SUMÁRIO FÍSICA MOVIMENTOS BIDIRECIONAIS 3 1. LANÇAMENTO HORIZONTAL 3 2. LANÇAMENTO OBLÍQUO 5 EXERCÍCIOS DE COMBATE 8 GABARITO 16

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2 SUMÁRIO MOVIMENTOS BIDIRECIONAIS 3 1. LANÇAMENTO HORIZONTAL 3. LANÇAMENTO OBLÍQUO 5 EXERCÍCIOS DE COMBATE 8 GABARITO 16

3 MOVIMENTOS BIDIRECIONAIS Nesse capítulo iremos estudar alguns movimentos bidirecionais: lançamento horizontal, lançamento oblíquo. Mais tarde estudaremos os movimentos circulares, encerrando os nossos estudos de movimentos bidirecionais. 1. LANÇAMENTO HORIZONTAL No 1º módulo abordamos a importância do referencial para estudarmos o movimento de um móvel. No exemplo da caixa que cai do avião, para um observador em repouso em relação ao solo, a caixa sofreu um lançamento horizontal. Qual a velocidade com que a caixa foi lançada? Para o nosso observador fixo no solo, a velocidade inicial da caixa é igual a do avião. Devido à gravidade, a caixa adquire velocidade na direção vertical, que aumenta linearmente com o tempo. Vamos analisar cada direção separadamente. HORIZONTAL: Não há aceleração nessa direção. Significa que a velocidade nessa direção é constante (M.U.). Sendo assim: S v t VERTICAL: Nessa direção ocorre a mesma situação de uma queda-livre. Então: t h g O tempo de queda é o mesmo 1 para qualquer referencial, seja o piloto ou o observador no solo. O deslocamento horizontal total do móvel chama-se alcance. 1 Para partículas em movimentos relativísticos (altas velocidades, comparáveis com a da luz) o tempo depende do referencial. Mas não estudaremos esses movimentos em nosso curso. 3

4 EXEMPLO: Um objeto está deslizando em uma mesa horizontal perfeitamente lisa, de altura 1,0 m, em relação ao solo, com uma velocidade de 0 cm/s. a) Qual o tempo que levará para tocar no solo? b) Qual o seu alcance? c) Qual será a sua velocidade final (no momento em que tocar no solo)? RESOLUÇÃO: a) b) h.1 5 t s g 10 5 S 5 5 v S 0,. m t 5 5 Como se trata de um movimento bidirecional, vamos fazer cada componente da velocidade e depois vamos achar a velocidade resultante. v horizontal vertical 0 0, m / s v v at Note que na vertical a velocidade inicial é zero. O objeto foi lançado na horizontal. Então: 5 vvertical 10 5 m / s 5 4

5 Analisando a figura acima, podemos concluir que o módulo da resultante vale: v 0, 5 0,04 0 0,04 v 5,01 m/ s Nesse caso a contribuição da velocidade horizontal foi praticamente nula, por ser bem menor que a velocidade final na vertical.. LANÇAMENTO OBLÍQUO Nesse movimento o projétil é lançado com um ângulo em relação ao solo. Vamos decompor o movimento. HORIZONTAL: Não há aceleração nessa direção. Significa que a velocidade nessa direção é constante (M.U.). Sendo assim: v horizontal 0 S A v cos t t total Nosso deslocamento total será o alcance (A). 5

6 VERTICAL: Nessa direção teremos as mesmas equações do lançamento vertical, sendo que a componente vertical da velocidade será: v v sen v t v sen gt 0vertical 0 vertical 0 e gt h v0sen.t Pensando na descida, temos: v sen g t 0 Onde ttotal v0sen t ttotal g Substituindo da componente horizontal: v0cosθv0senθ v0 senθ A A g g Para altura máxima, vamos recuperar a equação do capítulo 4, apenas ajustando a componente vertical: h v 0senθ g Temos, portanto, as equações do alcance e da altura máxima do projétil. 6

7 EXEMPLO: Um projétil é lançado obliquamente de um canhão com um ângulo de 30 em relação à horizontal, com uma velocidade de 100 m/s. a) Qual será o seu alcance? b) Qual o tempo total de movimento? c) Qual a sua altura máxima? RESOLUÇÃO: a) v0 senθ 100.sen60 A 500 3m g 10 v0senθ.100.sen30 b) ttotal 10s g 10 c) h v senθ 100.sen30 0 g.10 15m Como teremos um alcance máximo do projétil quando o seno for máximo, ou seja, 7

8 1. (UESC 011) Galileu, ao estudar problemas relativos a um movimento composto, propôs o princípio da independência dos movimentos simultâneos um móvel que descreve um movimento composto, cada um dos movimentos componentes se realiza como se os demais não existissem e no mesmo intervalo de tempo. Assim, considere um corpo lançado obliquamente a partir do solo sob ângulo de tiro de 45 e com velocidade de módulo igual a 10,0m/s. Desprezando-se a resistência do ar, admitindo-se que o módulo da aceleração da gravidade local é igual a 10m/ s e sabendo-se que cos45 e sen45 a) O alcance do lançamento é igual a 5,0m., é correto afirmar: b) O tempo total do movimento é igual a s. c) A altura máxima atingida pelo corpo é igual a 10,0m. d) O corpo atinge a altura máxima com velocidade nula. e) A velocidade escalar mínima do movimento ι igual a 10,0m/s.. (UFOP 010) Uma pessoa lança uma pedra do alto de um edifício com velocidade inicial de 60 m/s e formando um ângulo de 30 com a horizontal, como mostrado na figura abaixo. Se a altura do edifício é 80 m, qual será o alcance máximo (x f ) da pedra, isto é, em que posição horizontal ela atingirá o solo? (dados: sen 30 = 0,5, cos 30 = 0,8 e g = 10 m/s ). a) 153 m b) 96 m c) 450 m d) 384 m 8

9 3. (PUCRJ 010) Um superatleta de salto em distância realiza o seu salto procurando atingir o maior alcance possível. Se ele se lança ao ar com uma velocidade cujo módulo é 10 m/s, e fazendo um ângulo de 45 o em relação a horizontal, é correto afirmar que o alcance atingido pelo atleta no salto é de: (Considere g = 10 m/s ) a) m. b) 4 m. c) 6 m. d) 8 m. e) 10 m. 4. (PUCSP 008) Em um experimento escolar, um aluno deseja saber o valor da velocidade com que uma esfera é lançada horizontalmente, a partir de uma mesa. Para isso, mediu a altura da mesa e o alcance horizontal atingido pela esfera, encontrando os valores mostrados na figura. A partir dessas informações e desprezando as influências do ar, o aluno concluiu corretamente que a velocidade de lançamento da esfera, em m/s, era de a) 3,1 b) 3,5 c) 5,0 d) 7,0 e) 9,0 9

10 5. (G1 - CFTCE 007) Duas pedras são lançadas do mesmo ponto no solo no mesmo sentido. A primeira tem velocidade inicial de módulo 0 m/s e forma um ângulo de 60 com a horizontal, enquanto, para a outra pedra, este ângulo é de 30. O módulo da velocidade inicial da segunda pedra, de modo que ambas tenham o mesmo alcance, é: DESPREZE A RESISTÊNCIA DO AR. a) 10 m/s b) 10 3 m/s c) 15 m/s d) 0 m/s e) 0 3 m/s 6. (EsPCEx (Aman) 014) Uma esfera é lançada com velocidade horizontal constante de módulo v=5 m/sda borda de uma mesa horizontal. Ela atinge o solo num ponto situado a 5 m do pé da mesa conforme o desenho abaixo. Desprezando a resistência do ar, o módulo da velocidade com que a esfera atinge o solo é de: Dado: Aceleração da gravidade: g=10 m/s a) 4m/ s b) 5m/ s c) 5 m/ s d) 6 m/ s e) 5 5 m/ s 10

11 7. (UFRJ 003) Duas mesas de 0,80 m de altura estão apoiadas sobre um piso horizontal, como mostra a figura a seguir. Duas pequenas esferas iniciam o seu movimento simultaneamente do topo da mesa: 1) a primeira, da mesa esquerda, é lançada com velocidade V 0 na direção horizontal, apontando para a outra esfera, com módulo igual a 4m/s; ) a segunda, da mesa da direita, cai em queda livre. Sabendo que elas se chocam no momento em que tocam o chão, determine: a) o tempo de queda das esferas; b) a distância x horizontal entre os pontos iniciais do movimento. 8. Uma bola de basquete descreve a trajetória mostrada na figura após ser arremessada por um jovem atleta que tenta bater um recorde de arremesso. A bola é lançada com uma velocidade de 10 m/s e, ao cair na cesta, sua componente horizontal vale 6,0 m/s. Despreze a resistência do ar e considere g = 10 m/s. Pode-se afirmar que a distância horizontal (x) percorrida pela bola desde o lançamento até cair na cesta, em metros, vale a) 3,0 b) 3,6 c) 4,8 d) 6,0 11

12 9. (Esc. Naval 013) Os gráficos abaixo foram obtidos da trajetória de um projétil, sendo y a distância vertical e x a distância horizontal percorrida pelo projétil. A componente vertical da velocidade, em m/s, do projétil no instante inicial vale: Dado: g 10 m s a) zero b) 5,0 c) 10 d) 17 e) (PUCSP 01) Dois amigos, Berstáquio e Protásio, distam de 5,5 m. Berstáquio lança obliquamente uma bola para Protásio que, partindo do repouso, desloca-se ao encontro da bola para segurá-la. No instante do lançamento, a direção da bola lançada por Berstáquio formava um ângulo com a horizontal, o que permitiu que ela alcançasse, em relação ao ponto de lançamento, a altura máxima de 11,5 m e uma velocidade de 8 m/s nessa posição. Desprezando o atrito da bola com o ar e adotando g = 10m/s, podemos afirmar que a aceleração de Protásio, suposta constante, para que ele consiga pegar a bola no mesmo nível do lançamento deve ser de 1

13 a) b) c) d) e) 1 m/s 1 3 m/s 1 4 m/s 1 5 m/s 1 10 m/s 11. (UCS 01) Uma noiva, após a celebração do casamento, tinha de jogar o buquê para as convidadas. Como havia muitas ex-namoradas do noivo, ela fazia questão de que sua melhor amiga o pegasse. Antes de se virar para, de costas, fazer o arremesso do buquê, a noiva, que possuía conhecimento sobre movimento balístico, calculou a que distância aproximada a amiga estava dela: 5,7m. Então ela jogou o buquê, tomando o cuidado para que a direção de lançamento fizesse um ângulo de 60 com a horizontal. Se o tempo que o buquê levou para atingir a altura máxima foi de 0,7 s, qual o valor aproximado da velocidade dele ao sair da mão da noiva? (Despreze o atrito com o ar. Considere a aceleração da gravidade igual a e sen60 0,87.) a) 1,5m s b) 5,5m s c) 6,0m s d) 8,0m s e) 11,0 m s 10 m s, cos60 0,5 1. (UNICAMP simulado 011) Considere uma situação em que o dono de um cão lança um graveto e, no mesmo instante, o cão que está ao seu lado parte para apanhá-lo. O cão alcança o graveto 10 s após o lançamento e a velocidade média do cão desde a posição de partida até alcançar o graveto é de 5,0 m/s. Sabendo que o graveto atinge o repouso 4,0 s após o lançamento, a velocidade média horizontal do graveto do lançamento até alcançar o repouso é de a),0 m/s. b) 5,5 m/s. c) 1,5 m/s. d) 0,0 m/s. 13

14 13. (UFF 011) Após um ataque frustrado do time adversário, o goleiro se prepara para lançar a bola e armar um contra-ataque. Para dificultar a recuperação da defesa adversária, a bola deve chegar aos pés de um atacante no menor tempo possível. O goleiro vai chutar a bola, imprimindo sempre a mesma velocidade, e deve controlar apenas o ângulo de lançamento. A figura mostra as duas trajetórias possíveis da bola num certo momento da partida. Assinale a alternativa que expressa se é possível ou não determinar qual destes dois jogadores receberia a bola no menor tempo. Despreze o efeito da resistência do ar. a) Sim, é possível, e o jogador mais próximo receberia a bola no menor tempo. b) Sim, é possível, e o jogador mais distante receberia a bola no menor tempo. c) Os dois jogadores receberiam a bola em tempos iguais. d) Não, pois é necessário conhecer os valores da velocidade inicial e dos ângulos de lançamento. e) Não, pois é necessário conhecer o valor da velocidade inicial. 14. (PUCCAMP 010) Do alto de uma montanha em Marte, na altura de 740 m em relação ao solo horizontal, é atirada horizontalmente uma pequena esfera de aço com velocidade de 30 m/s. Na superfície deste planeta a aceleração gravitacional é de 3,7 m/s. A partir da vertical do ponto de lançamento, a esfera toca o solo numa distância de, em metros, a) 100 b) 00 c) 300 d) 450 e) (UERJ 009) Em uma região plana, um projétil é lançado do solo para cima, com velocidade de 400 m/s, em uma direção que faz 60 com a horizontal. Calcule a razão entre a distância do ponto de lançamento até o ponto no qual o projétil atinge novamente o solo e a altura máxima por ele alcançada. 14

15 16. (UDESC 009) Em uma partida de basquete, um jogador tem direito a realizar dois lances livres. O centro da cesta está situado a uma distância de 4,0 m da linha de lançamento e a uma altura de 3,0 m do solo, conforme a figura. A bola é lançada sempre a uma altura de,0 m do solo. No primeiro lançamento, a bola é lançada com velocidade de 5,0 m/s, formando um ângulo de 30 com a horizontal, e não atinge a cesta. No segundo lançamento, a bola é lançada com uma velocidade desconhecida, formando um ângulo de 30 com a horizontal, e atinge a cesta. Dados: cos 30 = 0,86; sen 30 = 0,50; tan 30 = 0,57; cos 30 = 0,75. a) Determine o instante em que a altura máxima é atingida pela bola no primeiro lançamento. b) Demonstre que a bola não atinge a cesta no primeiro lançamento. c) Determine a velocidade inicial da bola no segundo lançamento. 15

16 1. d. e 3. d 4. d 5. a) 40 m/s b) 800 m/s 6. e 7. d 8. d 9. e 10. b 11. d 1. c 13. b 14. e / a) 0,5 s b) No primeiro lançamento a bola atinge a altura máxima de y = y 0 + v 0.t + a.t / y = + 5.sen30.0,5 5.(0,5) y = + 0,65-0,315 =,315 m. Esta altura não é suficiente para atingir a altura da cesta. c) Condição para acertar a cesta é a de que para x = 4 m y = 3 m. Pelo movimento na direção horizontal x = x 0 + v.t 4 = 0 + v.cos30.t 4 = 0,86.v.t v.t = 4,651 onde v é a velocidade de lançamento da bola que acerta a cesta e t é o tempo necessário para acertar a cesta. Pelo movimento na direção vertical da bola y = y 0 + v 0.t + a.t / 3 = + v.sen30.t 5.t 1 = 0,5.v.t 5.t. Então 1 = 0,5.4,651 5.t 5.t = 1,355 t = 0,651 t = 0,515 s. Assim v.t = 4,651 v.0,515 = 4,651 v = 4,651/0,515 = 9,03 m/s. 16