MOVIMENTO EM DUAS E TRÊS DIMENSÕES. O que um jogador de beisebol faz para saber onde deve estar para apanhar uma bola? CAPÍTULO 4

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Yago Sampaio Canto
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1 MOVIMENTO EM DUAS E TRÊS DIMENSÕES O que um jogador de beisebol faz para saber onde deve estar para apanhar uma bola? CAPÍTULO 4

2 Posição, velocidade e aceleração: Vetores Posição e velocidade: O vetor posição de uma partícula P é um vetor desenhado da origem de um sistema de coordenadas até a posição da partícula: r r ( 3 m) i (2 m) j (5 m) k

3 Vetor deslocamento ( r ) A variação da posição da partícula no decorrer do tempo é o vetor deslocamento ( r ) r r r 2 1

4 Exemplo 1: 1. O vetor posição de uma partícula é inicialmente r1 ( 3 m) i (2 m) j (5 m) k, e depois passa a ser r2 (9 m) i (2 m) j (8 m) k. Qual é o deslocamento r da partícula.

5 Exemplo 2 2. Um coelho atravessa um estacionamento, no qual, por alguma razão, um conjunto de eixos coordenados havia sido desenhado. As coordenadas da posição do coelho em função do tempo t são dadas por 2 x 0,31t 7, 2t 28 y t t 2 0, 22 9,1 30 Com t em segundos e x e y em metros Em t=15s, qual é o vetor posição do coelho na notação de vetores unitários e na notação de módulo - ângulo? r x( t) i y( t) j

6 Velocidade média ( v ) méd O vetor velocidade média é a razão entre o deslocamento e o intervalo de tempo t t 2 t1 v méd r t

7 Velocidade instantânea (v ) Define-se o vetor velocidade instantânea como o limite do vetor deslocamento quando ( t 0 ) v ou v lim t0 dx dt r t iˆ dy dt ˆj v lim t0 v lim t 0 r t xiˆ yj ˆ t x iˆ v y ˆj dr dt lim t0 x t iˆ lim t0 y t ˆj

8 Exemplo7 7. Para o coelho do exemplo anterior encontre a velocidade vetorial no tempo t = 15s, na notação de vetores unitários e na notação de módulo ângulo. v x dx dt v y dy dt v v i v j x y

9 Aceleração média ( améd ) O vetor aceleração média é a razão entre a variação da velocidade e o intervalo de tempo a méd v t t t 2 t 1 A aceleração instantânea é o limite desta razão quando ( t 0) a v dv t t dt lim 0 a dv dt x iˆ dv dt y ˆj dv dt z k a x iˆ a y ˆj a z kˆ

10 Exemplo8 8. Para o coelho do exemplo anterior encontre a aceleração vetorial no tempo t = 15s, na notação de vetores unitários e na notação de módulo ângulo. a x dv dt x a y dv dt y a a i a j x y

11 Exemplo 9: 9. A posição de uma bola de beisebol é dada por r miˆ m siˆ m sj ˆ t m s ˆjt 2 2 1,5 (12 / 16 / ) 4,9 /. Obtenha sua velocidade e sua aceleração. ˆ 2 ˆ 2 ˆ Re sp.: v (12 m/ s) i [16 m/ s (9,8 m/ s ) t] j; a ( 9,8 m/ s ) j

12 Movimento de Projéteis: O movimento de um projétil é a combinação de dois movimento: movimento uniforme (MU) na horizontal e movimento uniformemente variado (MUV) na vertical. As Equações utilizada para esta situação são as mesmas já utilizadas para estes movimentos separadamente. v v v 0x 0 v 0y 0 cos sen

13 A componente vertical da velocidade do skatista está variando, mas não a horizontal que é igual a do skate.

14 Fotografia estroboscópica de uma bola de tênis amarela quicando em Uma superfície dura. Entre os impactos a trajetória da bola é balística.

15 O fato de uma bola estar em se movendo horizontalmente enquanto está caindo não interfere o seu movimento vertical, ou seja, os movimentos horizontal e vertical são independentes.

16 Análise do movimento de um projétil Movimento Horizontal a x 0 x( t) x v t 0 cos 0 0 0x v v x x x ( v cos ) t 0 0

17 Movimento vertical Na ausência da resistência do ar, a partícula fica sujeita apenas à aceleração de queda livre, verticalmente, para baixo. a y g A componente y da velocidade varia com o tempo devido a aceleração, logo: O deslocamento y será dado por: v v sen gt y 0 1 y() t y0 v0yt gt 2 2

18 Alcance horizontal (R): É a distância total na horizontal percorrida por um projétil. Se as elevações inicial e final forem iguais, pode-se obter o alcance pela expressão: R 2 v 0 sen g 2 O alcance será máximo quando θ=45 0 ; Na altura máxima V y =0 V x é constante em todo o movimento Animação

10. Na figura um avião de salvamento voa a 198km/h, a uma altura de 500m, rumo a um ponto diretamente acima da vítima de um naufrágio, para deixar cair uma balsa.

19 10. Na figura um avião de salvamento voa a 198km/h, a uma altura de 500m, rumo a um ponto diretamente acima da vítima de um naufrágio, para deixar cair uma balsa. a) Qual deve ser o ângulo da linha de visada do piloto para a vítima no instante em que o piloto deixa cair a balsa? b) No momento em que a balsa atinge a água qual a sua velocidade?

20 11. A fig. Mostra um navio pirata a 560m de um forte que protege a entrada de um porto. Um canhão de defesa, situado ao nível do mar, dispara balas com uma velocidade de 82m/s. a) Com que ângulo em relação a horizontal as balas devem ser disparadas para acertar o navio? b) Qual é o alcance máximo das balas de canhão?

21 12. Com que velocidade inicial o jogador d basquete da Fig. Deve arremessar a bola, com um ângulo de 55 0 acima da horizontal, para converter o lance livre? As distancias horizontais são d 1 = 1,0 ft e d 2 = 14 ft e as alturas são h 1 = 7 ft e h 2 = 10 ft.

22 13. Um helicóptero descarrega um pacote de suprimentos para as vítimas de uma inundação que estão sobre uma balsa em uma área alagada. Quando o pacote é lançado, o helicóptero está 100m acima da balsa e voando a 25m/s para cima com um ângulo 0 36,9 em relação a horizontal. (a) Durante quanto tempo o pacote permanece no ar? (b) A que distância da balsa cai o pacote? (c) Se o helicóptero voa com velocidade constante, onde ele estará quando o pacote atingir a água? 1 y( t) y0 v0 yt gt 2 x v t ( v cos ) t 0x 0 y t y v t () 0 0y 2

23 Movimento Circular Uniforme É o movimento circular com velocidade constante. A aceleração centrípeta pode ser calculada pela relação: a a c v r 2

24 Para uma volta completa: v 2r T, em que T é o período. Se a velocidade for variável, aparece a aceleração tangencial a trajetória, dada por: a t dv dt Animação

25 Exemplo 14: 14. Um menino gira uma bola, amarrada a uma corda, em um circulo horizontal com raio de 0,8m. A quantas voltas por minuto a bola ficará sujeita se o módulo de sua aceleração centrípeta for g (o módulo da aceleração da gravidade)?

26 Exemplo 15: Um Menino faz uma pedra girar descrevendo uma circunferência horizontal de raio 1,5m e 2m acima do chão. A corda se parte e a pedra é arremessada horizontalmente, chegando ao solo depois de percorrer uma distância horizontal de 10m. Qual era o módulo da aceleração centrípeta da pedra durante o movimento circular?

27 Exemplo 16: 16. Na figura, qual é a rapidez inicial mínima que o dardo deve ter para atingir o macaco antes que este chegue ao chão, que está a 11,2 m abaixo da posição inicial do macaco, se x = 50 m e h = 10 m? (ignore a resistência do ar)

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