CÁLCULO I Aula n o 10: Taxa de Variação, Velocidade, Aceleração e Taxas Relacionadas

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1 de CÁLCULO I Aula n o 10: de, Velocidade, e Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Universidade Federal do Pará

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3 de de Suponha que y seja uma quantidade que depende de outra quantidade x. Assim, y é uma função de x e escrevemos y = f (x). Se x variar de x 1 a x 2, então a variação em x (também chamada de incremento) será x = x 2 x 1 e a variação correspondente em y será y = f (x 2 ) f (x 1 ).

4 de de média de variação de y em relação a x O quociente das diferenças y x = f (x 2) f (x 1 ) x 2 x 1 é denominado taxa de variação de y em relação a x no intervalo [x 1, x 2 ] e pode ser interpretado como a inclinação da reta secante PQ. Observe gracamente:

5 de de

6 de de A temperatura Fahrenheit F é dada em termos da temperatura Celsius C pela fórmula F = 1, 8C Determine a taxa média de variação de F em relação a C quando a temperatura passa de 20 C a 30 C.

7 de de Se uma quantidade y é função de uma quantidade x, isto é, y = f (x), já vimos que a taxa média de variação de y por unidade de variação em x, no intervalo [x 1, x 1 + x], é dada por: y x = f (x 1 + x) f (x 1 ). x

8 de O "limite" deste quociente, quando x 0, isto é, f (x 1 + x) f (x 1 ) lim x 0 x e o que denimos como a taxa (instantânea) de variação de y em relação a x em x = x 1.

9 de Usando a função dada no Exemplo 6, determine a taxa de variação de F em relação a C quando C=20.

10 de É importante destacar que o limite da equação (??) é a derivada f (x 1 ). Geometricamente, f (a) é a inclinação da reta tangente à curva y = f (x), quando x = a. Assim, temos uma segunda interpretação: A derivada f (a) é a taxa instantânea de variação de y = f (x) em relação a x quando x = a.

11 Exemplo de O custo em real da fabricação de x brinquedos é dado pela função: C(x) = x + 0, 02x 2 Encontre a taxa com a qual o custo está variando quando x = 40.

12 Exemplo de O custo em real da fabricação de x brinquedos é dado pela função: C(x) = x + 0, 02x 2 Encontre a taxa com a qual o custo está variando quando x = 40. Exemplo Se a água de uma piscina está sendo escoada e V (t) = 250(40 t) 2 litros é o volume de água na piscina t minutos após o escoamento ter começado, encontre a velocidade com que a água ui da piscina 5 minutos após o escoamento ter começado.

13 de Suponha que uma partícula se move ao longo de uma reta horizontal com sua posição no instante t dada pela função posição x(t). Quando o tempo sofre uma variação de t a t + t, a partícula se move da posição x(t) a x(t + t). O deslocamento da partícula, neste intervalo de tempo, é então dado por: x = x(t + t) x(t).

14 de Calculamos a velocidade média v da partícula, dividindo o deslocamento pelo tempo gasto neste deslocamento. Assim, v = x(t + t) x(t) t

15 de Calculamos a velocidade média v da partícula, dividindo o deslocamento pelo tempo gasto neste deslocamento. Assim, v = x(t + t) x(t) t E denimos a velocidade instantânea v da partícula no instante t, como o limite da velocidade média, quando t 0, isto é, x(t + t) x(t) v(t) = lim t 0 t = dx dt.

16 de

17 de De modo análogo, denimos a aceleração a da partícula como a taxa de variação instantânea de sua velocidade: v(t + t) v(t) a(t) = lim t 0 t = dv dt.

18 Exemplo de Um carro está viajando a velocidade de 80 km/h quando repentinamente o motorista pisa no freio. A função posição do carro em derrapagem é dada por x(t) = 80t 2400t 2. Por qual distância e durante quanto tempo o carro continua derrapando até parar?

19 Exemplo de Um carro está viajando a velocidade de 80 km/h quando repentinamente o motorista pisa no freio. A função posição do carro em derrapagem é dada por x(t) = 80t 2400t 2. Por qual distância e durante quanto tempo o carro continua derrapando até parar? Exemplo Um foguete lançado verticalmente para cima é rastreado por um estação localizado no solo a 8 km da plataforma de lançamento. Suponha que o ângulo θ de elevação da linha de visão até o foguete esteja aumentando de π 60 radianos por segundo, quando θ = π 3 foguete neste instante. rad. Determine a velocidade do

20 de Suponha que duas variáveis x e y sejam funções de uma terceira variável t, isto é, x = f (t) e y = g(t).

21 Como já vimos anteriormente, as derivadas de dx dt = f (t) e dy dt = g (t) são interpretadas como as taxas de variação, respectivamente, de x e y em relação a variável t. Se estas variáveis estão relacionadas por meio de alguma equação: Q(x(t), y(t)) = 0 derivando esta equação em relação a t, obtemos também uma equação relacionando as derivadas dx dt e dy dt : d [Q(x(t), y(t))] = 0. dt

22 de Exemplo Se a área A de um círculo da com raio r e o círculo expande à medida que o dr tempo passa, encontre em termos de dt dt.

23 de Exemplo Se a área A de um círculo da com raio r e o círculo expande à medida que o dr tempo passa, encontre em termos de dt dt. Exemplo Suponha que petróleo vaze por uma ruptura de um petroleiro e espalha-se em um padrão circular. Se o raio do petróleo derramado crescer a uma taxa constante de 1m/s, quão rápido a área do vazamento está crescendo quando a raio é igual a 30 m.

24 Exemplo de Um tanque cilíndrico com raio de 5 m está recebendo água a uma taxa de 3 m 3 /min. Quão rápido a altura de água está aumentando?

25 Exemplo de Um tanque cilíndrico com raio de 5 m está recebendo água a uma taxa de 3 m 3 /min. Quão rápido a altura de água está aumentando? Exemplo Um tanque de água possui o formato de um cone circular reto invertido com raio da base igual a 10 m e altura igual a 15 m. Se a água está sendo bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 0,1 m 3 /min, encontre a taxa na qual o nível da água está aumentando quando a água estiver a 5 m de profundidade.

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