Movimento Circular Uniforme

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Benedicto da Conceição
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1 Movimento Circular Uniforme 2018 Dr. Walter F. de Azevedo Jr. Prof. Dr. Walter F. de Azevedo Jr. 1

2 Movimento Circular Uniforme (otação) Considere um disco rígido de densidade constante e raio mostrado na figura abaixo. O disco tem rotação em torno de um eixo que passa pelo seu centro. No disco temos uma partícula infinitesimal de massa dm i que gira no sentido anti-horário com deslocamento. 2

3 Movimento Circular Uniforme (otação) Num intervalo de tempo dt, a partícula descoloca-se, que é dado por: = dt onde é a velocidade da partícula 3

4 Movimento Circular Uniforme (Deslocamento Angular) A partícula varre um ângulo no intervalo de tempo dt. Em radianos (rad) temos que é dado pela seguinte expressão: = onde é o raio da partícula. O ângulo θ é chamado de deslocamento angular. 4

5 Movimento Circular Uniforme (Deslocamento Angular) Considerando-se uma volta completa do disco, temos que a partícula sofre um deslocamento s i de 2π, sendo 2π o deslocamento angular ( θ), assim temos: θ = s i = 2π = 2πrad = 360 o = 1 rev onde 1 rev é uma revolução. 5

6 Movimento Circular Uniforme (Velocidade Angular) Definimos a velocidade angular (ω) como a taxa de variação do deslocamento angular (θ) com relação ao tempo, conforme indicado abaixo. ω = dt a velocidade angular tem unidade de rad/s e dimensões de T -1. A velocidade angular é positiva para uma rotação anti-horária, onde o deslocamento angular (θ) aumenta, e negativa para uma rotação horária, onde θ diminui. 6

7 Movimento Circular Uniforme (Aceleração Angular) Definimos a aceleração angular (α) como a taxa de variação da velocidade angular (ω) com relação ao tempo, conforme indicado abaixo. α = dω dt = d2 θ dt 2 a aceleração angular tem unidade de rad/s 2 e dimensões de T -2. A aceleração angular é positiva quando a velocidade angular estiver crescendo e negativa para uma diminuição da velocidade angular. 7

8 Movimento Circular Uniforme (Velocidade Tangencial) A partir das equações (1) e (2) abaixo, podemos relacionar a velocidade tangencial (t ) da partícula sobre o disco à velocidade angular (ω), como segue: = ω = dt (Equação 1) (Equação 2) t = dt = d(θ) dt = dt = ω t = ω 8

9 Movimento Circular Uniforme (Aceleração Tangencial) Podemos relacionar a aceleração tangencial (a it ) com a aceleração angular (α), como indicado abaixo: a it = dt dt = d(ω) dt = dω dt = α a it = α 9

10 Movimento Circular Uniforme (Equação de Movimento) Para uma aceleração angular (α) constante, podemos obter as equações do movimento circular uniforme, a partir da integração, como indicado abaixo. α = constante α = dω ω dt dω = αdt dω = α ω 0 0 t dt ω ω 0 = αt ω = ω 0 + αt 10

11 Movimento Circular Uniforme (Equação de Movimento) A partir da definição de velocidade angular, chegamos a uma equação para o deslocamento angular: ω = ω 0 + αt dt = ω 0 + αt = ω 0 + αt dt θ θ 0 = ω 0 0 t dt + α 0 t tdt θ θ 0 = ω 0 t + α 2 t2 θ = θ 0 + ω 0 t + α 2 t2 11

12 Movimento Circular Uniforme (Equação de Torricelli) Se isolarmos o tempo da equação da velocidade angular e substituirmos na equação do deslocamento angular, temos uma expressão equivalente à equação de Torricelli. ω 2 = ω α θ 12

13 Movimento Circular Uniforme (Equações) Temos o equivalente para cada aspecto do movimento unidimensional no movimento circular uniforme, como indicado abaixo. Movimento Circular Uniforme Movimento Unidimensional deslocamento angular (θ) velocidade angular (ω) ω = dt posição (s) velocidade (v) v= ds dt aceleração angular (α) α = dω dt aceleração (a) a= dv dt equação para deslocamento angular equação para velocidade angular θ = θ 0 + ω 0 t + α 2 t2 ω = ω 0 + αt equação para posição s = s 0 + v 0 t + a 2 t2 equação para velocidade v = v 0 + at equação para velocidade angular ω 2 = ω α θ equação para velocidade v 2 = v a s 13

14 Movimento Circular Uniforme (Aceleração Centrípeta) Sobre a aceleração centrípeta, podemos obter sua expressão a partir da análise vetorial do movimento circular uniforme, como mostrado no desenho abaixo. No sistema abaixo, temos uma partícula em movimento circular, onde esta desloca-se da posição inicial ( ) para final (r f ), com deslocamento angular θ. r f θ 14

15 Movimento Circular Uniforme (Aceleração Centrípeta) Analisando-se variação da velocidade tangencial entre os instantes inicial e final, temos a variação da velocidade ( v = - ) indicada na figura abaixo à direita. r f θ v θ 15

16 Movimento Circular Uniforme (Aceleração Centrípeta) Considerando-se a variação da posição (r) entre os instantes finais e iniciais, temos o vetor resultante ( r = r f - ), como indicado abaixo. r f r θ v θ 16

17 Movimento Circular Uniforme (Aceleração Centrípeta) Analisando-se a geometria do sistema, vemos que os triângulos da esquerda e direita são semelhantes. Assim, considerando-se que = r f = r e que = = v temos: v v = r r r v = v r (1) r f r θ v θ Sabemos que a aceleração é dada por: a = v t (2) Substituindo-se (1) em (2) temos: a = v r r t = v v2 v = r r a c = v2 r 17

18 Movimento Circular Uniforme O tempo que uma partícula em movimento circular uniforme demora para realizar uma volta completa (360 º ) é chamado de período (T) e é dado pela expressão abaixo: T = 2πr v r f r θ v θ Considerando-se que v = ωr, temos: T = 2πr v 2πr T = ωr T = 2π ω ω = 2π T 18

19 eferências Bibliográficas TIPLE, P. A. & MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros. Vol. 1. 6ª Ed. io de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda , 759 pp. Última atualização em: 6 de setembro de

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