21/Fev/2018 Aula 2. 19/Fev/2018 Aula 1

Transcrição

1 19/Fev/018 Aula Conceitos gerais Introdução 1.1. Unidades Dimensões Estimativas Resolução de problemas - método Escalares e vetores 1. Descrição do movimento 1..1 Distância e deslocamento 1.. Rapidez e velocidade 1..3 Velocidade instantânea 1..4 Aceleração 1..5 Posição, velocidade e aceleração 1/Fev/018 Aula.1 Queda livre. Movimento e 3-D..1 Vetor deslocamento.. Vetor velocidade..3 Vetor aceleração.3 Lançamento de projétil.3.1 Independência dos movimentos.3. Forma vetorial.3.3 ângulo de lançamento.3.4 Alcance 1

2 Aula anterior Dimensões Todas as equações físicas tem de ser dimensionalmente consistentes: os dois lados da equação têm de ter as mesmas dimensões. Table 1- Dimensions of Physical Quantities Quantity Symbol Dimension Area A L Volume V L 3 Speed LT > Acceleration a LT > Force F ML> T Pressure (F> A) p MLT > Density (M> V) r ML > 3 Energy E ML > T v A partir desta Tabela: Distância = velocidade tempo Velocidade= aceleração tempo Energia = massa (velocidade) As unidades da maior parte das grandezas físicas podem ser expressas como combinações das unidades da massa, do comprimento e do tempo (kg, m, s). Power (E> T) P ML > T 3

3 Aula anterior Escalares e vetores 3

4 Aula anterior 1..1 Distância e deslocamento Distância é o percurso total percorrido. Exemplo: a distância BCA é igual a 4 km + 4 km + km = 10 km. A B C km 4 km Deslocamento é a variação da posição, durante um certo intervalo de tempo. Exemplo: o deslocamento BCA é igual a - km, mas a distância BCA é igual a 1 km. Δx = x f x i 4

5 Aula anterior 1.. Rapidez e velocidade A rapidez é o quociente entre a distância percorrida e o intervalo de tempo decorrido: rapidez = distância tempo = s Δt A velocidade é o quociente entre o deslocamento efetuado e o intervalo de tempo decorrido: v x = Δx Δt = x f x i t f t i 8 s rapidez = s Δt = 50,0 m +50,0 m 48,0 s 0 =,08 m/s v sprint = Δx Δt = 50,0 m 0 8,0 s 0 = 6,5 m/s 48 s v walk = Δx Δt = 0 50,0m 48,0 s 8,0 s v média = Δx Δt = 0 48,0 s 0 = 1,5 m/s = 0,0 m/s 5

6 Aula anterior 1..3 Velocidade instantânea Se se conseguir determinar a velocidade em intervalos de tempo cada vez mais pequenos, até se tornarem infinitamente pequenos, conseguir-se-á obter a velocidade instantânea: v x = Δx Δt = x f x i t f t i v x = lim Δt 0 Δx Δt v x = dx dt Interpretação gráfica das velocidades média e instantânea: 6

7 .1 Queda livre Se um objeto cair, estando sujeito à resistência do ar, não cai em queda livre. 7

8 .1 Queda livre Para cair em queda livre, só pode estar apenas sob a influência da gravidade. Num dado local, a aceleração devido à gravidade é uma constante (g). g = 9,80 m/s It goes from zero to 60 in about 3 seconds. ( Sydney Harris.) 8

9 .1 Queda livre Velocidade em função do tempo: a x = dv x dt Posição em função do tempo: v x = a x dt = a x dt = a x t + v 0x v x = dx dt v x (t) v x (t ) x = ( a x t + v 0x )dt = a x t dt + v 0x dt = 1 a x t + v 0x t + x 0 v x = v 0x + at v x (0) Area 0 0 t t 9

10 .1 Queda livre A figura mostra dois objetos numa câmara de vácuo, com massas e formas diferentes, a caírem apenas sob a ação da gravidade. Se se considerar que o sentido +y aponta para baixo, então a = +g; se se considerar que esse é o sentido y, então a = -g. Note-se que o valor de g é sempre positivo, mas o de a pode ser positivo ou negativo. Queda livre filme 10

11 .1 Queda livre Queda livre a partir do repouso: v x = v 0x + a x t = 0 + gt x = 1 a x t + v 0x t + x 0 = 1 gt Método de resolução: 1) Determinar o que é pedido (tempo, distância, velocidade, aceleração, ) ) Desenhar o objeto nas posições inicial e final. Definir o sistema de eixos. 3) Selecionar as equações relevantes e resolvê-las. Só no fim, substituir os valores dados e calcular o resultado. 4) Verificar se o resultado tem as dimensões certas e o valor esperado. 11

12 .1 Queda livre 1

13 Exemplo Um geólogo mede o tempo de voo de um pedaço de lava, expelido por um vulcão. Admita que o tempo total é 4,75 s. Determine: a) a velocidade inicial; b) a altura máxima atingida. a) x = x 0 + v 0x t + 1 a x t v x = v 0x + a x t Δx = 0 = t (v 0 1 g t) t = 0 ou v 0 1 g t = 0 v 0 = 1 g t = 1 (9,81 m/s )(4,75 s) = 3,3 m/s b) A altura máxima ocorre para t = t voo t x x 0 = v voo 0x + 1 a t voo x ( ) = ( 3,3 m/s) 4,75 s + 1 ( ) 4,75 s 9,81 m/s = 7,7 m 13

14 . Movimento e 3-D Equações do movimento: v x = v 0x + a x t x = x 0 + v 0x t + 1 a x t v y = v 0 y + a y t y = y 0 + v 0 y t + 1 a y t y Particle (x, y) r = xî + yĵ yĵ xî x 14

15 . Movimento e 3-D Equações do movimento: r S r S rs 1 (x x 1 )in (y y 1 )j n xi n yj n v S b lim ts0 r S t xi a n yj n lim ts0 t lim a x ts0 t b in lim a y ts0 t b jn v S dx dt in dy dt jn v x i n v y j n a b a 15

16 . Movimento e 3-D Uma partícula p move-se com velocidade v pa, relativamente a um referencial A. Por sua vez, este move-se com velocidade v AB, relativamente ao referencial B. A velocidade da partícula relativamente ao referencial B é v S pb vs pa vs AB 16

17 . Movimento e 3-D e x = ˆx = î = (1,0,0) = versor da direção +x e y = ŷ = ĵ = (0,1,0) = versor da direção + y e z = ẑ = ˆk = (0,0,1) = versor da direção +z A = A x ex + A y ey + A z ez = A x + A y + A k = A x ˆx + A y ŷ + A z ẑ = (A x, A y, A z ) 17

18 . Movimento e 3-D Um barco está na posição (130 m, 05 m) no instante t 1 =0,0 s. Dois minutos depois, está em (110 m, 18 m). v x média = Δx Δt v y média = Δy Δt v média = v x média ˆx + v y média ŷ = 110 m 130 m 10 s = 18 m 05 m 10 s = 0,167 m/s = 0,108 m/s v média = ( 0,167 m/s) ˆx + (0,108 m/s) ŷ v média = ( 0,167 m/s) + (0,108 m/s) = 0,199 m/s θ = arctg 0,108 m/s 0,167 m/s =147o 18

19 ..1 Vetor deslocamento r = x ˆx + yŷ Δ r = r r 1 = (x ˆx + y ŷ) (x 1 ˆx + y 1 ŷ) = Δxˆx + Δy ŷ 19

20 .. Vetor velocidade v média = Δ r Δt v = lim Δt 0 Δ r Δt Δ r = r r 1 = (x ˆx + y ŷ) (x 1 ˆx + y 1 ŷ) = Δx ˆx + Δy ŷ Δ r v = lim Δt 0 Δt = lim Δx ˆx + Δy ŷ Δt 0 Δt = lim Δt 0 Δx Δt ˆx + lim Δt 0 Δy Δt ŷ v = v x ˆx + v y ŷ v = v x + vy ; θ = arctg v y v x 0

21 ..3 Vetor aceleração a média = Δ v Δt ; Δ v a = lim Δt 0 Δt v = v x ˆx + v y ŷ + v z ẑ = lim Δt 0 Δx Δt Δy ˆx + Δt ŷ + Δz Δt ẑ a = lim Δt 0 Δv x Δt ˆx + Δv y Δt ŷ + Δv z Δt ẑ = a x ˆx + a y ŷ + a zẑ Δv a x = lim x Δt 0 Δt ; a y = lim Δv y Δt 0 Δt ; a z = lim Δv z Δt 0 Δt 1

22 .3 Lançamento de projétil A aceleração é independente da direção da velocidade inicial. A resistência do ar é desprezada. g = 9,80 m/s, dirigida para baixo. x(t) = x 0 + v 0x t y(t) = y 0 + v 0 y t 1 gt v x = v 0x v y = v 0 y gt v x = v0x v y = v0 y gδy

23 .3.1 Independência dos movimentos Admita que o projétil é deixado cair com uma velocidade inicial horizontal: para um observador em repouso, descreve uma trajetória curva, que combina movimentos horizontal e vertical. Lançamento de projétil simulação 3

24 .3. Forma vetorial a x = 0 a y = g a x ˆx + a y ŷ + a z ẑ = gŷ ou a = g, com a z = 0 v x = v 0x v y = v 0 y gt g = 9,81 m/s (ao nível do mar e à latitude de 45 ) v = v 0 + gt ou Δ v = gt, com v = v x ˆx + v y ŷ + v z ẑ v 0 = v 0x ˆx + v 0 y ŷ + v 0z ẑ; g = gŷ x(t) = x 0 + v 0x t y(t) = y 0 + v 0 y t 1 gt r = r 0 + v 0 t + 1 ou Δ r = v 0 t + 1 gt gt, com r = xˆx + yŷ + zẑ r 0 = x 0 ˆx + y 0 ŷ + z 0 ẑ 4

25 .3.3 Ângulo de lançamento Ângulo de lançamento: direção da velocidade inicial, relativamente à horizontal. Exemplo: em qual destes casos a velocidade de chegada à água é maior? 5

26 .3.3 Ângulo de lançamento Ângulo de lançamento: direção da velocidade inicial, relativamente à horizontal. Exemplo: em qual destes casos a velocidade de chegada à água é maior? v água = v x + vy v x = v0x v y = v0 y gδy v x = v0 v y = 0 g ( 0 h ) = gh v água = v 0 + gh 6

27 .3.3 Ângulo de lançamento Ângulo de lançamento: direção da velocidade inicial, relativamente à horizontal. Exemplo: em qual destes casos a velocidade de chegada à água é maior? v água = v x + vy v x = v0 cos θ v x = v0x v y = v0 y gδy v y = v0 sen θ + gh v água = v ( 0 cos θ + sen θ) + gh = v 0 + gh 7

28 .3.3 Ângulo de lançamento Ângulo de lançamento: direção da velocidade inicial, relativamente à horizontal. Exemplo: em qual destes casos a velocidade de chegada à água é maior? v água = v 0 + gh v água = v 0 + gh 8

29 Ângulo zero Se o ângulo de lançamento for igual a zero, a velocidade inicial na direção de y é zero. x 0 = 0 y 0 = h x = v 0 t y = h 1 gt v x = v 0 = constante v y = gt v x = v0 = constante v y = gδy 9

30 Ângulo zero Se o ângulo de lançamento for igual a zero, a trajetória é o ramo de uma parábola. x = v 0 t t = x v 0 y = h 1 g x v 0 = h g v 0 x Esta equação é da forma y = a + bx, que representa uma parábola. O ponto de chegada ao solo pode ser encontrado fazendo y = 0: x = v 0 h g 30

31 .3.3. Ângulo diferente de zero Se o ângulo de lançamento for diferente de zero: x 0 = 0 y 0 = 0 v 0x = v 0 cosθ v 0 y = v 0 senθ x(t) = ( v 0 cosθ)t y(t) = ( v 0 senθ) 1 gt v x = v 0 cosθ v y = v 0 senθ gt v x = v0 cos θ v y = v0 sen θ gδy 31

32 .3.3. Ângulo diferente de zero Se o ângulo de lançamento for diferente de zero, a trajetória continua a ser uma parábola. t = x x y(x) = v v 0 y 0x v 0x 1 g x v 0x = v 0 y v 0x x g v 0x x ( ) x y(x) = tgθ 0 g v 0 cos θ 0 x Esta equação é da forma y = ax + bx, que representa uma parábola. 3

33 .3.3. Ângulo diferente de zero Se o ângulo de lançamento for diferente de zero, a trajetória continua a ser uma parábola. ( ) x y(x) = tgθ 0 g v 0 cos θ 0 x y x 33

34 .3.3. Ângulo diferente de zero Simetria no movimento: Mesmos y e v Mesmos y e v 34

35 .3.4 Alcance Alcance é a distância percorrida na horizontal. y(t) = ( v 0 senθ) 1 gt y = 0 0 = t v 0 y 1 gt t = 0 ou t = g v 0 y = g v 0 senθ R = x = v 0x t = v 0 cosθ g v 0 senθ = v 0 Como g ( senθ cosθ) senθ cosθ = sen θ R = x = v 0 sen θ g 35

36 .3.4 Alcance Para a mesma velocidade inicial, o alcance máximo verifica-se quando dx dθ = 0 d ( sen θ ) dθ = 0 senθ = cosθ θ = 45 36