28/Set/ Movimento a uma dimensão Aceleração constante Queda livre 3.2 Movimento 2 e 3-D Vetor deslocamento 3.2.

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Lavínia Igrejas Aquino
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28/Set/2016 3.1 Movimento a uma dimensão 3.1.1 Aceleração constante 3.

2.2 Vetor velocidade 3.2.3 Vetor aceleração 3.

1 28/Set/ Movimento a uma dimensão Aceleração constante Queda livre 3.2 Movimento 2 e 3-D Vetor deslocamento Vetor velocidade Vetor aceleração 3.3 Movimento relativo Referenciais de inércia Posição relativa 1

2 3.1.1 Aceleração constante Se a aceleração for constante, a velocidade varia linearmente com o tempo: v = v 0 + at Declive constante Declive variável Aceleração constante 1 vav v0 + v 2 ( ) Aceleração variável a x = dv x dt = d dt dx dt = d 2 x dt 2 2

3 3.1.1 Aceleração constante Velocidade em função do tempo: a x = dv x dt Posição em função do tempo: v x = a x dt = a x dt = a x t + v 0x v x = dx dt v x (t) v x (t 2 ) x = ( a x t + v 0x )dt = a x t dt + v 0x dt = 1 2 a x t2 + v 0x t + x 0 v x = v 0x + at v x (0) Area 0 0 t 2 t 3

4 3.1.1 Aceleração constante 4

5 3.1.1 Aceleração constante A velocidade e a aceleração são grandezas vetoriais: v aumenta v diminui v diminui v aumenta 5

6 Exemplo Um condutor, deslocando-se num automóvel a 11,4 m/s, vê um obstáculo e começa a travar, com uma aceleração de -3,8 m/s 2. a) Se o obstáculo estiver a 20 m de distância, quando a travagem começa, qual é a separação final entre o carro e o obstáculo? b) Quanto tempo demora o carro a parar? a) v 2 = v aΔx Δx = v2 2 v 0 2a =17,1 m = (0)2 (11,4 m/s) 2 2( 3,80 m/s 2 ) d = 20,0 m 17,1 m = 2,9 m b) v = v 0 + at = 0 t = v 0 a = (11,4 m/s) ( 3,80 m/s 2 ) = 3,0 s

7 3.1.2 Queda livre Se um objeto cair, estando sujeito à resistência do ar, não cai em queda livre. 7

8 3.1.2 Queda livre Para cair em queda livre, só pode estar apenas sob a influência da gravidade. Num dado local, a aceleração devido à gravidade é uma constante (g). g = 9,80 m/s 2 It goes from zero to 60 in about 3 seconds. ( Sydney Harris.) 8

9 3.1.2 Queda livre A figura mostra dois objetos numa câmara de vácuo, com massas e formas diferentes, a caírem apenas sob a ação da gravidade. Se se considerar que o sentido +y aponta para baixo, então a = +g; se se considerar que esse é o sentido y, então a = -g. Note-se que o valor de g é sempre positivo, mas o de a pode ser positivo ou negativo. 9

10 3.1.2 Queda livre Queda livre a partir do repouso: v x = v 0x + a x t = 0 + gt x = 1 2 a x t2 + v 0x t + x 0 = 1 2 gt Método de resolução: 1) Determinar o que é pedido (tempo, distância, velocidade, aceleração, ) 2) Desenhar o objeto nas posições inicial e final. Definir o sistema de eixos. 3) Selecionar as equações relevantes e resolvê-las. Só no fim, substituir os valores dados e calcular o resultado. 4) Verificar se o resultado tem as dimensões certas e o valor esperado. 10

Exemplo Um objeto é atirado para cima, na vertical, com uma velocidade inicial de 14,7 m/s. A resistência do ar pode ser desprezada. a) Quando é que o objeto atinge a altura máxima?

11 Exemplo Um objeto é atirado para cima, na vertical, com uma velocidade inicial de 14,7 m/s. A resistência do ar pode ser desprezada. a) Quando é que o objeto atinge a altura máxima? b) Qual é essa altura? c) Se for apanhado à mesma altura em que foi atirado, qual é o tempo total de voo? a) b) v fy = v 0 y + a y t f t f = 0 v 0 y a y y f = y 0 + v 0 y t f a y t 2 f = 0 (14,7 m/s) 9,81 m/s 2 =1,5 s y f y 0 = ( 14,7m/s) ( 1,5s) + 1 ( 2 9,8m/s ) ( 1,5s) 2 =11,0m c) y = y 0 v 0 y t a y t2 = v 0 y a y t t = 0 t = 0 ou t = v 0 y a y / 2 = 14,7m/s ( 9,8m/s 2 = 3,0s ) / 2 11

12 Exemplo Um objeto é atirado para cima, na vertical, com uma velocidade inicial de 14,7 m/s. A resistência do ar pode ser desprezada. a) Quando é que o objeto atinge a altura máxima? b) Qual é essa altura? c) Se for apanhado à mesma altura em que foi atirado, qual é o tempo total de voo? 12

13 3.2 Movimento 2 e 3-D Um barco está na posição (130 m, 205 m) no instante t 1 =0,0 s. Dois minutos depois, está em (110 m, 218 m). Equações do movimento: v x = v 0x + a x t x = x 0 + v 0x t a x t2 v y = v 0 y + a y t y = y 0 + v 0 y t a y t2 13

14 3.2 Movimento 2 e 3-D e x = ˆx = î = (1,0,0) = versor da direção +x e y = ŷ = ĵ = (0,1,0) = versor da direção + y e z = ẑ = ˆk = (0,0,1) = versor da direção +z A = A x ex + A y ey + A z ez = A x + A y + A k = A x ˆx + A y ŷ + A z ẑ = (A x, A y, A z ) 14

15 3.2 Movimento 2 e 3-D Um barco está na posição (130 m, 205 m) no instante t 1 =0,0 s. Dois minutos depois, está em (110 m, 218 m). v média = v x média ˆx + v y média ŷ v x média = Δx Δt v y média = Δy Δt = 110 m 130 m 120 s = 218 m 205 m 120 s = 0,167 m/s = 0,108 m/s v média = ( 0,167 m/s) ˆx + (0,108 m/s) ŷ v média = ( 0,167 m/s) 2 + (0,108 m/s) 2 = 0,199 m/s θ = arctg 0,108 m/s 0,167 m/s =147o 15

16 3.2.1 Vetor deslocamento r = x ˆx + yŷ Δ r = r 2 r 1 Δ r = r 2 r 1 = (x 2 ˆx + y 2 ŷ) (x 1 ˆx + y 1 ŷ) = Δxˆx + Δy ŷ 16

17 3.2.2 Vetor velocidade v média = Δ r Δt v = lim Δt 0 Δ r Δt Δ r = r 2 r 1 = (x 2 ˆx + y 2 ŷ) (x 1 ˆx + y 1 ŷ) = Δx ˆx + Δy ŷ Δ r v = lim Δt 0 Δt = lim Δx ˆx + Δy ŷ Δt 0 Δt = lim Δt 0 Δx Δt ˆx + lim Δt 0 Δy Δt ŷ v = v x ˆx + v y ŷ v = v x 2 + vy 2 ; θ = arctg v y v x 17

18 3.2.3 Vetor aceleração a média = Δ v Δt ; Δ v a = lim Δt 0 Δt v = v x ˆx + v y ŷ + v z ẑ = lim Δt 0 Δx Δt Δy ˆx + Δt ŷ + Δz Δt ẑ a = lim Δt 0 Δv x Δt ˆx + Δv y Δt ŷ + Δv z Δt ẑ = a x ˆx + a y ŷ + a zẑ Δv a x = lim x Δt 0 Δt ; a y = lim Δv y Δt 0 Δt ; a z = lim Δv z Δt 0 Δt 18

3.3.1 Referenciais de inércia Referencial de inércia: qualquer sistema de coordenadas que esteja em repouso ou que se desloque em qualquer direção, com

19 3.3.1 Referenciais de inércia Referencial de inércia: qualquer sistema de coordenadas que esteja em repouso ou que se desloque em qualquer direção, com velocidade constante. Exemplo: a velocidade do passageiro, relativamente ao chão, depende dos sentidos relativos das velocidades do passageiro e do comboio. 19

20 3.3.1 Referenciais de inércia Referencial de inércia: qualquer sistema de coordenadas que esteja em repouso ou que se desloque em qualquer direção, com velocidade constante. v passageiro, chão = v passageiro, comboio + v comboio, chão 20

3.3.1 Referenciais de inércia Amy, Bill e Carlos medem a velocidade do corredor. Os vetores velocidade (a verde) são mostrados no referencial da Amy.

21 3.3.1 Referenciais de inércia Amy, Bill e Carlos medem a velocidade do corredor. Os vetores velocidade (a verde) são mostrados no referencial da Amy. Qual é a velocidade do corredor? A resposta depende do referencial do observador: Amy: v corredor = 5 m/s Bill: v corredor = 0 m/s Carlos: v corredor =-10 m/s 21

22 3.3.2 Posição relativa A posição também depende do referencial. As posições medidas num referencial podem ser transformadas para outro referencial. r = r '+ R = r '+ Vt r ' = r R = r Vt x = x'+v x t; y = y'+v y t; x' = x V x t y' = y V y t 22

23 3.3.2 Posição relativa A velocidade também depende do referencial. As velocidades medidas num referencial podem ser transformadas para outro referencial. v pa z z v pb = v pa + v AB x A v AB y B y x v pg = v pc + v CG 23

24 Exemplo Mike atira uma bola, segundo um ângulo de 63º com o plano horizontal e com uma velocidade de 22m/s, exatamente no instante em que Nancy passa por ele. A Nancy desloca-se à velocidade constante de 10m/s. Qual é a trajetória da bola, a) que o Mike vê? b) que a Nancy vê? a) Mike: v 0x = v 0 cosθ = (22 m/s) cos 63 =10,0 m/s; v 0 y = v 0 senθ = (22 m/s) sen 63 =19,6 m/s; x = x 0 + v 0x (t t 0 ) =10,0 t m; y = y 0 + v 0 y (t t 0 ) 1 2 g(t t 0 )2 = (19,6 t - 4,9 t 2 ) m; y max =19,6 m, para t = 2 s, e y 0 para t = 4 s. b) Nancy: x' = x V x t = (10,0 t -10,0 t)m = 0 m; y' = y V y t = y; Portanto, a bola sobe e desce na vertical e o Mike desloca-se para trás, a 10 m/s. 24

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