Física I. Aula 03: Movimento em um Plano. Tópico 03: Movimento de Projéteis. Observação

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1 Aula 03: Movimento em um Plano Tópico 03: Movimento de Projéteis Todo mundo sabe que brasileiro é doido por futebol, mas dos que gostam de futebol, muitos não gostam de Física. Mas você sabia que tem muita Física no futebol? Por exemplo, quando um jogador chuta a bola ela descreve um dos movimentos que estamos estudando nesta aula. O movimento da bola é um exemplo de movimento de projéteis que estudaremos neste tópico. Quando um jogador de futebol chuta a bola fazendo um determinado ângulo com a horizontal, a bola descreve no ar uma trajetória parabólica. Durante o movimento a velocidade da bola vai sofrendo variações, diminuindo e aumentando até atingir o solo de volta. De preferência dentro do gol do adversário, não é? Por que a velocidade da bola tem esta variação? Você já sabe que a variação da velocidade implica na existência de uma aceleração, no caso a aceleração da gravidade. Quando a bola está subindo, a força peso, sendo para baixo, faz com que a velocidade diminua (movimento retardado) e quando a bola está descendo, a força peso, atuando no mesmo sentido, faz com que a velocidade aumente (movimento acelerado). Observação Um projétil é qualquer corpo lançado com uma certa velocidade inicial e que segue uma trajetória que é determinada pela ação do peso e pela resistência do ar. Exemplos de projéteis: uma bola de futebol chutada, uma bala atirada de uma arma de fogo, uma pedra jogada. A chave para compreender o movimento de projéteis é tratar os movimentos horizontal e vertical separadamente. O movimento de um projétil é uma combinação de um movimento vertical com aceleração constante ( a aceleração da gravidade, g) e um movimento horizontal com velocidade constante. 1

2 Você sabe que já se sabia isto ainda no século XVI? Galileu Galilei, isso mesmo aquele da Torre de Pisa que se baseando em fatos experimentais, enunciou o Princípio da Independência dos Movimentos. Parada Obrigatória Princípio da Independência dos Movimentos Quando um móvel realiza um movimento composto cada um dos movimentos componentes se realiza como se os demais não existissem. Movimento de um projétil Vamos começar nosso estudo com um modelo simples, considerando o projétil como uma partícula, isto é, não nos preocupamos com suas dimensões físicas. Também não levaremos em conta os efeitos da resistência do ar. Fonte 1 ângulo Na Figura 1 vemos o projétil no momento do lançamento. O vetor velocidade v 0 faz um com o eixo x. A Figura 2 mostra a variação dos vetores velocidades ao longo da trajetória. Observe a componente horizontal, v x. Percebeu que ela não varia? Percebeu também que no alto da trajetória a componente vertical da velocidade desapareceu? Vamos tratar os movimentos separadamente, segundo o Princípio da Independência dos Movimentos de Galileu. Movimento Vertical Movimento Uniformemente Acelerado com aceleração constante igual a g Podemos aplicar todas as equações do movimento acelerado que você já estudou na Aula 2 (aproveite e faça uma revisão). 1 Fontes: -- Figura 1: Figura 2: 2

3 Neste movimento a aceleração, como já foi dito, é a aceleração da gravidade, que é um vetor que aponta sempre para baixo, o sentido negativo do eixo y. Então: apontando para baixo. lembrando que o vetor é o vetor unitário ao longo do eixo y, no caso No movimento de subida do projétil a componente vertical da velocidade, v oy aponta para cima, para o sentido positivo do eixo y. A equação para a velocidade ficará assim: Podemos assim determinar a componente vertical da velocidade em qualquer instante durante a subida do projétil. Veja que o movimento de subida é um movimento desacelerado, pois os vetores velocidade e aceleração estão em sentidos contrários. Isso explica porque a velocidade vai diminuindo, ou seja, explica o famoso ditado: tudo que sobe, desce. Depois de um certo tempo, o corpo começa a cair, pois sua velocidade de subida anulou-se e você sabe, a condição indispensável para haver movimento é a existência de velocidade. Qualquer corpo anda até que pare, ou seja, até que sua velocidade se torne igual a zero. Este é o tempo de subida do projétil. Vamos calcular em que altura a velocidade vertical do projétil se anula: 3

4 O ponto onde a velocidade se anula, é exatamente o ponto mais alto da trajetória, ou seja, a altura máxima que vamos chamar de H (y máx = H) Movimento Horizontal Movimento Retilíneo Uniforme Na horizontal a velocidade não varia, pois não há aceleração nessa direção. Usando as equações do MRU que você já aprendeu na Aula 2, temos: de eixos, Novamente vamos considerar o instante inicial t 0 = 0 e a posição inicial, na origem do sistema, Então: 4

5 E agora vamos determinar qual é a trajetória de um projétil. Para isso devemos determinar uma relação entre as coordenadas x e y. Comecemos pela coordenada y: Da coordenada x temos: E agora vamos substituir a expressão para o tempo na equação de y: A trajetória de um projétil é uma parábola. Olhando de Perto O alcance é a distância percorrida no movimento horizontal. 5

6 Determinando o alcance Física I Vamos determinar o alcance para um ângulo qualquer, quando o lançamento e o ponto de chegada do projétil ao solo estão no mesmo nível. Fonte 2 Vamos usar a equação que encontramos para a trajetória: Vamos lembrar um pouco da trigonometria? O alcance é, em geral, designado pela letra R, então: 2 Fonte:

7 Desafio Você pode dizer agora em qual situação teremos o alcance máximo? Observação Tenha cuidado ao usar a expressão acima para o alcance. Lembre-seque ela só vale se o ponto de disparo estiver no mesmo nível do ponto de chegada ao solo. Nem sempre isso acontece. Este applet java mostra o movimeto de um projétil. (p.s.: É preciso ter Java instalado na máquina) Dica Importante: O alcance é o mesmo para diferentes projéteis lançados com a mesma velocidade inicial e com ângulos de lançamento complementares (aqueles cuja soma é igual a 90º) Aqui você poderá ver e testar várias situações em que os níveis do lançamento do projétil podem variar. Multimídia Objetos de aprendizagem são ótimos recursos para ajudá-lo a aprender melhor. Nestes sites: s/index.html, nto/site/index.htm você verá dois objetos de aprendizagem sobre movimento de projéteis desenvolvido pela equipe do Núcleo de Construção de Objetos de Aprendizagem (NOA) Exemplos Resolvidos Para você ir treinando na resolução dos exercícios, comece tentando resolver estes exemplos a seguir. Tente antes de ver a solução do problema. Caso não entenda alguma passagem de algum dos problemas, consulte o seu professor. 7

8 Exemplo 1 Uma bolinha rola por toda a extensão de uma mesa horizontal de 5m de altura e a abandona com uma velocidade horizontal de 12m/s. Calcule o tempo de queda e a distância do pé da mesa ao ponto onde cairá a bolinha (g = 10m/s 2 ). Resposta: 12m Fonte 3 Solução Este é um exemplo de um lançamento em que o ângulo de lançamento é igual a zero, ou seja, é um lançamento horizontal. Vejamos o que temos: A aceleração é a aceleração da gravidade, que como dissemos aponta SEMPRE para baixo, o sentido que se costuma chamar de negativo. Lembre-se de que isso é apenas uma convenção. A origem é considerada na borda da mesa. Fonte 4 3 Fonte: Fonte:

9 Considerando agora o movimento horizontal (uniforme), teremos: O corpo cairá a 12m do pé da mesa. Exemplo 2 Um objeto é lançado obliquamente com uma velocidade inicial de 100 m/s, que forma com a horizontal um ângulo de 60º. Calcule a altura máxima atingida pelo objeto e a distância de lançamento ao ponto em que ele toca o solo. 9

10 Fonte 5 Resposta: 375 m; 866 m Solução As componentes da velocidade são: Vamos calcular o tempo de subida. Atenção, o objeto está subindo (sentido positivo do eixo y), mas a aceleração, você já sabe, não é? Sempre para baixo ( a=-g). O movimento de subida é retardado, por isso no ponto mais alto da trajetória, sua velocidade é zero, isto é, ele pára. Este é o tempo que o objeto leva para atingir a altura máxima. Qual é essa altura? Vamos chamá-la de h: uniforme) E agora, vamos calcular o alcance (a distância percorrida no movimento horizontal, retilíneo 5 Fonte:

11 Exemplo 3 Uma bola é jogada do solo para o ar. A uma altura de 9,1 m o seu vetor velocidade é v = 7,6 i + 6,1 j em metros por segundo. i e j são os vetores unitários nas direções x e y respectivamente. 1. Qual a altura máxima atingida pela bola? 2. Qual será a distância horizontal alcançada pela bola? 3. Qual a velocidade da bola (módulo e direção), no instante em que a bola bate no solo? Solução Respostas: (a) 11m; (b) 23 m; (c) 17 m/s, 63º a) Chame de t o tempo necessário para a bola atingir a velocidade dada. Neste caso, teremos: 11

12 12 Física I

13 Agora vamos calcular o alcance: 13

14 Exemplo 4 A figura abaixo mostra um navio pirata a 560 m de um forte que protege a entrada de uma ilha. Um canhão de defesa localizado ao nível do mar, dispara balas com uma velocidade inicial v o = 82 m/s. Fonte 6 6 Fonte: -- Halliday, Resnick e Walter,Fundamentos de Física (7a edição), Vol. 1 14

15 navio? a) Em que ângulo, com relação á horizontal, as balas devem ser disparadas para acertar o Solução b) A que distância do canhão deveria estar o navio pirata para estar fora do alcance das balas? Respostas: (a)27º, 63º, (b) 690 m a) Veja que neste problema o canhão e o navio estão no mesmo nível, então o deslocamento horizontal da bala é o seu alcance. Se você se lembrar da Trigonometria, verá que existem 2 ângulos ( um no 1º quadrante e outro no 2º) que podem ter esse valor para o seno: OBSERVAÇÃO: Note que esses 2 ângulos são complementares. b) Para responder à esta questão precisamos saber qual é o alcance máximo. R será máximo quando sen(2a) for máximo, ou seja quando sen(2a)=1 15

16 Resposta: 690 m é a maior distância que o canhão pode atingir. Além dessa distância o navio não será atingido. Fonte 7 ATIVIDADE DE PORTFÓLIO INDIVIDUAL Agora chegou a hora de você se exercitar. Então mãos à obra! Acesse a lista de exercícios-aula 3 (acesse o ambiente SOLAR). Mas lembre-se que os problemas propostos neste portfólio devem ser resolvidos por você. Você deve se esforçar ao máximo para obter a solução dos problemas por seus próprios meios. Isso não invalida o estudo em grupo, que é uma coisa muito diferente de copiar a solução dos exercícios do colega. Aliás, essa não é uma atitude inteligente. Na hora da prova você não poderá contar com essa facilidade não é? Lembre-se: A vida é o professor mais rigoroso que podemos ter: primeiro fazemos a prova, a lição vem depois. ( Autor desconhecido) 7 Fonte: -- Halliday, Resnick e Walter,Fundamentos de Física (7a edição), Vol. 1 16

17 Dica Física dá Futebol: 17