Física Teórica: Lista de Exercícios (aula 4)

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1 Física Teórica: Lista de Exercícios (aula 4) Fonte: HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de Física. 6ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008.v.. cap. 4, p. 65. (Adaptados).. Uma partícula se move de tal modo que a sua posição em função do tempo, no SI, é dada por: r(t) = i + 4t 2 j + t k. Escreva a expressão para: a) a velocidade da partícula. b) a aceleração da partícula. 2. A velocidade inicial de um próton é v = 4,0 i 2,0 j + 3,0 k, passado 4,0 s, sua velocidade é dada por: v 2 = - 2,0 i 2,0 j + 5,0 k. A aceleração média, em notação de vetores unitários, e seu módulo são: 3. Uma bola de beisebol é lançada horizontalmente com uma velocidade de 6 km/h. O batedor está distante 8,3 m. Ignore a resistência do ar. a) Em quanto tempo a bola percorre a metade dessa distância? b) E a segunda metade? 4. Uma carabina é apontada na horizontal para um alvo distante 30 m. A bala acerta o alvo,9 cm abaixo do ponto visado. Encontre: a) O tempo de voo da bala. b) O módulo da sua velocidade ao sair da carabina.

2 5. Uma pedra é projetada com velocidade inicial de 36,6 m/s, dirigida num ângulo de ϴ 0 = 60 0, com a horizontal. A pedra atinge o rochedo 5,5 s após o lançamento. Determine: a) A altura h do rochedo. b) O valor da velocidade da pedra no instante do impacto, no ponto A. c) A altura máxima atingida a contar do solo. 6. (UFB - adaptado) Um pêndulo oscila de um ponto extremo A a outro ponto extremo B em 3 s. A sua frequência e o seu período são: 7. (UFPR-PR-02 - adaptado) Uma melhor mobilidade urbana aumenta a segurança no trânsito e passa pela convivência pacífica entre carros e bicicletas. Um ciclista pedalando movimenta-se em linha reta a uma velocidade constante de 8 km/h. O pneu, devidamente montado na roda, possui diâmetro igual a 70 cm. No centro da roda traseira, presa ao eixo, há uma roda dentada de diâmetro 7,0 cm. 2

3 Junto ao pedal e preso ao seu eixo há outra roda dentada de diâmetro 20 cm. As duas rodas dentadas estão unidas por uma corrente. Não há deslizamento entre a corrente e as rodas dentadas. Supondo que o ciclista imprima aos pedais um movimento circular uniforme. O número de voltas por segundo que ele impõe aos pedais durante esse movimento, é: Considere π = Um ponto material em MCU, numa circunferência horizontal, completa uma volta a cada 0 s. Sabendo-se que o raio da circunferência é 5 cm. Calcule: a) o período e a frequência; b) a velocidade angular; c) a velocidade escalar; d) o módulo da aceleração centrípeta. Resoluções. r(t) =(i + 4t 2 j + t k) m a) a velocidade é a derivada da posição, então: V (t) = dr/dt = d(i + 4t 2 j + t k)/dt = 0 i t j + k V (t) =(8t j + k) m/s b) a aceleração é a derivada da velocidade, então: 3

4 a(t) = dv/dt = d(8t j + k)/dt = 8 j + 0 k a(t) = 8 j m/s 2 2. a M = (v 2 v )/ t = [(4,0 i 2,0 j + 3,0 k) (- 2,0 i 2,0 j + 5,0 k)]/4 = [ (4,0 2,0) i + (- 2,0 2,0) j + (3 + 5) k]/4 = (2.0 i 4,0 j + 8 k)/4 = 0,5 i j + 2 k a M = (0,5 i j + 2 k) m/s 2 a M = raiz quadrada [(0,5 2 + (- ) )] = raiz quadrada (0, ) = raiz quadrada (5,25) a M = 2,3 m/s 2 3. Dados do problema. V 0x = 6 km/h (converter para m/s, pois a distância está em m) = 6/3,6 = 32,2 m/s V 0y = 0 R = 8,3 m e R/2 = 9,5 m a y = 0,0 m/s 2 (aproximando o valor da aceleração da gravidade) a x = 0 Equações para o movimento: x(t) = V 0x t y(t) = ½.gt 2, pois: V 0y = 0 V y (t) = gt, pois: V 0y = 0 Substituindo os valores: Movimento em x: 9,5 = 32,2t t = 9,5/32,2 = 0,28 s (a) e (b) tanto na primeira metade do percurso, quanto na segunda, a velocidade inicial não muda. Então, teremos a mesma equação para o movimento em x. 4

5 4. a) O tempo de voo da bala é o mesmo tempo para ela atingir o alvo. Usaremos a equação em y, para obtermos o tempo do movimento de queda livre, que neste caso é igual ao tempo gasto para a bala alcançar y =,9 cm e igual ao tempo para termos x = 30 m Em y: y(t) = ½.gt 2,9 cm = 0,09 m. - 0,09 = ½.gt 2, o y possui um valor negativo por que o deslocamento da bala é no sentido contrário ao eixo y. t 2 = 0,09/5 = 0,0038 t = 0,06 s b) Para calcularmos o módulo da velocidade inicial da bala, usamos a equação no eixo x. x(t) = (V 0 cos α)t O problema diz que a velocidade da bala ao sair da carabina está na direção horizontal. Com isso, α = 0 0 e o seu cosseno é. Substituindo os valores, temos: 30 = (V 0.). 0, V 0 = 30 V 0 = 30/0,06 = 500 m/s 5. a) Altura do rochedo: y(5,5) y(t) = (V 0 sen α) t ½.gt 2 Substituindo os valores: y(5,5) = (36,6 sen 60 0 ) 5,5 5(5,5) 2 = (36,6. 0,87)5, ,25 = 74,3 5,3 = 23 m h = 23 m 5

6 b) Para calcular a velocidade em A, temos que levar em conta V x e V y. V y (5.5) = (V 0 sen α) gt Substituindo os valores: V y = (36,6 sen 60 0 ) 0. 5,5 = 3,7 55 = - 23,3 m/s (no eixo y) V x = (V 0 cos 60 0 ) = 36,6. cos 60 0 = 33,6.0,5 = 8,3 m/s V = raiz quadrada (8,3 2 + (- 23,3) 2 ) = raiz quadrada (334, ,2) = raiz quadrada (873,) = 29,5 m/s V = 29,5 m/s. c) A altura máxima é dada quando V y = 0 V y (t) = (V 0 sen α) gt 0 = 3,7-0t t = 3,7/0 = 3,7 s Substituindo t em y(t), temos: y(3,7) = (V 0 sen α) 3,7 ½.g(3,7) 2 Substituindo os valores que já conhecemos: y(3,7) = 3,7. 3,7 5(3,7) 2 = 98, =98,6-0 = 88,6 m 6. O período de oscilação de um pêndulo é igual ao tempo que o corpo leva para ir de A até B e depois, voltar para A. Ele vai de A para B em 3 s, então, seu período é o dobro desse tempo: T = 6 s A frequência é: f = /T = /6 = 0,7 hz 6

7 De A para B: t = 3 s. De B para A: t = 3 s 7. Como as rodas dentadas são unidas por uma corrente de tamanho fixo, temos que a velocidade de ambas será a mesma: V = 2πRf Além disso, a roda dentada menor possui a mesma velocidade angular do pneu da bicicleta, pois ambas são concêntricas. ω p = ω r ω = VR Como V está em km/h temos que converter para m/s: 8 km/h = 5 m/s D = 70 cm, então o R = 35 cm ou R = 0,35 m ω p = 5. 0,35 =,75 rad/s. Logo, ω p = ω r =,75 rad/s. Vamos calcular a velocidade da roda dentada menor. ω r = V r R r V r = ω r /R r R r = D/2 = 0,07/2 = 0,035 m V r =,75/0,035 = 50 m/s Com essa velocidade podemos calcular f r, que é o número de voltas por segundos. 7

8 V = 2πRf 50 = 2.3.0,035 f r 0,2 f r = 50 f r = 50/0,2 = 238 hz Para calcular f da roda do pedal: R r f r = R rp f rp 0, = 0,. f rp f rp = 8,3/0, = 83 hz 8. a) Pela definição de período: T = 0 s e f = /T = /0 = 0, hz f = 0, hz b) ω = 2πRf = 2π.0,05.0, = 0,03 rad/s c) V = ωr = 0,03. 0,05 =,50 x 0-3 m/s d) a c = V 2 /R = (,50 x 0-3 ) 2 /0,05 =,3 x 0-7 m/s 2 Questões de Vestibular. (UFMG-MG) Clarissa chuta, em sequência, três bolas - P, Q e R -, cujas trajetórias estão representadas nesta figura: Sejam t(p), t(q) e t(r) os tempos gastos, respectivamente, pelas bolas P, Q e R, desde o momento do chute até o instante em que atingem o solo. Considerando-se essas informações, é CORRETO afirmar que: a) t(q) > t(p) = t(r) b) t(r) > t(q) = t(p) 8

9 c) t(q) > t(r) > t(p) d) t(r) > t(q) > t(p) e) t(r) = t(q) = t(p) 2. (CEFET-CE) Duas pedras são lançadas do mesmo ponto no solo no mesmo sentido. A primeira tem velocidade inicial de módulo 20 m/s e forma um ângulo de 60 com a horizontal, enquanto, para a outra pedra, este ângulo é de 30. O módulo da velocidade inicial da segunda pedra, de modo que ambas tenham o mesmo alcance, é: DESPREZE A RESISTÊNCIA DO AR. a) 0 m/s b) 0 3 m/s c) 5 m/s d) 20 m/s e) 20 3 m/s 3. (UFPE-PE) Um projétil é lançado obliquamente no ar, com velocidade inicial vo = 20 m/s, a partir do solo. No ponto mais alto de sua trajetória, verifica-se que ele tem velocidade igual à metade de sua velocidade inicial. Qual a altura máxima, em metros, atingida pelo projétil? (Despreze a resistência do ar e considere g = 0m/s²). 4. (PUCCAMP-SP) Um atleta arremessa um dardo sob um ângulo de 45 com a horizontal e, após um intervalo de tempo t, o dardo bate no solo 6 m à frente do ponto de lançamento. Desprezando a resistência do ar e a altura do atleta, o intervalo de tempo t, em segundos, é um valor mais próximo de: Dados: g = 0 m/s² e sen 45 = cos 45 = 0,7 a) 3,2 b),8 c),2 d) 0,8 e) 0,4 9

10 5. (UFF-RJ) Recentemente, o PAM (Programa Alimentar Mundial) efetuou lançamentos aéreos de 87 t de alimentos (sem uso de para-quedas) na localidade de Luvemba, em Angola. Os produtos foram ensacados e amarrados sobre placas de madeira para resistirem ao impacto da queda. A figura ilustra o instante em que um desses pacotes é abandonado do avião. Para um observador em repouso na Terra, o diagrama que melhor representa a trajetória do pacote depois de abandonado, é: a) I b) II c) III d) IV e) V 6. (PUC-RS) Uma bola rolou para fora de uma mesa de 80 cm de altura e avançou horizontalmente, desde o instante em que abandonou a mesa até o instante em que atingiu o chão, na posição x = 80cm. Considerando g = 0m/s², a velocidade da bola, ao abandonar a mesa, era de: a) 8,0m/s b) 5,0m/s c) 4,0m/s d) 2,0m/s 0

11 e),0m/s 7. São dadas quatro descrições da posição de um disco de hokey enquanto ele se move no plano xy: ) x = -3t² + 4t 2 y = 6t² 4t 2) r = 2t² i - (4t + 3) j Para cada descrição, determinar se as componentes x e y da aceleração do disco são constantes e se a é constante. Todas as unidades estão no SI. 8. Uma partícula se move de tal modo que a sua posição em função do tempo, no SI, é dada por: r(t) = 3t i + t² j + t³ k. Escreva a expressão para: a) a velocidade da partícula. b) a aceleração da partícula. 9. A velocidade inicial de um próton é v¹ = 0 i + 5,0 j + 3,0 k, passado 4,0 s, sua velocidade é dada por: v² = - 2,0 i 2,0 j - 5,0 k. A aceleração média, em notação de vetor unitário e em módulo. 0. A posição de um elétron é dada por r = (2,00t 4 i 4,00t² j + 3,00t k), com t em segundos e r em metros. a) velocidade do elétron é: b) em t = 2,00 s, a velocidade, na notação de vetor unitário, vale: c) em t = 2,00 s, a velocidade, em módulo, vale:. (CPS-SP) Para dar o efeito da saia rodada, o figurinista da escola de samba coloca sob as saias das baianas uma armação formada por três tubos plásticos, paralelos e em forma de bambolês, com raios aproximadamente iguais a r = 0,50 m, r² = 0,75 m e r³ =,20 m.

12 Pode-se afirmar que, quando a baiana roda, a relação entre as velocidades angulares (ω) respectivas aos bambolês, 2 e 3 é: 2.(PUC-RJ) Um ciclista pedala em uma trajetória circular de raio R = 5 m, com a velocidade de translação v = 50 m/min. A velocidade angular do ciclista em rad/min é: a) 60 b) 50 c) 40 d) 30 e) 20 Resoluções das Questões de Vestibular. O tempo está relacionado com a altura máxima da trajetória. Assim, quanto mais alto chegar a bola, mais tempo será gasto. t(q) > t(p) = t(r) 2. Resposta: O alcance de um projétil é dado por: 2

13 R = 2. V0². sen 2α g Para a primeira pedra: R = 2. 20². sen 2.60 = sen 20 = g sen 20 = 80. 0,87 = 69,3 m Como o alcance da primeira pedra é igual ao da segunda, temos: 69,3 = 2. V0². sen 2α g Substituindo os valores: 69,3 = 2 V02 sen V02 = 69,3. 0/(2. sen 60 ) = 693/,7 = 407,6 V0 = 20 m/s 3. No ponto mais alto só temos a velocidade no eixo x, uma vez que, no movimento de queda livre, temos que v = 0 na altura máxima (Vy = 0) V = Vx = Vox = 20/2 Vox = 0m/s Não temos o valor de x na altura máxima para podermos calcular o tempo e substitui-lo na equação de y. Assim, temos que usar a equação de Torricelli para descobrir a altura máxima. Vy² = Voy² 2ghmáx Sabemos que: Vy = 0 e g = 0 m/s² Temos como calcular Voy 3

14 Vo² = Vox² + Voy² 20² = 0² + Voy² Voy² = 300 Voy = 7,3 m/s Vy² = Voy² 2ghmáx Substituindo os valores: 0 = hmáx 0 = hmáx 20 hmáx = 300 hmáx = 300/20 =5 m 4. Vamos calcular o tempo usando a equação para o eixo x: 6 = V0. 0,7t tt = 6/0,7 V0 Temos duas incógnitas, precisamos encontrar o valor de V0. Vamos usar a equação de Vy para a altura máxima. Sabemos que, na altura máxima, Vy = 0 e que t é metade de t no alcance máximo (tt): Vy = Vo cos 45 gt 0 = 0,7Vo 0t Substituindo tt: 0 = 0,7Vo 0(tf/2) 0 = 0,7Vo 0((6/0,7 Vo)/2) 0 = 0,7Vo 0((8/0,7 Vo)) 0,7Vo = 80/(0,7 Vo) 0,7Vo. 0,7 Vo = 80 0,49 Vo² = 80 Vo² = 80/0,49 = 63,3 Vo = 2,8 m/s 4

15 Substituindo Vo na equação de x: tt = 6/0,7 Vo = 6/0,7. 2,8 = 6/8,96 =,78 s t =,8 s 5. A trajetória vista por uma pessoa sobre o avião é uma parábola, uma vez que temos uma velocidade constante (velocidade do avião) no eixo x e um movimento de queda livre no eixo y. e) V 6. Vamos calcular o tempo da queda: y =/2 gt² 0,8 = 5t² t² = 0,8/5 = 0,6 t = 0,4 s Com esse tempo, vamos calcular a velocidade bola, usando a equação em x, pois a velocidade é constante. x = Vot 0,8 = Vo.0, Vo = 2,0 m/s 7. A aceleração é a derivada segunda da posição. ) primeira derivada: x = (-3t² + 4t 2) Segunda derivada: v = (-6t + 4) m/s a = - 6 m/s² aceleração constante primeira derivada: y = (6t² 4t) m v = (2t 4) m/s Segunda derivada: a = 2 m/s² aceleração constante 2) r = [2t² i - (4t + 3) j] m/s 5

16 primeira derivada: v = (4t i 4 j) m/s segunda derivada: a = 4 i aceleração constant 8. r(t) = (3t i + t² j + t³ k) m A velocidade é a derivada da posição, então: V (t) = dr/dt = d(3t i + t² j + t³ k)/dt = 3 i + 2. t j + 3t² k V (t) = (3 i + 2t j + 3t² k) m/s A aceleração é a derivada da velocidade, então: a(t) = dv/dt = d(3 i + 2t j + 3t² k)/dt = 2 j + 6t k a(t) = (2 j + 6t k) m/s² 9. a M = V = V(t f ) V(t i ) = t t (0 i + 5,0 j + 3,0 k) - (- 2,0 i 2,0 j 5,0 k) 4,0 (0 + 2,0) i + (5,0 + 2,0) j + (3,0 + 5,0) k = 4,0 = (3,0 i +,8 j + 4,0 k) m/s Como r = (2,00t 4 i 4,00t 2 j + 3,00t k) m e V = dr, temos que: dt V = dr = d(2,00t 4 i 4,00t 2 j + 3,00t k) = 6

17 dt dt V (t) = (4.3,00t 3 i 2.4,00t j + 3,00 k) m/s V (t) = (2,0t 3 i 8,00t j + 3,00 k) m/s V (2,00) = (24,0 i 6,0 j + 3,00 k) m/s V(2,00) = raiz quadrada (24,0 2 + (- 6,0) 2 + 3,00 2 ) = raiz quadrada ( ,00) = raiz quadrada (84) V(2,00) = 29 m/s. Sabemos que ω = 2π/T Como as grandezas 2π e T têm o mesmo valor para todos os bambolês, pois todos fazem parte da mesma saia e, por isso, ω também terá o mesmo valor. ω = ω2 = ω3. 2. V=50m/min ω = V/R = 50/5 = 30 rad/min ω = 30 rad/min 7