Material de reforço P2 Mecânica da Partícula 2014/2. Prof a. Dr a. Fabíola Ribeiro Prof. MSc. Daniel Toffoli

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1 Material de reforço P Mecânica da Partícula 014/ Pesquise e responda as questões a seguir. Prof a. Dr a. Fabíola Ribeiro Prof. MSc. Daniel Toffoli 1) O que é trabalho? Temos trabalho quando uma força é aplicada sobre um objeto, resultando em um deslocamento. ) O que é energia? Energia é a capacidade de um corpo realizar trabalho. 3) O que é energia potencial? E energia cinética? E energia mecânica? Energia potencial é a energia armazenada para produzir movimento, podendo ser gravitacional, elástica ou elétrica, por exemplo. A energia cinética é aquela associada ao movimento de uma partícula, proporcional ao quadrado da velocidade da partícula. Energia mecânica é a soma das energias cinética e potenciais (podem atuar mais de uma ao mesmo tempo, gravitacional e elástica, por exemplo) que atuam em um corpo. 4) O que diz o teorema da energia cinética? O teorema da energia cinética diz que o trabalho das forças conservativas é igual a variação da energia cinética. W cons AB = ΔEC=EC B EC A 5) O que diz o teorema da energia mecânica? O teorema da energia mecânica diz que o trabalho das forças não conservativas é igual à variação da energia mecânica. W NC AB = ΔEM=EM B EM A 6) O que é potência? Potência é a taxa de variação do trabalho por unidade de tempo. 6) Considere um objeto de massa m=1kg, em repouso, no topo de um prédio de 0 metros. a) Calcule a energia potencial do objeto, tomando a base do prédio como referencial. EP=mgh=1.10.0=00 J b) Qual a energia cinética do objeto. EC= mv.0 =m =0J (o objeto está parado) c) Calcule a energia mecânica. A energia mecânica é a soma da energia cinética e da energia potencial. EM =EP+ EC=00+0=00 J O objeto cai do topo do prédio, atingindo o solo. Despreze os efeitos da resistência do ar. d) Calcule a energia potencial do objeto ao atingir o solo, tomando a base do prédio como referencial. EP=mgh=1.10.0=0 J (o objeto está no referencial) e) Qual a energia cinética do objeto. EC= mv =1.v precisamos calcular a velocidade do objeto ao atingir o solo. Temos aqui um problema de queda livre, um movimento uniformemente acelerado, com aceleração igual a aceleração da

2 gravidade. Como não temos nem desejamos informação sobre o tempo gasto na queda, usaremos a equação de Torricelli. Como o objeto parte do repouso, Logo, a energia cinética é: v ²=v 0 +aδs v = gh=.10.0=400 v= 400=0 m/s EC= v = 0 =00 J f) Calcule a energia mecânica. EM =EP+ EC=0+00=00 J g) Calcule o trabalho da força peso nesse trajeto a partir da definição de força. O trabalho é o produto da componente da força na direção do deslocamento, pelo deslocamento. W=F. d=p. h=mgh=1.10.0=00 J h) Determine a velocidade que o corpo possuía ao atingir o solo, igualando o trabalho do item anterior com o trabalho calculado a partir do teorema da energia mecânica. W= ΔEC=EC final EC inicial W = mv 00=1. v v= 400=0 m/s i) Usando Torricelli, determine a aceleração do objeto. v =v 0 +aδs v =0 +ah 0 =.a.0 a= =10m/s recuperamos o valor da aceleração da gravidade dado no enunciado. 7) O gráfico a seguir representa o trabalho da força elástica de uma mola. a) Calcule o trabalho entre x=-0, e x=0 m. O trabalho é resistente ou motor? O trabalho pode ser calculado pela área entre a curva e o eixo x, área limitada pelos valores de x dados. Se área está acima do eixo x o trabalho é positivo, se está abaixo, o trabalho é negativo. Temos assim um triângulo de base 0, e altura 0,0

3 A triângulo =b. h W= 0,.0,0 =0,00 J O trabalho é positivo, logo, é um trabalho motor. b) Calcule o trabalho entre x=0 e x=0, m. O trabalho é resistente ou motor? O trabalho é igual a área do triângulo de base 0, e altura 0,0, mas dessa vez o triângulo está sob o eixo x, logo W= 0,00 J Como o trabalho é negativo, temos um trabalho resistente (oposto do trabalho motor) c) Sabendo que F=kx, determine a constante elástica da mola. Temos uma relação linear, F = kx (compare com a equação da reta, y = a.x) e um gráfico linear. Temos F no eixo y e x no eixo x, logo a constante elástica k será, a menos de um sinal, igual ao coeficiente angular da reta do gráfico. F=k. x y=a.x k= Δy Δx = y y 1 = 0,0 0 =0,1 N /m x x 1 0, 0 para o cálculo do coeficiente angular, podemos escolher quaisquer pontos sobre a reta. 8) Uma partícula se move de acordo com a equação horária para a velocidade v(t)=-5+3t. a) Determine a equação horária para a aceleração da partícula. Derivando a equação horária da velocidade obtemos a equação horária da aceleração. dv (t ) a (t )= = d dt dt ( 5+3t )=0+6t a (t )=6 t b) Qual o valor de aceleração para t=s? a (t=)=6.=1 m/s c) Determine a equação horária para a posição da partícula. Adote como condição inicial x(t=0s)=4m. Integrando a equação horária da velocidade obtemos a equação horária da posição da partícula. x (t )= v (t ) dt= 5+3t dt= 5t +t 3 +C A constante de integração C pode ser obtida pela condição inicial x(t=0)=4m. x (0 )= C=4 C=4 Logo, a posição é dada por x (t )= 5 t+t d) Qual a posição da partícula em t=3s? x (3 )= = =16 m e) Qual a distância percorrida entre t=0 e t=3s? (Atenção para os pontos de mínimo/máximo da curva) O primeiro passo é esboçar o gráfico da curva:

4 (gráfico feito no site recomendamos a visita) Como não existe tempo negativo em física, consideraremos apenas a parte do eixo x positivo nesse problema. A função tem um mínimo, e o mínimo é encontrado derivando a função e igualando a zero. x (t)= 5 t+t 3 +4 x ' (t)= 5+3 t =0 t= ( 5 3 )=1,9 s Devemos calcular separadamente o espaço percorrido antes do mínimo e depois do mínimo, para obter a distância percorrida. x(t=1,9s)= 5.1,9+1,9 3 +4= 0,3 m x(t=0 s)=4 m x(t=3 s)= =16,0 m A distância percorrida antes do mínimo é d 1 = 0,3 4 =4,3m. A distância percorrida após o mínimo é d = 16 ( 0,3) =16,3 m. A distância percorrida entre 0 e 3 s é, portanto, d=4,3+16,3=0,6 m. 9) Um carro parte de x=0m, em repouso, com aceleração constante de m/s. Outro carro parte de x=10m, com velocidade inicial v 0 =1m/s com aceleração constante de 1m/s. a) Qual a distância do ponto de encontro dos dois carros em relação à posição de largada do primeiro carro? A idéia principal para a resolução deste tipo de problema é lembrar que, no encontro, os dois móveis terão a mesma posição x, ou seja, devemos igualas as equações horárias dos carros: x 1 =x Como os carros possuem aceleração constante, ambos descrevem um MUV: t =10+1t +1t 1 t t 10=0 Resolvendo a equação do segundo grau obtida, tem-se t=1+ 1 5,58 s. Descarta-se o valor negativo de t. Para encontrarmos a distância do ponto de encontro dos dois carros em relação à posição de largada do primeiro carro, devemos substituir o valor de tempo encontrado em qualquer das equações horárias. Por exemplo, na equação horária do carro 1: x 1 =t =(1+ 1 ) 31,17 m. Substitua o valor de t na outra equação horária. O valor encontrado para a posição de encontro é o mesmo? Por quê?

5 b) em que instante isso ocorre? Do item anterior, t= 5,6s. 10) Um carro de fórmula 1 não consegue seguir o traçado de uma curva e entra no trecho de brita lateral à pista. A velocidade do carro ao abandonar o asfalto era de 10 km/h. Sabendo que o carro percorreu 10 metros na brita antes de parar, a) qual a energia perdida no processo de frenagem na brita? Considere que o freio interrompe o movimento dos pneus instantaneamente e que ele foi acionado no exato momento em que o carro deixou a pista. O primeiro passo é converter a velocidade do carro para o SI: v i =10 km/h=10 km h m 1 km. 1 h =33,3 m/ s s Pensando no total de energia perdida como a variação da energia mecânica do carro, temos i Δ EM=Δ EC= mv f mv m.33,3 =0 = 555,5.m J b) Qual o trabalho realizado pela força de atrito entre o pneu e a brita? Para forças não conservativas, o trabalho é igual a variação de energia mecânica: W= τ=δ EM= 555,5. m J Note que temos um trabalho resistente, já que o atrito se opõe ao movimento. 11) O Chevrolet Camaro possui 1790 kg e um motor de potência 406 cv. Calcule o tempo que o Camaro leva para fazer de 0 a 100 km/h. Considere que o motorista tenha massa de 90 kg e despreze a resistência do ar. A potência é definida como a taxa de variação do trabalho no tempo, mas o trabalho é igual a variação de energia cinética, para sistemas conservativos. Desprezando a resistencia do ar e eventuais atritos, o sistema do problema é conservativo. mv P= ΔW Δt = ΔEC 0 = Δt Δt Precisamos converter a potência de cv para watt, como 1 cv é 735,5 W, temos que 406 cv = 9861 W. A velocidade de 100 km/h precisa ser convertida para 7,78 m/s. Então, ( ).7, = Δt Δt =,4s 1) A fim de realizar um experimento sobre os efeitos da gravidade aumentada em microorganismos, uma empresa enviou pesquisadores em um jato que descrevia movimentos verticais parabólicos. Enquanto analisavam os efeitos da hipergravidade na reprodução dos microorganismos, os pesquisadores conduziram um pequeno experimento paralelo para determinar a gravidade a que estavam submetidos. Basicamente, mediam o tempo que um objeto levava para cair determinada altura, encontrando os gráficos abaixo:

6 a) Qual é o tipo de movimento ao qual um corpo em queda livre é submetido, MU (movimento uniforme) ou MUV (movimento uniformemente variado)? Por quê? A queda ocorre por causa da força de atração gravitacional que existe entre corpos quaisquer que possuem massa. De acordo com a segunda Lei de Newton, uma força provoca uma aceleração em um corpo, que neste caso é a aceleração da gravidade g. O movimento uniforme (MU) recebe este nome pois a velocidade mantém-se contante (logo, a=0); logo, o movimento de queda livre, que possui a=g, é um movimento uniformemente variado, em que há variação da velocidade provocada por uma aceleração constante. b) Qual é a equação que relaciona a posição y percorrida por um corpo em queda livre sob a ação de uma aceleração g, considerando que o corpo cai a partir do repouso (v 0 =0)? Lembre-se de que você pode escolher o referencial que lhe é mais conveniente (podemos usar y 0 =0). A equação horária do movimento uniformemente variado é y= y 0 +v 0 t + 1 at Como podemos escolher o referencial mais conveniente, adotamos a posição y crescendo para baixo, para que o sinal da velocidade e da aceleração sejam iguais (vetores apontando para o mesmo lado ); e, como é dito que o corpo parte do repouso, a equação se resume a y= 1 gt c) Com base nos gráficos acima, qual é a aceleração da gravidade no jato no momento em que o experimento foi realizado? Os gráficos mostram a relação da posição y com o tempo t. A equação mostrada no item b diz que tal relação é de segundo grau, o que é comprovado pela parábola do primeiro gráfico. O segundo gráfico foi obtido através de anamorfose, e mostra a relação entre y e t. Para entender como chegamos a ele, considere o artifício t =w. Volte à equação do item b, que agora será y= 1 gw e que obviamente é uma equação de primeiro grau, ou seja, uma reta, como no segundo gráfico. E por que fazemos esta anamorfose? Porque é simples calcular o coeficiente angular de uma equação de primeiro grau. No nosso caso, o coeficiente angular corresponde a 1 g ; assim: 1 g= y w = y y 1 w w 1 Podemos escolher dois pontos quaisquer da reta. Adotando, por exemplo, (0,1; 1,) e (0,0), temos: 1 g= y w = 1, 0 0,1 0 =10 g=0 OBS.: Verifique que este resultado seria o mesmo se você adotasse outros pontos do gráfico. Qual a unidade da aceleração encontrada? Observe que ela é a divisão de um valor de y, dado em metros, por um valor de tempo ao quadrado, dado em segundo ao quadrado. Logo, g=0m/ s.

7 13)Como você procederia para determinar experimentalmente a constante elástica k de uma mola dispondo apenas de um corpo de prova de massa conhecida e de uma régua? A Lei de Hooke nos diz que a força necessária para comprimir ou alongar uma mola a uma distância x é proporcional a esta distância, ou seja, F=kx, sendo k, a constante de proporcionalidade, denominada constante elástica da mola. Assim sendo, conhecendo-se a força F aplicada a uma mola e a deformação x ocasionada pode-se calcular a constante k através da equação k=f/x. Inicialmente, mede-se o comprimento da mola em repouso (x 1 ). Ao deixar o corpo de massa conhecida sustentado apenas pela mola, a força aplicada à mesma é P=mg, e pode-se medir o comprimento da mola estendida (x ) usando a régua. A deformação provocada na mola pela aplicação da força peso é então x=x -x 1. Logo, da Lei de Hooke: k= mg x x 1 14) Para determinar o coeficiente de atrito entre uma superfície e um corpo material, colocou-se o corpo sobre a superfície, sendo esta gradativamente inclinada aumentando-se o ângulo de inclinação em relação à horizontal. Na iminência de o corpo deslizar, tem-se que a força de atrito Fat equilibra a componente do peso Px paralela à superfície de apoio. Com base nestas informações, escreva a equação que determina o coeficiente de atrito entre superfície e corpo. Como descrito no enunciado, a força de atrito equilibra a componente em x do peso, ou seja: F at =P x μn=mgsenθ Mas a força normal N, perpendicular a superfície de apoio, equilibra a componente y do peso, ou seja, N=Pcos : μmgcosθ=mgsenθ Isolando : μ= mgsenθ mgcosθ =tgθ 15) Uma moça de 1,5 m de altura que está parada, em pé, a uma distância de 15 m de um muro de 6,5 m de altura, lança uma pedra com um ângulo de 45º com a horizontal. Com que velocidade mínima a pedra deve ser lançada para que esta passe por cima do muro? Despreze a resistência do ar e adote g=10m/s. O problema consiste de um lançamento oblíquo. Podemos decompor tal movimento em um movimento horizontal, uniforme, e um movimento vertical uniformemente variado: Na horizontal: x=x 0 +v x t Adotando-se convenientemente x 0 como 0, e sabendo que o muro está a uma distância x=15m do lançamento: 15=v x t(i) Na vertical: y=y 0 +v 0y t+at / A altura do muro é y=6,5m, e a altura inicial da pedra pode ser considerada como a altura da donzela (y 0 =1,5m). A aceleração da gravidade recebe o sinal negativo pois está para baixo, contrária ao sentido de crescimento do eixo vertical: 6,5=1,5+v 0y t-10t / 5=v 0y t-5t (II)

8 As equações (I) e (II) têm em comum o tempo (no mesmo tempo em que a pedra percorre 15m na horizontal, deve alcançar a altura de 6,5 metros do muro). Assim, isolando-se t em (I) e substituindo em (II): 5= v 15 0 y v x v x Lembrando que v x =v 0.cos e v y =v 0.sen, a equação acima nos dá v 0 =15m/s. Referências: