 2 27

28 Movimento de um Projéctil A distância percorrida na horizontal é x A. Note que para x = x A, temos que y A = 0, isto é: y A = v 0 senα(t A ) 1 2 g t A 2 = 0 em que t A, o tempo em que o projéctil está no ar, é o tempo de voo e é a solução não nula desta equação. Temos então: t A v 0 senα 1 2 g t A 2 = 0 t A = 0 t A = 2v 0senα g Assim: x max = x A = v 0 cosα 2v 0senα g = (v 0) 2 sen(2α) g As grandezas h max, x max, e t A são importantes no estudo de projecteis. Note-se que as equações aqui enunciadas apenas são válidas para as condições iniciais consideradas, isto é, quando temos: x 0 = y 0 = 0. Max. Para = 45º 28

29 Exercícios Um avião de salvamento voa a 198 km/h a uma altitude de 500m, rumo a um ponto directamente acima da vitima de um naufrágio, para deixar cair uma balsa de salvamento. a)qual deve de ser o angulo a da linha de visão do piloto para a vitima no instante em que o piloto deixa cair a balsa? b) No momento que a balsa atinge a água, qual é a sua velocidade v em termos de vectores unitários. c) Calcule o modulo da velocidade. 29

30 Exercícios Um navio pirata encontra-se a 560 m de um forte que protege a entrada de um porto. Um canhão de defesa, situado ao nível do mar, dispara balas com uma velocidade inicial de 82 m/s. a) Calcule o angulo α em relação à horizontal que levam as balas a serem disparadas para acertar no navio? b) Calcule o alcance máximo das balas do canhão? 30

31 Coordenadas intrínsecas As coordenadas cartesianas são um modo útil de estudar movimentos planos, mas fisicamente são pouco informativas no que diz respeito aos vectores velocidade e aceleração. Velocidade média v média = r t Velocidade instantânea v = lim t 0 r t + t r(t) t = dr dt Quando t 0 o modulo do deslocamento tende para S, r S 31

32 Coordenadas intrínsecas Se multiplicarmos e dividirmos S no calculo da velocidade, poderemos escrever: v = v. u T Velocidade instantânea A partir do modulo da velocidade poderemos determinar a lei horaria do movimento: s = s(t) ds = vdt s t ds = vdt s 0 0 s s 0 = vdt t 0 32

33 Coordenadas intrínsecas Aceleração média a média = v t 2 v t 1 t 2 t 1 A aceleração é um vector que tem a direcção e o sentido da concavidade da curva mas que, em geral, não será tangente nem perpendicular à trajectória 33

34 Coordenadas intrínsecas Aceleração instantânea: a = dv dt a = d(vu T) dt = dv dt u T + v du T dt u T = u T (t) No sistema de eixos considerado poderemos escrever directamente: u T = cos i + sen( )j u N = cos + π 2 i + sen + π 2 j = sen( )i + cos( )j Assim, e uma vez que o angulo varia de ponto para ponto, poderemos escrever: du T dt = sen d dt d i + cos dt j = sen( )i + cos( )j d dt 34

35 Coordenadas intrínsecas Isto é: du T dt = d dt u N Se R for o raio da curvatura da trajectória em A, sabemos que ds = Rd, e poderemos então escrever: d dt = d ds ds dt = 1 R v Desta forma, obtemos a aceleração: a = dv dt u T + v2 R u N = a T + a N Vemos assim que a aceleração se pode decompor em duas componentes, que têm um significado físico imediato: A componente tangencial, a T = dv dt, que está relacionado com a direcção do modulo de velocidade A componente normal, a T = v2 R, está relacionada com a variação do vector velocidade. 35

36 Coordenadas intrínsecas A classificação dos movimentos curvilíneos quanto à sua aceleração faz-se em termos da variação da grandeza velocidade e portanto, à custa de v e de a T = dv dt. Analogamente ao movimento rectilíneo temos: va T = v dv dt > 0 Movimento Acelerado va T = v dv dt = 0 va T = v dv dt < 0 Movimento Uniforme Movimento retardado Se a T = dv dt = const, o movimento denomina-se de uniformemente variado 36

37 Movimento circular Um caso típico para este tipo de coordenadas é o movimento circular. O estudo do movimento circular torna-se mais simples se tomarmos como origem do sistema de eixos o centro da circunferência. O arco s, percorrido pelo objecto, está relacionado com o angulo θ por: s = Rθ Assim, a velocidade é: v = vu T = ds dt u T = R dθ dt u T Uma vez que neste caso o raio, R, é constante: ω = dθ dt Também designada por velocidade angular; é igual à taxa de variação do ângulo. Assim: v = vu T = ωru T v = ωr 37

38 Movimento circular Por vezes, é necessário definir um vector velocidade angular, ω, como sendo um vector com a direcção do eixo de rotação, a grandeza dθ dt possui o sentido que verifique: v = ω R Olhando para a figura, observamos neste caso, que o vector posição pode ser descrito na forma genérica por: r = R cos θ i + sen θ + zk Neste caso, as duas componentes da aceleração são dadas por: a T = dv dt = R dω dt a N = v2 R = R2 ω 2 R = Rω2 38

39 Movimento circular A quantidade α = dω dt designa-se por aceleração angular do objecto. Então, a aceleração total é: a = αru T + Rω 2 u N 39

40 Movimento circular Uniforme Se o movimento se faz com velocidade angular constante (ω = dθ dt = const), diz-se então que o movimento é uniforme. Neste caso, o intervalo de tempo necessário para o objecto efectuar uma volta completa designa-se por período do movimento, T, e corresponde a uma rotação de θ = 2π radianos (rad). A sua relação com ω é: ω = dθ dt θ θ+2π dθ = t+t ωdt t ω = 2π T Período do movimento Frequência do movimento T = 1 f ω = 2πf 40

41 Movimento circular Uniforme A variação temporal do ângulo é: θ ω t = dθ dt dθ = ωdt dθ = ωdt θ θ 0 = ωdt θ 0 t t 0 t t 0 Finalmente: θ = θ 0 + ω(t t 0 ) 41

42 Movimento circular Uniforme Em coordenadas cartesianas, a posição do objecto é dada por: x t = Rcos(θ 0 + ωt) y t = Rsen(θ 0 + ωt) v v a = v2 R ou a = ω 2 R Movimento radial e aponta para o centro da trajectória 42

43 Movimento circular Não Uniforme Existe aceleração angular (α) Caso geral, α é diferente de zero e variável no tempo: α(t) = dω dt ω ω 0 = t αdt t 0 ω(t) = dθ dt θ θ 0 = t ωdt t 0 Se α é constante: ω = ω 0 + αt θ = θ 0 + ω 0 t αt2 43

44 Movimento circular Não Uniforme Componentes normal e tangencial da aceleração a N = v2 R a T = dv dt = R dω dt ou a T = R dθ2 dt 2 a = a N + a T a = v2 R u N + R dθ2 dt 2 u T 44

45 Exercícios 1) Um corpo parte do repouso e desloca-se sobre um plano horizontal com trajectória circular de 5,0 metros de raio com aceleração angular constante. Em 10 segundos o ponto material percorreu 100 metros. a) Calcule a velocidade angular do corpo. b) Calcule a variação temporal do ângulo c) Calcule a aceleração angular do corpo. 45

46 Movimento Relativo Sistemas de Referência Problema O homem que está por baixo da arvore e o condutor do carro, que se move com velocidade constante v, observam uma bola vermelha. O movimento da bola, descrito pelos dois observadores é diferente. Como poderemos comparar as duas observações? Árvore = Sistema S Carro = Sistema S Bola = Objecto 46

47 Movimento Relativo Sistemas de Referência Velocidade Relativa Um observador no ponto O (Terra) vê: (v avião ) ref.terra = v OA (v barco ) ref.terra = v OB Um observador no Barco vê o Avião a mover-se com uma velocidade : v AB v BO Temos assim, relativamente a O: v OA = dr A dt = v A v OB = dr B dt = v B 47

48 Movimento Relativo Sistemas de Referência De igual forma, poderemos definir as velocidades relativas: v AB = dr AB dt Velocidade de A relativamente a B v BA = dr BA dt Velocidade de B relativamente a A Então: r BA = r B r A r AB = r A r B Portanto: r AB = r BA v AB = v BA derivando: 48

49 Movimento Relativo Sistemas de Referência 49

50 Movimento Relativo Sistemas de Referência 50

51 Movimento Relativo Sistemas de Referência 51

52 Movimento Relativo Sistemas de Referência 52

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