Introdução ao movimento no plano

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Armando de Caminha Teves
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1 Introdução ao moimento no plano Moimento de Projécteis Prof. Luís C. Perna O disparo de um canhão ou de uma espingarda, o moimento de uma bola de golfe, depois de uma tacada e o lançamento do martelo ou do disco, nas proas olímpicas, são apenas alguns exemplos de situações muito comuns em que se pode obserar o moimento de um projéctil. 1

2 Mas o que é, de facto, um projéctil? É um corpo que se moe no ar, sob acção da força da graidade, quando lhe é aplicada uma força inicial. O moimento de um projéctil caracteriza-se pela descrição de uma trajectória parabólica, que faz um ângulo com a horizontal. O lançamento da figura, não é um lançamento ertical nem um lançamento horizontal, é considerado lançamento oblíquo. O interalo de tempo decorrido entre duas posições sucessias marcadas por pontos em destaque sobre a cura da trajectória é sempre igual a,5 s. Como se pode obserar o alor do deslocamento efectuado na horizontal é sempre o mesmo. 2

3 Suponha que o objecto era iluminado na ertical e que a sombra era projectada no solo na direcção do eixo dos xx? Como classificaríamos o moimento naquela direcção? Sendo assim, que força resultante actua segundo aquele eixo? Obseremos agora o que se passa em relação ao eixo dos yy. O deslocamento efectuado pelo projéctil, durante cada um dos interalos de tempo de,5 s é ariáel. Como classificaríamos o moimento naquela direcção? Sendo assim, que força resultante actua segundo aquele eixo? Simulação 3

4 Como concluímos, no moimento do projéctil, a componente da aceleração segundo o eixo dos xx é nula e a elocidade naquela direcção é constante. a x constante A componente da aceleração segundo o eixo dos yy é constante e igual à aceleração da graidade, g, e a elocidade naquela direcção é dada por y = y -gt. a y y -g constante oy gt Para situações, em que se despreze a resistência do ar, a única força que actua no projéctil é o seu peso, também designado por força graítica, que P mg é praticamente constante em direcção, sentido e módulo. P mg ou com g = 9,8 m/s 2 Resumindo o lançamento obliquo de um projéctil pode ser estudado como a sobreposição de dois moimentos: um moimento rectilíneo e uniforme, segundo a direcção horizontal e outro rectilíneo e uniformemente ariado, segundo a direcção ertical. 4

5 ANÁLISE DO VECTOR VELOCIDADE Consideremos um projéctil que é lançado numa direcção que faz um ângulo com a direcção horizontal lançamento oblíquo. Simulação Lançamento oblíquo: dee ser feito a decomposição do moimento em dois moimentos, um na ertical e outro na horizontal. EQUAÇÕES QUE DESCREVEM O LANÇAMENTO OBLÍQUO As equações que descreem o lançamento oblíquo são: x y x y cos sin x x xt 1 y y y t gt 2 x x y y gt 2 Coordenadas de posição do projéctil, em função do tempo Componentes algébricas da elocidade 5

6 QUANDO O ÂNGULO DE LANÇAMENTO FOR º (LANÇAMENTO HORIZONTAL) As equações que descreem o lançamento horizontal são: x y cos sin x y x y x x t 1 y y gt 2 x y gt 2 Coordenadas de posição do projéctil, em função do tempo Componentes algébricas da elocidade Simulação As equações que descreem o lançamento ertical são: x y QUANDO O ÂNGULO DE LANÇAMENTO FOR 9º (LANÇAMENTO VERTICAL) cos sin x y x 1 y y t gt 2 x y gt 2 x y Coordenadas de posição do projéctil, em função do tempo Componentes algébricas da elocidade 6

7 EXERCÍCIO 1 Da janela de um quinto andar, a 2, m de altura, deixa-se cair um aso de 2,5 kg de massa. Considere desprezáel a resistência do ar. Faça g = 9,8 m/s 2. a) Represente e identifique num esquema a força que actua no aso, bem como os ectores das suas elocidade e aceleração, quando este passa num ponto qualquer da trajectória que descree durante a queda. b) Determine o tempo que o aso demora a atingir o solo. c) Determine a elocidade com que o aso atinge o solo. b) t = 2,2 s c) = - 19,8 m/s EXERCÍCIO 2 Durante um jogo de ténis, um jogador faz um seriço em que a bola é lançada, horizontalmente, com uma elocidade de 25, m.s -1 (9 km.h -1 ). A rede tem uma altura de,9 m e está situada a 12, m do local de seriço. A resistência do ar pode ser desprezada. a) Escrea as equações que permitem identificar as posições (em x e em y) da bola com o tempo. b) Determine a altura mínima (h) a que dee ser batida a bola para que não toque na rede. c) Calcule a distância (d) entre o ponto em que a bola bate no solo e a rede. a) x = 25 t e y = h 5 t 2 b) h = 2,1 m c) d = 4,2 m 7

8 AS COMPONENTES DA FORÇA Num moimento curilíneo, a resultante das forças está sempre dirigida para o interior da cura. A força pode ser decomposta nas suas componentes: Uma que é perpendicular à trajectória no ponto considerado, a componente normal, F n. Outra que actua na direcção da elocidade, a componente tangencial, F t. TRAJECTÓRIA CONSOANTE AS ORIENTAÇÕES DA FORÇA E DA VELOCIDADE INICIAL Os lançamentos oblíquos e os lançamentos horizontais de projécteis são exemplos de moimentos em que a direcção da resultante das forças que actuam num corpo é diferente da direcção da elocidade desse corpo. Se a força fizer um certo ângulo não nulo com a elocidade, a trajectória será obrigatoriamente curilínea. 8

9 TRAJECTÓRIA CONSOANTE AS ORIENTAÇÕES DA FORÇA E DA VELOCIDADE INICIAL Nota: Quando a força resultante é, em cada instante, perpendicular à direcção da elocidade o que implica F t =, a ariação da elocidade, apenas aria a sua direcção o moimento é circular e uniforme. COMO É QUE UM SATÉLITE PERMANECE EM ORBITA? «Qualquer corpo abandonado em repouso e sujeito à atracção graítica terrestre cairá erticalmente para a Terra. No entanto, se for lançado com uma certa elocidade numa direcção não ertical, irá atingir a superfície terrestre a uma distância tanto maior do ponto de lançamento, quanto maior for a elocidade que lhe for inicialmente comunicada.» Experiência de Newton Isaac Newton idealizou um canhão situado no cume de uma montanha. As balas eram projectadas praticamente paralelas à superfície da terra, a elocidades crescentes. Cada uma das balas caía na superfície da Terra, atraídas pela força graítica, a distâncias cada ez maiores em relação ao canhão. Pensou: Se a elocidade de lançamento da bala for suficientemente eleada, talez a bala descrea uma trajectória circular, acompanhando a curatura da Terra... 9

10 COMO É QUE UM SATÉLITE PERMANECE EM ORBITA? Tal como Newton pensou, para que um satélite artificial seja colocado em órbita circular em torno da Terra, é necessário eleá-lo até uma certa altura (em relação à superfície terrestre) e imprimir-lhe uma elocidade bem determinada. Essa elocidade de lançamento terá de ser suficientemente grande para encer a força graítica. COMO É QUE UM SATÉLITE PERMANECE EM ORBITA? Tal como no caso de um satélite artificial, a Lua descree uma órbita praticamente circular em torno da Terra, sendo a força graítica sempre perpendicular à elocidade. A elocidade só aria em direcção, e não o seu módulo, porque a força graítica é sempre perpendicular à elocidade. A elocidade tem um alor tal que permite o seu moimento em órbita. A força graítica é radial, centrípeta e constante em intensidade. 1

11 COMO É QUE UM SATÉLITE PERMANECE EM ORBITA? Os satélites não caem para a Terra porque no momento em que ficam sujeitos exclusiamente à acção graítica terrestre possuem uma elocidade bem definida em módulo, direcção e sentido. MOVIMENTO DE UM SATÉLITE EM TORNO DA TERRA A única força que actua sobre um satélite geostacionário é a força graitacional, o que prooca uma mudança constante da direcção do ector elocidade, embora não altere o seu alor (intensidade). De acordo com estas condições, descree-se o moimento de um satélite como sendo um moimento circular uniforme (m.c.u.). 11

12 MOVIMENTO DE SATÉLITES 12

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