1ªAula do cap. 04. Movimento em 2 Dimensões 2-D

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Raphael Bicalho Lisboa
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1 1ªAula do cap. 4 Moimento em Dimensões -D Introdução ao moimento em -D. Vetor Posição e Deslocamento, Velocidade e aceleração, Princípio da Independência dos Moimentos, Moimento em -D Lançamento Horizontal, Lançamento Oblíquo Equações para (t) e (t). Referência: Hallida, Daid; Resnick, Robert & Walker, Jearl. Fundamentos de Física, Vol 1. Cap. 4 da 6 a ou 7 a. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1996.

2 Posição e deslocamento Trajetória é o caminho percorrido por um móel. Trajetória é o conjunto das posições ocupadas pelo móel. r p etor posição Deslocamento Δr r Q r P Note que Δr não depende da origem O etor posição em -D fica dado por r(t) (t)i (t)j

3 Posição e deslocamento O etor posição em D fica dado por r(t) (t)i (t)j No caso espacial 3-D temos: Deslocamento 3D r(t) (t)i (t)j z(t)k

4 Lançamento Horizontal Lançamento Horizontal Aceleração a constante, Plano formado pela elocidade inicial e pelo etor aceleração, Moimento fora do plano não é possíel, Dois problemas unidimensionais independentes.

5 Lançamento Horizontal O móel que é lançado horizontalmente percorre uma trajetória parabólica, que pode ser construída utilizando-se a composição de dois moimentos independentes em e. Tempo de queda depende da altura de queda.

6 Lançamento Horizontal A coordenada é independente da elocidade, Queda lire Isto é ilustrado na figura onde duas bolas são jogadas sob ação da graidade. A ermelha é solta e a amarela tem elocidade inicial. Sem graidade Em cada instante elas tem a mesma altura!!

7 Lançamento Horizontal Bola sai do penhasco com 1 m/s na horizontal e componente componente de r componente de r 1 t gt gt t

8 Lançamento Horizontal, e A elocidade é 1 m/s (9.8 m/s ) t A posição é (t) (1 m/s) t (t) (4.9 m/s ) t

9 A elocidade é 1 m/s (9.8 m/s ) t A posição é Lançamento Horizontal Bola sai do penhasco com 1 m/s na horizontal e componente, e (t) (1 m/s) t (t) (4.9 m/s ) t

10 Como aria o ângulo dos etores r e? etor r: tan θ / (.49 s -1 )t etor : Lançamento Horizontal Vetores r, e a para t 1s e t s. Enquanto a g é constante r e ariam com o tempo. tan θ / (.98 s -1 )t

11 Alcance - Eemplo Bola sobre a mesa e cai de altura H 8 cm com elocidade inicial.1 m/s. Qual a distância D onde ela atinge o piso? A altura H é dada por H 1 gt, t H H H g A el. horizontal se mantém constante D H g.8m D.1m / s 9.8m / s 85cm

12 Resumo Nesse caso a g. Na direção é constante MRU! componente de r componente de (constante) componente de r componente de t t gt 1 gt em t r i i j j

13 Moimento de Projéteis Cap. 4 Lançamento Oblíquo. Moimento de um projétil sob ação da graidade, Eemplo de lançamento oblíquo, Altura máima e alcance. Moimento em -D Equações independentes para (t) e (t). Eemplo de moimento em -D com aceleração em e. Referência: Hallida, Daid; Resnick, Robert & Walker, Jearl. Fundamentos de Física, Vol 1. Cap. 4 da 6 a ou 7 a. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1996.

14 Lançamento Oblíquo É o estudo do moimento de corpos, lançados com elocidade inicial e direção α com o eio na superfície da Terra. Na figura a seguir emos um eemplo típico de lançamento oblíquo realizado por um jogador de golfe. α Aplicando o princípio da simultaneidade e independência dos moimentos de Galileu. A projeção do moimento no eio e resulta em dois moimentos: - No eio a projeção da bola eecuta um moimento de aceleração constante e de módulo igual a g. Trata-se de um M.R.U.V. (lançamento ertical). Este moimento pode ser analisado na subida e/ou na descida. - Em relação a horizontal, a projeção da bola eecuta um M.R.U.

15 Lançamento Oblíquo Eemplo: Um projétil é disparado por um canhão sobre o solo de um campo horizontal com uma elocidade de módulo igual a 88km/h. Sabendo-se é o etor elocidade inicial forma com o solo um ângulo de 6º. Desprezando a resistência do ar, determine: a) o tempo gasto pelo projétil para atingir a altura máima; b) o tempo gasto pelo projétil para retornar ao solo; c) o alcance do projétil; d) a altura máima atingida pelo projétil; e) qual o módulo da elocidade do projétil s após o disparo. Neste eemplo adote g 9,8 ms -

16 Lançamento Oblíquo Sabendo-se 88km/h e que o ângulo α 6º. a) o tempo gasto pelo projétil para atingir a altura máima; b) o tempo para o projétil retornar ao solo. gt 69,8-9,8t 69,8 9,8t 69,8/ 9,8 t t s 7, s para subir sen 6º 8m/s.,866 69,8 m/s gt b) Tempo total 14 s

17 Lançamento Oblíquo Sabendo-se 88km/h e que o ângulo α 6º. Tempo total 14 s c) o alcance do projétil; (t).t e constante (14s) 4m/s.t (14s) 4m/s.14s (14s) 56m

18 Lançamento Oblíquo Sabendo-se 88km/h e que o ângulo α 6º. d) a altura máima atingida pelo projétil; e constante e 69,8m/s na altura máima (t).t ½ g.t h má 44,88 m Δ ou g.δ 69,8 (-9,8).Δ 4799,71 (-9,8).Δ -4799,71 (-9,8).Δ

19 Lançamento Oblíquo Sabendo-se 88km/h e que o ângulo α 6º. e) qual o módulo da elocidade do projétil s após o disparo. e 4 m/s (s) i j e 69,8m/s na h má.g.t 69,8-9,8(s) 49,68 m/s (s) 4m/s i 49,68m/s j (s) (4) (49,68) (s) 63,78 m/s 51,16º

20 Moimento em D O etor posição em -D fica dado por r(t) (t)i (t)j Funções de moimento independente para (t) e (t) (t) pista (t)

21 c 1. m/s d 1-1. m/s c 5. m/s c 3.5 m Moimento em D Eemplo: Um ponto no carrinho tem equações: (t) c 1 t c t c 3 e (t) d 1 t d t d 3 d 1. m/s d 3. m (t),5 5 t, t e (t) 1 t - 1, t

22 Eemplo: Moimento em D (t),5 5 t, t (t) 1 t - 1, t em t 3 s, (3) 17 m e (3) 3 m em t 6 s, (6) 38 m e (6) 6 m r(3) (17i 3j) m r(6) (38i 6j) m Deslocamento: Δr r(6) r(3) (1i 3j) m e (t) (t) () (t) (t)

23 Moimento em D Similar ao caso de 1-D, a elocidade média med r(t Δ) r(t) Δt lim Δt Δt Δr Δt a elocidade instantânea r(t Δ) r(t) dr em termos de componentes d r(t) d d i j ou Velocidade Instantânea i j

24 Moimento em D Velocidade instantânea em termos de componentes V V d(t) d(t) d d ( c t c t c ) 1 3 c t c ( d1t d3 ) d1t d 1 Velocidade Instantânea em t 3 s d d ( s )( 3s). m 5. m s 6. m s ( 1. m s )( 3s) 1. m s 4. m s (3s) i j ( 6, i 4, j) m s (3s) (6,) (4,) Direção de (3s) 3,8º (3s) 7,37 m/s

25 Aceleração Instantânea Similar ao caso de 1-D, a aceleração média a med (t Δ) Δt (t) Δ Δt A aceleração instantânea a lim Δt (t Δ) Δt d d a (t) r(t) d em termos de componentes d ( t) d a i ou a a i a j d j

26 Aceleração Instantânea O etor aceleração d d d d ( c t c ) 1 ( d ) 1t d d1 c 1 magnitude a a 4. m a s a.m s Note que a aceleração é constante a a c 1 i d (,4i,j) m s 1 j tan θ a /a 5, θ -79 o Ângulo de a com

27 t a t a 1 t t a t a 1 t componente de r componente de r componente de componente de j i j i r em t Moimento em D r(t) (,5 5 t, t )i ( 1 t - 1, t )j

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