Aula 07. ASSUNTOS: Gravitação; Movimento em um campo gravitacional uniforme; Movimento periódico; MHS; Sistema massa mola

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1 ASSUNTOS: Graitação; Moimento em um campo graitacional uniforme; Moimento periódico; MHS; Sistema massa mola 1. (UFC 7) Uma partícula de massa m moe-se sobre o eio, de modo que as equações horárias para sua elocidade e sua aceleração são, respectiamente, ν(t) ωasen(ωt + ϕ) e a(t) ω Acos(ωt + ϕ), com ω, A e ϕ constantes. a) Determine a força resultante em função do tempo, F(t), que atua na partícula. b) Considere que a força resultante também pode ser escrita como F(t) k(t), onde k m ω. Determine a equação horária para a posição da partícula, (t), ao longo do eio. c) Sabendo que a posição e a elocidade da partícula no instante inicial t são () e ν() ν, respectiamente, determine as constantes A e ϕ. 1 1 d) Usando as epressões para as energias cinética, E(t) c m ν (t), e potencial, E p(t) k (t), mostre que a energia mecânica da partícula é constante. a) ela ª Lei de Newton F(t) m. a(t). Como a(t) ω A.cos(ωt + ϕ), tem-se: F(t) mω Acos(ωt + ϕ) (I) b) Se F(t) K(t), onde K mω F(t) mω (t) (II) Igualando-se (I) e (II), tem-se: mω (t) mω Acos(ωt + ϕ) (t) Acos(ωt + ϕ) c) Em t Acosϕ cosϕ A e t ωasenϕ senϕ ωa cos ϕ + sen ϕ A + ω A ω A A ω d) Ec(t) senϕ cos ϕ ωa A tgϕ ϕ arctg ω ω 1 1 m (t) Ec(t) mω A sen ( ω t +ϕ) 1 Ec(t) KA sen ( ω t +ϕ ) 1 1 Ep(t) K (t) Ep(t) KA cos ( ω t +ϕ ) 1 1 Em Ec + Ep Em KA s en ( ω t +ϕ ) + cos ( ω t +ϕ) Em KA Como K e A são constantes, então, Em constante. (UFR 7) A figura abaio ilustra um jogador de basquete no momento em que ele faz um arremesso bem sucedido. A bola, ao ser arremessada, está a uma distância horizontal de 6,m da cesta e a uma altura de,m em relação ao piso. Ela sai das mãos do jogador com uma elocidade de módulo 6 m/s fazendo um ângulo de 45 o com a horizontal. A cesta está fiada a uma altura de 3,m em relação ao piso. Desprezando a resistência do ar, determine:

2 a) a altura máima atingida pela bola em relação ao piso. b) o interalo de tempo entre o instante em que a bola sai da mão do jogador e o instante em que ela atinge a cesta. a) Orientando o eio y erticalmente com sentido positio para cima e com origem no piso, podemos escreer e ν ν y sen45 6 6m / s ν y 6 1t Sabendo que no ponto mais alto da trajetória y e usando as equações acima, mostra-se que o tempo que a bola lea para atingir o ponto mais alto de sua trajetória ale 3 t,6s 5 Utilizando este resultado na equação de posição do MRUV, y + 6t 5 + y + 6,6 5 (,6) obtém-se, para a altura máima atingida pela bola, o alor y ma 3,8m b) o interalo de tempo entre o instante em que a bola sai da mão do jogador e o instante em que ela atinge a cesta. Agora, notando que ν ν cos m / s odemos escreer 6t 6 6t t 1,s Usando então 6m, mostra-se que o tempo de ôo da bola até a cesta ale t 1,s. 3. (FUVEST 7) Recentemente lutão foi "rebaiado", perdendo sua classificação como planeta. ara aaliar os efeitos da graidade em lutão, considere suas características físicas, comparadas com as da Terra, que estão apresentadas, com alores aproimados, no quadro a seguir. MT 5 Massa de lutão (M ) Massa da Terra ( ) l Raio da Terra ( ) T R 5 Raio de lutão (R ) a) Determine o peso, na superfície de lutão ( ), de uma massa que na superfície da Terra pesa 4N( T 4N). b) Estime a altura máima H, em metros, que uma bola, lançada erticalmente com elocidade V, atingiria em lutão. Na Terra, essa mesma bola, lançada com a mesma elocidade, atinge uma altura h T 1,5m.

3 Note e adote: GMm F R eso mg a) eso do corpo na superfície da Terra e na superfície de lutão: GM T.m GM.m T RT R T T R T T R GM m R M 5 1 GM m 5M 4 b) Se o T T T mg mg g g No lançamento ertical, a energia mecânica se consera. m Na Terra ν mg ThT ht g Em lutão mg h h m ν g ν Assim h h T ht h ht g h 1,5 h 3m T N 4. (CEFET CE 7) Um bloco de massa M 64,g, preso a uma mola de constante elástica k 4N/m, realiza Moimento Harmônico Simples no eio horizontal com amplitude A 18,cm. No instante em que o bloco passa pela posição de equilíbrio, um pedaço de massa de idraceiro de 17,g cai erticalmente de uma pequena altura e gruda no bloco. Determine. a) A razão entre os alores das elocidades máimas antes e depois da colisão. b) A noa amplitude do moimento. a) Durante a colisão, a quantidade de moimento do sistema não aria, logo, temos que M 1 (m + M) onde M 1 (m+ M) substituindo os alores, teremos b) A noa amplitude do moimento. No instante em que a massa m cai sobre o bloco e imediatamente após, a energia mecânica do sistema está em forma de energia cinética. Sejam A 1 e 1, respectiamente, a amplitude e a elocidade do moimento antes da massa m grudar no bloco e, A e, respectiamente, a amplitude e a elocidade desse moimento, após. odemos escreer que: 1 1 KA1 M1 (equação 1) 1 1 e KA (M + m) (equação ) A Diidindo a equação pela equação 1, encontramos M A 1 m+ M 1 A Ou ainda M A 1 m+ M A 64 A A 8 A 16cm

4 5. (UC RJ 7) Uma bola de tênis, de massa igual a 1g, é lançada para baio, de uma altura h, medida a partir do chão, com uma elocidade inicial de 1m/s. Considera g 1m/s e sabendo que a elocidade com que ela bate no chão é de 15m/s, calcule: a) o tempo que a bola lea para atingir o solo; b) a energia cinética da bola ao atingir o solo; c) a altura inicial do lançamento h. a) Orientando a trajetória para baio V V + at t t,5s b) A energia cinética da bola ao atingir o solo: m,1(15) Ec Ec Ec 11, 3J c) Altura inicial do lançamento (h) V V + a S (15) (1) + 1 h h 6,5m 6. ( UNICAM 7) Em agosto de 6, lutão foi reclassificado pela União Astronômica Internacional, passando a ser considerado um planeta-anão. A terceira Lei de Kepler diz que T Ka 3, onde T é o tempo para um planeta completar uma olta em torno do Sol, e a é a média entre a maior e a menor distância do planeta ao Sol. No caso da Terra, essa média é a T 1, m, enquanto que para lutão a m. A constante K é a mesma para todos os objetos em órbita em torno do Sol. A elocidade da luz no ácuo é igual a 3, 1 8 m/s. Dado: 1 3, a) Considerando-se as distâncias médias, quanto tempo lea a luz do Sol para atingir a Terra? E para atingir lutão? b) Quantos anos terrestres lutão lea para dar uma olta em torno do Sol? Epresse o resultado de forma aproimada como um número inteiro. a) Como a elocidade de propagação da luz no ácuo é constante: s s t t Cálculo dos tempos que a luz do sol lea para atingir a Terra e lutão ara a distância Sol-Terra: 11 1, 5.1 ts T t 8 S T 5s 3.1 ara a distância Sol-lutão: ts t 8 S.s 3.1 b) Como lutão e a Terra estão em órbita em torno do Sol: K LUTÃO K TERRA (constante de Kepler) Utilizando-se a terceira Lei de Kepler: lutão Terra lutão lutão Terra T T T 1 a a (6.1 ) (1,5. 1 ) T lutão 11 1, Tlutão Tlutão 56 anos 3 4

5 7. (UFU 7) Na figura abaio, o objeto 1 parte da origem do sistema de coordenadas com elocidade r 1 na direção e, no mesmo instante, o objeto parte do repouso da posição d, realizando um moimento de queda lire. Ambos estão sob a ação da aceleração da graidade, cujo módulo é g. Desprezando a resistência do ar, determine as coordenadas e y da posição (em função de d, 1 e g) onde os objetos 1 e encontrar-se-ão. ara o objeto (1) encontrar o objeto () terá que percorrer um espaço na horizontal. O instante do encontro será: d 1.t t t d y gt y g 1 No ponto de encontro as coordenadas são: d gd y 1 8. (UNIFA 6) Um artefato eperimental foi montado para obserar alguns fenômenos físicos presentes nas armas de guerra. O artefato, ilustrado na figura abaio, é constituído por um canhão rigidamente fiado sobre uma plataforma, cuja base de opoio é paralela ao solo, e assentada sobre rodas, podendo moer-se liremente sobre um terreno plano e horizontal. A massa do conjunto canhão-plataforma é kg e a bala do canhão tem massa 3kg. A bala é disparada de forma inclinada, conforme a figura, e abandona o canhão com elocidade de módulo b m/s, em relação ao solo, de uma altura h 3m. (Despreze as resistências por atrito). a) Calcule a altura máima (em metros) atingida pela bala, em relação ao solo. b) Calcule a intensidade da elocidade r (em m/s) do moimento de recuo do sistema canhão-plataforma, em relação ao solo. 5

6 a) No ponto de altura máima Vy 1 Vy ( V b.senα) g Sy 1 Sy Sy 5m Em relação ao solo, a altura máima (Hm) será: Hm Sy + h Hm Hm 53m b) O sistema canhão-plataforma-bala é ISOLADO e portanto a quantidade de moimento na horizontal se consera. QANTES QDEOIS m b.v b.cos3 M.Vr 3 3 V 3 3 r Vr m/s Cida/Re.:Mar 6