Mecânica I (FIS-14) Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá Sala 2602A-1 Ramal 5785

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1 Mecânica I (FIS-14) Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá Sala 2602A-1 Ramal 5785 rrpela@ita.br

2 Onde estamos? Nosso roteiro ao longo deste capítulo Dinâmica de uma partícula: trabalho e energia O trabalho de uma força Princípio do trabalho e energia Princípio do trabalho e energia para um sistema de partículas Potência e eficiência Forças conservativas e energia potencial Conservação de energia

3 4.3 Princípio do trabalho e energia para um sistema de partículas Vamos considerar um sistema composto por N partículas Princípio do trabalho e energia Trabalho resultante de todas as forças externas Trabalho resultante de todas as forças internas Variação da energia cinética total

4 4.3 Princípio do trabalho e energia para um sistema de partículas Por amor à simplicidade, vamos mostrar o princípio do trabalho e energia para um sistema constituído somente por 2 partículas (o caso N partículas é análogo, embora bem mais trabalhoso) :) Força na partícula 1 devido à partícula 2 Força na partícula 2 devido à partícula 1 Força externa resultante na partícula 1 Força externa resultante na partícula 2 OBS.: mas isto não irá ajudar muito...

5 4.3 Princípio do trabalho e energia para um sistema de partículas Finalizando

6 4.3 Princípio do trabalho e energia para um sistema de partículas Energia cinética do sistema e do CM Questão: a energia cinética de um sistema de partículas é igual a? Resp.: NÃO!!! Tente encontrar um contra-exemplo Vamos encontrar a expressão completa:

7 4.3 Princípio do trabalho e energia para um sistema de partículas Somando, temos Seja:

8 4.3 Princípio do trabalho e energia para um sistema de partículas Com isso, chegamos a Onde: Note que:

9 4.3 Princípio do trabalho e energia para um sistema de partículas Para um sistema de 2 partículas Onde, definimos a massa reduzida: Prova:

10 4.3 Princípio do trabalho e energia para um sistema de partículas Analogamente

11 4.3 Princípio do trabalho e energia para um sistema de partículas Exemplo: A Figura ao lado mostra duas bolas, cada qual com massa de 1,1 kg. Segura-se firmemente a bola A, e suspende-se a bola B em equilíbrio estático 3,0 m abaixo da bola A. A mola linear que liga as molas é modelada como tendo um comprimento não deformado nulo. Em t = 0, a bola A é liberada e em t*, quando as duas bolas se chocam, a bola A move-se com 1,65 m/s (para baixo ) e a bola B, com 1,35 m/s (também para baixo). Determine t* e a constante de mola k.

12 4.3 Princípio do trabalho e energia para um sistema de partículas Respostas t* = 0,15 s k = 55 N/m

13 Onde estamos? Nosso roteiro ao longo deste capítulo Dinâmica de uma partícula: trabalho e energia O trabalho de uma força Princípio do trabalho e energia Princípio do trabalho e energia para um sistema de partículas Potência e eficiência Forças conservativas e energia potencial Conservação de energia

14 4.4 Potência e eficiência Conceito útil quando precisamos escolher o tipo de motor ou máquina necessária para realizar certa quantidade de trabalho em um dado tempo Exemplo: duas bombas podem, cada uma, ser capazes de esvaziar um reservatório se tiverem um tempo suficiente; entretanto, a bomba tendo a maior potência vai terminar o serviço mais cedo

15 4.4 Potência e eficiência Definição de potência Se dw é igual a

16 4.4 Potência e eficiência Eficiência Se energia fornecida à máquina ocorre no mesmo intervalo de tempo no qual ela é consumida A eficiência de máquinas mecânicas é sempre menor que 1

17 4.4 Potência e eficiência Exemplo: O motor M do guindaste mostrado na Figura iça a caixa C de 375 N de maneira que a aceleração do ponto P é 1,20 m/s 2. Determine a potência que tem de ser fornecida no instante em que P tem velocidade de 0,600 m/s. Despreze a massa da polia e do cabo e suponha uma eficiência de e = 0,85.

18 4.4 Potência e eficiência Resposta: 141 W

19 Onde estamos? Nosso roteiro ao longo deste capítulo Dinâmica de uma partícula: trabalho e energia O trabalho de uma força Princípio do trabalho e energia Princípio do trabalho e energia para um sistema de partículas Potência e eficiência Forças conservativas e energia potencial Conservação de energia

20 4.5 Forças conservativas e energia potencial Se o trabalho de uma força independe da trajetória e depende somente das posições inicial e final da partícula, então dizemos que esta força é conservativa Exemplos de forças conservativas Força constante, gravitacional, elétrica, mola Exemplos de forças não conservativas Atrito

21 4.5 Forças conservativas e energia potencial Qual a condição a ser satisfeita para que uma força seja conservativa? Vejamos. Força conservativa implica: qualquer que seja a curva ligando A e B

22 4.5 Forças conservativas e energia potencial Qual a condição a ser satisfeita para que uma força seja conservativa? Vejamos. Para qualquer

23 4.5 Forças conservativas e energia potencial Conclusão: para que uma força seja conservativa deve existir uma função V (energia potencial) de modo que Mas dado como saber se existe uma tal função V? Teste do rotacional Se, então

24 4.5 Forças conservativas e energia potencial Vejamos o que é o rotacional Note que se, então

25 4.5 Forças conservativas e energia potencial A recíproca é verdadeira? Isto é, se então Quase sempre Os casos degenerados (funções multivalentes e problemas de domínios) serão abordados no curso de cálculo vetorial OBS.: Pode-se mostrar que uma força é conservativa se, e somente se, Para qualquer curva fechada bem comportada

26 4.5 Forças conservativas e energia potencial OBS.: Gradiente e rotacional em coordenadas cilíndricas

27 4.5 Forças conservativas e energia potencial OBS.: Gradiente e rotacional em coordenadas esféricas

28 4.5 Forças conservativas e energia potencial Exemplo: Verifique se o campo de força é conservativo. Se for, determine uma função energia potencial associada.

29 4.5 Forças conservativas e energia potencial Resposta: é conservativo

30 4.5 Forças conservativas e energia potencial Exemplo: Verifique se o campo de força é conservativo. Se for, determine uma função energia potencial associada.

31 4.5 Forças conservativas e energia potencial Resposta: Não é conservativo

32 4.5 Forças conservativas e energia potencial Exemplo: Mostre que toda força central é conservativa Consequência: a força gravitacional e a força elétrica são conservativas

33 4.5 Forças conservativas e energia potencial Exemplo: usando o sistema de coordenadas esféricas

34 4.5 Forças conservativas e energia potencial Exemplo: Encontre a expressão da energia potencial gravitacional

35 4.5 Forças conservativas e energia potencial Exemplo: Método 1: igualar a força a menos o gradiente da energia potencial Escolhemos C de modo que V no infinito seja zero

36 4.5 Forças conservativas e energia potencial Exemplo: Método 2: usando a definição de trabalho Escolhemos C de modo que V no infinito seja zero