Resposta da questão. A figura ilustra as duas situações, descida e subida.

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1 1) Em atmosfera de ar calmo e densidade uniforme d a, um balão aerostático, inicialmente de densidade d, desce verticalmente com aceleração constante de módulo a. A seguir, devido a uma variação de massa e de volume, o balão passa a subir verticalmente com aceleração de mesmo módulo a. Determine a variação relativa do volume em função da variação relativa da massa e das densidades d a e d. A figura ilustra as duas situações, descida e subida. Desprezando o atrito com o ar, a resultante das forças sobre o balão é entre o Peso e o Empuxo. Aplicando o Princípio Fundamental da Dinâmica às duas situações: Descida : P1 E1 m1 a I. Subida : E P m a II. Isolando o volume em (I): m g d V g m a d V g m g a 1 a 1 1 a 1 1 m1 g a V 1 III. d g a Ainda em (I), isolando a aceleração:

2 d V g d V g d V a V g d d V d a 1 a a 1 d d a g a IV. d Isolando o volume em (II): d V g m g m a d V g m a g a a m g a V V. d g a Dividindo (V) por (III) e substituindo (IV) no resultado obtido: d da d da g g g1 V m g a V m d V m d V1 m1 g a V1 m1 d da V1 m1 d d g g g1 a d d d d da V m d V m d da V1 m1 d d d a V1 m1 da d V m d 1. V1 m1 da Mas: V V1 ΔV e m m1 Δm. Então: V1 V m1 m d V m d V1 m1 da V1 m1 da V md V1 m1 da ) O GPS (sigla em inglês para sistema global de posicionamento) é composto por uma malha de 4 satélites que orbitam a Terra a uma altitude fixa e com velocidade constante. Nesses satélites estão instalados relógios atômicos que podem aferir o tempo com precisão de nanossegundos. Os satélites emitem ondas eletromagnéticas que se propagam com a velocidade da luz c. Essas ondas são codificadas de modo a fornecer

3 as coordenadas do satélite e o instante em que o sinal foi emitido. Num certo instante t, o receptor capta os sinais de vários satélites e, a partir dos sinais obtidos de quatro satélites distintos, calcula as coordenadas (x, y, z) do receptor e o instante de tempo da recepção. A figura a seguir representa uma versão unidimensional de um GPS, na qual os satélites foram substituídos por duas antenas fixas que emitem sinais informando suas posições e os instantes da emissão (X 1, t 1 ) e (X, t ). Um veículo equipado com um GPS, que se move em uma dimensão, pode ter sua localização X e o instante t conhecidos, obtendo simultaneamente os sinais das duas antenas. Considerando o exposto, determine as equações que fornecem a posição e o instante de tempo do veículo (X e t) em função das coordenadas das antenas, dos instantes de emissão e da velocidade da luz c. Do movimento uniforme: S = vt, sendo v é a velocidade da luz: v = c. Assim: X ct Para a antena 1: X X 1 = c(t t 1 ) X = X 1 + c(t t 1 ) (equação I) Para a antena : X X = -c(t = t ) X = X c(t t ) (equação II) Somando essas duas equações (I + II), vem: X + X = [X 1 + c(t t 1 )] + [ X c(t t )] X = X 1 + X + c(t t 1 t + t ) X = X1 X c(t t 1)

4 X X c t t 1 X =. 1 Subtraindo essas equações (I II), vem X X = [X 1 + c(t t 1 )] [X c(t t )] 0 = X 1 X + c(t t 1 + t t ) 0 = X 1 X + ct + c(-t 1 t ). Da figura dada: X 1 = X L. Então: 0 = X L X + ct c(t 1 + t ) L + c(t 1 + t ) = ct t = L t t c 1 3) Em uma prova de atletismo, um corredor, que participa da prova de 100 m rasos, parte do repouso, corre com aceleração constante nos primeiros 50 m e depois mantém a velocidade constante até o final da prova. Sabendo que a prova foi completada em 10 s, calcule o valor da aceleração, da velocidade atingida pelo atleta no final da primeira metade da prova e dos intervalos de tempo de cada percurso. - Cálculo da velocidade. Dados: ΔS1 50m; ΔS 50m. Construindo o gráfico da velocidade em função do tempo para os 10 segundos:

5 Sabemos que no gráfico da velocidade em função do tempo, a área entre a linha do gráfico e o eixo dos tempos é numericamente igual ao espaço percorrido. Então: v t v t ΔS1 A 1 50 v t 100 I ΔS A v 10 t 50 v 10 t v v t II (I) em (II): v 100 v 15 m/s. - Cálculo da aceleração. Aplicando a equação de Torricelli no trecho acelerado: 0 Δ 1 v v a S 15 0 a a a,5 m/s. - Cálculo os tempos. Voltando em (I): v t t 100 t t s Então, conforme mostra o gráfico: 0 Δt1 t Δt 1 s Δt 10 t 10 Δt s ) Para fazer um projeto da barragem de uma usina hidrelétrica de 19,8 m de altura, o projetista considerou um pequeno volume de água Δ V caindo do topo da barragem a uma velocidade inicial de m/s sobre as turbinas na base da barragem. Considerando o exposto, calcule a velocidade do volume de água barragem. Δ V ao chegar à turbina na base da

6 Dados: v 0 = m/s; h = 19,8 m; g =10 m/s. Desprezando a ação de forças dissipativas, podemos aplicar a conservação da energia mecânica: final inicial mv mv0 Mec Mec 0 E E m g h v v g h v ,8 v 400 v 0 m/s. 5) O atleta húngaro Krisztian Pars conquistou medalha de ouro na olimpíada de Londres no lançamento de martelo. Após girar sobre si próprio, o atleta lança a bola a 0,50m acima do solo, com velocidade linear inicial que forma um ângulo de 45 com a horizontal. A bola toca o solo após percorrer a distância horizontal de 80m. Nas condições descritas do movimento parabólico da bola, considerando a aceleração da gravidade no local igual a 10 m/s, igual a 1,4 e desprezando-se as perdas de energia mecânica durante o voo da bola, determine, aproximadamente, o módulo da velocidade de lançamento da bola, em m/s. Dados: A = 80 m; = 1,4; g = 10 m/s.

7 As componentes da velocidade inicial são: vox voy v0 cos 45 vox voy v 0 vox voy 0,7v 0. Desprezando a altura inicial do lançamento, a expressão do alcance horizontal (A) é: 0 0 v0 v A sen θ 80 sen 90 v ,4 g 10 v 8 m / s. 6) Um corpo esférico, pequeno e de massa 0,1 kg, sujeito a aceleração gravitacional de 10 m/s, é solto na borda de uma pista que tem a forma de uma depressão hemisférica, de atrito desprezível e de raio 0 cm, conforme apresentado na figura. Na parte mais baixa da pista, o corpo sofre uma colisão frontal com outro corpo, idêntico e em repouso. Considerando que a colisão relatada seja totalmente inelástica, determine o módulo da velocidade dos corpos, em m/s, imediatamente após a colisão e a intensidade da força de reação, em newtons, que a pista exerce sobre os corpos unidos no instante em que, após a colisão, atingem a altura máxima. Pela conservação da energia mecânica, calculamos a velocidade (v), antes da colisão, do corpo esférico que é abandonado. Dados: v 0 = 0; H = R = 0 cm = 0, m; g = 10 m/s. inicial final mv EMec E Mec mgr v gr 10 0, v m / s. Como o choque é inelástico, pelo teorema do sistema isolado, calculamos a velocidade (v ) do conjunto após a colisão.

8 antes depois v Qsist Q sist mv mv' v' v' 1 m / s. Usando novamente a conservação da energia mecânica, calculamos a altura (h) atingida pelo conjunto formado pelos dois corpos esféricos. inicial final mv' v' 1 EMec E Mec mgh h h 0,05 m. g 0 Nessa altura, a velocidade se anula. Então a intensidade da forma normal F aplicada pela pista tem a mesma intensidade da componente radial P da força peso do conjunto. n n Na figura, as medidas estão expressas em cm. No triângulo hachurado: 15 cos 0,75. 0 F P mgcos 0,1 10 0,75 F 1,5 N. n n n