Considere-se a trajectória descrita por um projéctil que foi lançado do ponto O no plano xoy. y v v O
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- Mafalda Natal Ferretti
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1 Moimento de um projéctil Considere-se a trajectória descrita por um projéctil que foi lançado do ponto no plano. Após o lançamento e considerando a resistência do ar desprezáel, a resultante das forças que sobre ele actuam é constante FR F ma m a F Eprimindo a aceleração em função das suas componentes, num referencial a a î a ˆj erifica-se, para qualquer lançamento e em qualquer instante, que a e a ou seja, a aceleração adquirida por um projéctil é constante e iual a ˆj. A aceleração tem apenas componente ertical.
2 Lançamento oblíquo Se um projéctil for lançado obliquamente com uma elocidade inicial que faz um ânulo com a horizontal, descree, no plano, uma trajectória parabólica, resultante de dois moimentos independentes, um seundo o eio dos e outro seundo o eio dos. Seundo a direcção horizontal (eio dos ) a aceleração é nula, o moimento é rectilíneo e uniforme e, consequentemente, para qualquer instante, t Seundo a direcção ertical (eio dos ), a aceleração é constante, o moimento é rectilíneo e uniformemente ariado e para qualquer instante t t t As leis que descreem o moimento de um projéctil lançado obliquamente, no plano, são: - lei das acelerações ˆj - lei das elocidades cos î ( sin t) ˆ j - lei das posições r cos tî ( sin t t ) ˆ j
3 Altura máima atinida por um projéctil Para determinar a altura máima atinida por um projéctil, má, pode recorrer-se a uma das seuintes leis Leis do moimento Um projéctil atine a altura máima no instante em que a componente ertical da elocidade,, se anula. Iualando esta coordenada a zero, determina-se o tempo de subida do ma projéctil, t s, t t s s Substituindo t s na equação que traduz a ariação da coordenada ertical do ector posição,, obtém-se a epressão que permite calcular a altura máima atinida por um projéctil. ma sin ma sin Lei do Trabalho-Eneria ( W F R E ) c A elocidade do projéctil, no instante em que atine a altura máima,, é iual à componente horizontal da elocidade inicial, î, Recorrendo à lei do Trabalho-Eneria é possíel determinar a altura máima, pois W F R E c Como F F, então R F cos8 cos m m m m( cos ) Como -cos sin e má -, em ma sin 3
4 Lei da Conseração da Eneria Considerando a resistência do ar desprezáel, durante o moimento do projéctil há conseração da eneria mecânica. Assim, E m E m m E m p E c m E má p E c m má Atendendo que e, substituindo na epressão anterior, em ma ma Como, irá ma sin Alcance atinido por um projéctil ao níel do lançamento alcance, de um projéctil é a distância horizontal que o separa da posição de lançamento, no instante em que a sua coordenada ertical,, é nula. Recorrendo às equações paramétricas do moimento, em t t t Iualando a zero determina-se o tempo total de moimento do projéctil t t t t t t t projéctil atine o níel de lançamento no instante t. Substituindo t na equação que traduz a ariação da coordenada horizontal, obtém-se o alcance do projéctil: Como sin( ), o alcance do projéctil ao níel do lançamento é sin 4
5 Relação entre a elocidade inicial de um projéctil,, e a elocidade com que atine o níel de lançamento, Para qualquer instante o ector elocidade inicial de um projéctil é î ˆj Como a componente horizontal da elocidade se mantém constante,. tempo que decorre desde o instante inicial até ao instante em que o projéctil atine o níel de lançamento é: t A coordenada ertical da elocidade,, é, em cada instante, t Substituindo t nesta equação, obtém-se Como a elocidade com que o projéctil atine o níel de lançamento é: î ˆj Comparando a elocidade inicial de um projéctil e a elocidade com que este atine o níel de lançamento, conclui-se que apresentam o mesmo alor, mas direcção e sentido diferentes. Lançamento horizontal No lançamento horizontal de um projéctil, o ânulo definido pela elocidade inicial, e pela horizontal é nulo. Assim, a elocidade de lançamento é: î Para qualquer instante as coordenadas da elocidade são t As coordenadas cartesianas do moimento são: t t As leis que descreem o moimento de um projéctil lançado horizontalmente são: - lei da aceleração a ˆj 5
6 - lei das elocidades î t ˆj - lei das posições r tî t ˆ j tempo de descida do projéctil é independente da elocidade de lançamento. Iualando a zero, em: t t 6
7 8 Uma bola de olfe parte do solo com um ânulo e atine a copa de uma árore, quando em moimento horizontal, a uma altura h em relação ao solo. Se a árore estier à distância horizontal b do ponto de partida, mostrar que: 8. tan hlb ; b t b ts h b h tan b. b h sin h b sin 8. Qual é a elocidade inicial da bola, em função de b e de h? 7
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