Física. Física Módulo 1 Velocidade Relativa, Movimento de Projéteis, Movimento Circular

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1 Física Módulo 1 Velocidade Relativa, Movimento de Projéteis, Movimento Circular

2 Velocidade Relativa Um Gedankenexperiment Imagine-se agora em um avião, a 350 km/h. O destino (a direção) é por conta de sua imaginação. Esta velocidade é medida em relação a um observador (um ponto fixo, um referencial) na que está na terra. Agora imagine-se correndo dentro deste avião, indo do fundo em direção a cabine) a uma velocidade de 20 km/h (indo seqüestrar o vôo, talvez...) Nesta situação, qual seria a sua velocidade se observada no mesmo referencial na terra?

3 Velocidade Relativa A velocidade de um corpo é medida em relação ao um sistema de coordenadas que, por sua vez, está em movimento em relação a um outro sistema de coordenadas. Pessoa andando com velocidade v pc (velocidade pessoa-carro)

4 Velocidade Relativa O carro se move com uma velocidade v cs (velocidade carro-solo) Neste caso, a velocidade da pessoa em relação ao solo (v ps ) será igual a soma das duas velocidades: v ps = v cs + v pc A adição das velocidades relativas é feita da mesma forma que a adição de deslocamento: v pc - graficamente - ou analiticamente (mediante suas componentes) v cs

5 Velocidade Relativa Um exemplo simples... velocidade do garoto em relação à água (v ga ) = 2m/s velocidade da água em relação à margem (v am ) = 3 m/s velocidade do garoto em relação à margem (v) =?

6 Uma aplicação interessante... Movimento dos Projéteis

7 Movimento dos Projéteis Uma aplicação interessante do movimento bidimensional é a de um projétil. Projétil é um corpo que é lançado no ar e depois move-se livremente sob a ação da gravidade. O projétil tem aceleração constante, dirigida verticalmente para baixo, com módulo g = 9,81 m/s 2 (aceleração da gravidade)

8 Movimento dos Projéteis No movimento dos projéteis, se considerarmos que a aceleração é constante, as componentes horizontais e verticais do movimento são independentes. Assim, podemos tratar o problema como dois problemas unidimensionais independentes. Exemplificando... Considere uma bola lançada ao ar, com velocidade inicial v 0, conforme gráfico ao lado. Vamos assumir que a x = 0 a y = - g tomando o eixo y como positivo para cima e o eixo x positivo na direção do movimento.

9 Movimento dos Projéteis Suponhamos que o projétil seja lançado da origem. A velocidade inicial é v 0 e a partícula é lançada com um angulo θ com o eixo horizontal. Assim, as componentes da velocidade são v 0x = v 0 cosθ v 0y = v 0 senθ Como não há aceleração em x, a componente x da velocidade é v x = v 0x Entretanto, a componente y da velocidade varia com o tempo, de acordo com v y = v 0y - gt já que existe a aceleração em y. As componentes do deslocamento do projétil são : x = v 0x t y = v 0y t ½ gt 2 v 0 = v 0x + v 0y v 0x = v 0 cosθ v 0y = v 0 senθ

10 Movimento dos Projéteis Quadro geral Para o caso a y = -g e a x =0, teremos: componente x de r (deslocamento) componente x de v (velocidade) componente y de r (deslocamento) componente y de v (velocidade) em t =0 x = x + v t v x 0 0x 0x y = y v0 yt gt 2 v = v gt y = v 0 y r = x i + y j v = v i + v j 0 0x 0 y 2 Observe que na direção x, a velocidade v x é constante!

11 Movimento dos Projéteis Equação da trajetória Se tomamos x 0 = y 0 = 0 (saindo da origem) de x = v 0x t podemos escrever que t = x/v 0x substituindo t na equação abaixo 1 y = y0 + v0 yt gt 2 encontramos a equação da trajetória v 1 x = v0 x 2 v0 x 0 y y x g Equação de uma parábola! 2 2 Foto estroboscópica do movimento parabólico

12 Movimento dos Projéteis Aceleração da gravidade A coordenada y é independente da velocidade v x. Isto é ilustrado na figura ao lado onde duas bolas são jogadas sob ação da gravidade. A vermelha é solta e a amarela tem velocidade inicial v x. Em cada instante elas têm a mesma altura!!

13 Movimento dos Projéteis - Exemplo As componente do vetor velocidade inicial são: O tempo de permanência da bola no ar pode ser encontrado utilizando a equação y = v 0y t ½ gt 2 Como a bola subiu e desceu (!), y = 0. Resolvendo para t encontramos Esta equação tem uma raiz t = 0 (condições iniciais) e uma outra,

14 Movimento dos Projéteis Exemplo (cont.) Ao lado temos um gráfico de y contra t e de y contra x. Este gráfico é obtido utilizando a equação da trajetória, com x 0 = y 0 = 0

15 Movimento dos Projéteis Exercício A mesma bola do exercício anterior foi agora lançada de um penhasco com 55 metros de altura (veja o desenho). Calcule onde a bola irá atingir o solo. v 0 = 50m/s 37 o 55 m Alcance =? Observe que agora o y é diferente de 0. R: 300m

16 Movimento Circular Uniforme

17 Movimento Circular uniforme O movimento circular é comum na natureza e em nosso cotidiano Exemplos: Movimento de satélites artificiais. Pontos em um disco de vitrola. Disco rígido de computador. Nesta seção estudaremos uma partícula que descreve uma circunferência com velocidade constante. Este movimento tem velocidade com módulo constante porém sua direção muda continuamente. Desenho de Newton (System of the World): Relação entre o movimento de um projétil e o movimento de um satélite

18 Movimento Circular No movimento circular usamos coordenadas polares ( ρ, φ) O arco descrito no movimento circular é dado por s = Rφ s onde ρ = R; fixo Como o raio é constante, a única variável é o ângulo φ.

19 Movimento Circular uniforme A posição angular é uma função do tempo, φ(t). O arco descrito em dt é dado por Então: ds dt = ω = ds = R dφ. v = dφ dt R dφ dt Definimos assim a velocidade angular A velocidade angular se relaciona com a velocidade escalar por v = ωr

20 Movimento Circular e uniforme Uma volta completa T f 2π R = vt Período do movimento Freqüência Unidades 2π R 2π = = v ω = 1 T [ T ] = s [ ] Velocidade angular e freqüência ω = 2π f 1 1 f = = s = [ T ] Hz

21 Movimento Circular Aceleração centrípeta Se a direção da velocidade da partícula se altera, mesmo mantendo seu modulo constante, a partícula está acelerada. Esta aceleração é conhecida como aceleração centrípeta, e é dada por: a c = v r 2 A aceleração centrípeta tem direção do vetor posição e aponta para o centro da circunferência.

22 Movimento Circular e uniforme - Exercícios: 1 Uma bola amarrada a um fio descreve um círculo horizontal de raio 2 m e faz uma volta em 3s. Calcule a aceleração. Para encontrar a aceleração, devemos primeiro calcular a velocidade escalar. 2π r 2 π (2 m) v = = = T 3 s O módulo da aceleração da bola é então 4,19 m/s a 2 2 v (4,19 m/s) = = = r 2 m 8,78 m/s 2 A direção da aceleração é a do raio do circulo, dirigida para o centro.

23 Movimento Circular e uniforme - Mais Exercícios: 1 Um carro faz uma curva de raio 30 m. Se a aceleração centrípeta máxima que pode ser provocada pelo atrito for 5m/s 2, qual a velocidade máxima do carro em km/h? R: 44 km/h 2 Um satélite se move, com velocidade constante, numa órbita circular em torno do centro da terra (raio da órbita = km). Se sua aceleração for de 9,8 m/s 2, qual a sua velocidade e quanto tempo leva para completar uma revolução completa? R: v=7,91 km/s e T = 84,3 min

24 Para o próximo encontro... Prova: Dia 14/01/13. Se eu fosse você, passava o Natal estudando... Atenção: Estudem os exemplos dados nesta aula e o exercício proposto.. Leiam o livro texto e resolvam as listas de exercício.