CÁLCULO I. 1 Taxa de Variação. Objetivos da Aula. Aula n o 10: Taxa de Variação, Velocidade, Aceleração e Taxas Relacionadas. Denir taxa de variação;

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1 CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 10: Taxa de Variação, Velocidade, Aceleração e Taxas Relacionadas Objetivos da Aula Denir taxa de variação; Usar as regras de derivação no cálculo de taxas instantâneas de variação; Resolver problemas envolvendo taxas relacionadas. 1 Taxa de Variação Suponha que y seja uma quantidade que depende de outra quantidade x. Assim, y é uma função de x e escrevemos y = f(x). Se x variar de x 1 a x 2, então a variação em x (também chamada de incremento) será x = x 2 x 1 e a variação correspondente em y será De posse destas informações, denimos: y = f(x 2 ) f(x 1 ). Denição 1 (Taxa média de variação de y em relação a x). O quociente das diferenças y x = f(x 2) f(x 1 ) x 2 x 1 é denominado taxa de variação de y em relação a x no intervalo [x 1, x 2 ] e pode ser interpretado como a inclinação da reta secante P Q. Observe gracamente: 1

2 Exemplo 1. A temperatura Fahrenheit F é dada em termos da temperatura Celsius C pela fórmula F = 1, 8C Determine a taxa média de variação de F em relação a C quando a temperatura passa de 20 C a 30 C. Considerando o intervalo dado: [20, 30], temos: F C = F (30) F (20) = = 1, 8 F/ C. Isto signica que no intervalo considerado, cada aumento de 1 C corresponde a um aumento de 1,8 F, ou seja, a temperatura em Farenheit aumenta 1,8 vezes mais rapidamente que em Celsius. 2 Taxa Instantânea de Variação Se uma quantidade y é função de uma quantidade x, isto é, y = f(x), já vimos que a taxa média de variação de y por unidade de variação em x, no intervalo [x 1, x 1 + x], é dada por: y x = f(x 1 + x) f(x 1 ). x O "limite" deste quociente, quando x 0, isto é, f(x 1 + x) f(x 1 ) lim x 0 x (1) e o que denimos como a taxa (instantânea) de variação de y em relação a x em x = x 1. Exemplo 2. Usando a função dada no Exemplo 1, determine a taxa de variação de F em relação a C quando C=20. C 0. Inicialmente vamos calcular a taxa média de F em relação a C no intervalo [20, 20 + C], com Taxa Média = F C Assim, a taxa instantânea quando C = 20 é dada por: lim 1, 8 = 1, 8. C 0 = 1, 8. Uma vez que a taxa média é constante, independe do valor atribuído a C, segue que a taxa de variação de F em relação a C quando C = 20 C é 1,8 F/ C. É importante destacar que o limite da equação (1) é a derivada f (x 1 ). Geometricamente, f (a) é a inclinação da reta tangente à curva y = f(x), quando x = a. Assim, temos uma segunda interpretação: A derivada f (a) é a taxa instantânea de variação de y = f(x) em relação a x quando x = a. Exemplo 3. O custo em real da fabricação de x brinquedos é dado pela função: C(x) = x + 0, 02x 2 Encontre a taxa com a qual o custo está variando quando x = 40. A taxa (instantânea) de variação de C(x) em x 1 = 40 é dada por C (40). Como C (x) = 4 + 0, 04x C (40) = 5, 6 reais. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 2

3 Exemplo 4. Se a água de uma piscina está sendo escoada e V (t) = 250(40 t) 2 litros é o volume de água na piscina t minutos após o escoamento ter começado, encontre a velocidade com que a água ui da piscina 5 minutos após o escoamento ter começado. com: Segue que: Como V (t) é uma função composta, usaremos a regra da cadeia. Fazendo u = 40 t, camos V = 250u 2 e u = 40 t = du.du = 500u = 500(40 t). Assim: = 500(40 5) = L/min. t=5 3 Velocidade e Aceleração Suponha que uma partícula se move ao longo de uma reta horizontal com sua posição no instante t dada pela função posição x(t). Quando o tempo sofre uma variação de t a t + t, a partícula se move da posição x(t) a x(t + t). O deslocamento da partícula, neste intervalo de tempo, é então dado por: x = x(t + t) x(t). Calculamos a velocidade média v da partícula, dividindo o deslocamento pelo tempo gasto neste deslocamento. Assim, x(t + t) x(t) v = t E denimos a velocidade instantânea v da partícula no instante t, como o limite da velocidade média, quando t 0, isto é, x(t + t) x(t) v(t) = lim = dx t 0 t. (2) De modo análogo, denimos a acelaração a da partícula como a taxa de variação instantânea de sua velocidade: v(t + t) v(t) a(t) = lim = dv t 0 t. (3) Exemplo 5. Um carro está viajando a velocidade de 80 km/h quando repentinamente o motorista pisa no freio. A função posição do carro em derrapagem é dada por x(t) = 80t 2400t 2. Por qual distância e durante quanto tempo o carro continua derrapando até parar? Consideremos o instante em que o motorista pisa no freio como t = 0. A velocidade do carro t horas após ele ter pisado no freio é dada por v(t) = dx = t. No momento em que o carro parar sua velocidade é nula. Fazendo então: v(t) = t = 0 t = 1 60 h = 1 min. Usando a equação de posição, podemos encontrar distância percorrida neste intervalo de tempo. Temos: ( ) 1 x = km. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 3

4 Exemplo 6. Um foguete lançado verticalmente para cima é rastreado por um estação localizado no solo a 8 km da plataforma de lançamento. Suponha que o ângulo θ de elevação da linha de visão até o foguete esteja aumentando de π 60 radianos por segundo, quando θ = π 3 neste instante. rad. Determine a velocidade do foguete Vamos considerar y(t) a função que dá a altura (em km) do foguete t segundos após o lança- mento. Das relações trigonométricas no triângulo retângulo ABC, temos: tg(θ) = y(t) 8 y(t) = 8tg(θ). Dos dados do problema, temos de Então: dθ v(t) = dy = dy dθ.dθ = 8 sec2 x dθ t= π 3 = π 60 rad/s. dy θ= π 3 ( = 9 sec 2 π ). π 1, 68 km/s Taxas Relacionadas Suponha que duas variáveis x e y sejam funções de uma terceira variável t, isto é, Como já vimos anteriormente, as derivadas x = f(t) e y = g(t). dx = f (t) e dy = g (t) são interpretadas como as taxas de variação, respectivamente, de x e y em relação a variável t. Se estas variáveis estão relacionadas por meio de alguma equação: Q(x(t), y(t)) = 0 derivando esta equação em relação a t, obtemos também uma equação relacionando as derivadas dx e dy : Neste caso, dx e dy d [Q(x(t), y(t))] = 0. são chamadas de taxas relacionadas. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 4

5 Exemplo da 7. Se a área A de um círculo com raio r e o círculo expande à medida que o tempo passa, dr encontre em termos de. Sabemos que área A de um círculo de raio r é dada por: A = πr 2 Como, tanto área, quanto raio variam no tempo, temos A = A(t) e r = r(t). Para encontrar da dr, basta derivar em relação ao tempo, a fórmula acima membro a membro usando derivada implícita e regrada cadeia em relação a r = r(t). Temos assim: da = d (πr2 ) = 2πr dr Exemplo 8. Suponha que petróleo vaze por uma ruptura de um petroleiro e espalha-se em um padrão circular. Se o raio do petróleo derramado crescer a uma taxa constante de 1m/s, quão rápido a área do vazamento está crescendo quando a raio é igual a 30 m. Como o raio do petróleo derramado crescer a uma taxa constante de 1 m/s, signica que dr = 1 m/s e quando r = 30 m, a área do vazamento estará crescendo conforme da dr 2πr = 2π.30.1 = 60π m2 /s. Exemplo 9. Um tanque cilíndrico com raio de 5 m está recebendo água a uma taxa de 3 m 3 /min. Quão rápido a altura de água está aumentando? Temos que: V = πr 2 h Derivando esta equação em relação a t, lembrando que V e h são funções de t: = 2πr dh e substituindo nesta equação os valores dados no problema, temos: = 2πr dh dh = 3 25π m/min. Exemplo 10. Um tanque de água possui o formato de um cone circular reto invertido com raio da base igual a 10 m e altura igual a 15 m. Se a água está sendo bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 0,1 m 3 /min, encontre a taxa na qual o nível da água está aumentando quando a água estiver a 5 m de profundidade. Sabemos que o volume do reservatório é dado por: V = 1 3 πr2 h Note que a equação acima possui duas variáveis, r e h. escrevendo-a em função da outra. Observe que: Sendo assim, vamos eliminar uma delas, Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 5

6 Logo, por semelhança de triângulos, temos: 15 h = 10 r r = 2 3 h. Deste modo, podemos escrever o volume como: Derivando em relação a t, obtemos: V = 1 3 π ( 2 3 h ) 2 h V = 4 27 πh3 = 4π 27.3h2. dh = 4π 9.h2. dh. Substituindo os dados da questão na equação anterior, temos: = 4π 9.h2. dh = 0, 9 100π m/s. Resumo Faça um guia para a resolução de problemas envolvendo taxas relacionadas. Aprofundando o conteúdo Leia mais sobre o contúeudo desta aula no Capítulo 3 - Seções 3.5 e 3.9 do livro texto. Sugestão de exercícios Resolva os exercícios das seções 3.5 e 3.9 do livro texto. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 6