DINÂMICA APLICADA. Livro Texto adotado: Dinâmica: Mecânica para Engenheiros R.C. Hibbeler.

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1 DINÂMICA APLICADA Livro Texto adotado: Dinâmica: Mecânica para Engenheiros R.C. Hibbeler. Samuel Sander de Carvalho Juiz de Fora - MG

2 Introdução: Objetivo: Estabelecer a segunda lei do movimento de Newton e definir força e peso; Analisar o movimento acelerado de uma partícula utilizando a equação do movimento com diferentes sistemas de coordenadas; Investigar o movimento de força central e aplica-los a problemas da mecânica espacial.

3 Introdução: Cinética: Ramo da dinâmica que trata da relação entre a variação do movimento de um corpo e as forças que causam essa variação. Sua base é dada pela2ªleidenewton: Afirma que: um ponto material submetido a uma força F experimenta uma aceleração a de mesma direção e sentido de F com módulo proporcional à intensidade F da força.

4 Introdução: Cinética: Se a massa da partícula é m a segunda lei do movimento de Newton pode ser escrita em forma matemática como. =.

5 Lei da atração gravitacional de Newton: Newton formulou uma lei determinando a atração mútua entre quaisquer duas partículas. = F: Força de atração entre as duas partículas; G: Constante gravitacional = /(. ); : massa de cada uma das duas partículas; : Distância entre os centros dos pontos materiais.

6 Lei da atração gravitacional de Newton: Exemplo: Terra e um corpo qualquer. Chamando de peso = massa do corpo e = massa da Terra distância do corpo sobre a superfície da terra ou próximo a ela tem-se: =/ aceleração da gravidade. Define-se o peso como:!=

7 Lei da atração gravitacional de Newton: Dessa forma: Exemplo: Terra e um corpo qualquer. Adota-se 981 / medida obtida por padrão ao nível do mar a uma latitude de 45 Pelo sistema Internacional: Massa (m) é dada em quilogramas (kg) Peso e/ou Força é dado em Newton (N).

8 Lei da atração gravitacional de Newton: Exemplo: Terra e um corpo qualquer. Em consequência disso uma pessoa que vai à uma farmácia e sobe sobre uma balança ao ver a medida ela informa: Estou pesando 72 kg. Ela cometeu um erro qual? Ela não informou seu peso e sim sua massa. Para ela saber qual o valor real do peso é necessário multiplicar por 981 /. O que resultaria em: =%&'( )

9 Cinética de uma partícula: força e aceleração Equação do movimento: Quando mais de uma força atua sobre uma partícula a resultante dessa forma é descrita pelo somatório vetorial de todas elas: * = Então a equação do movimento pode ser descrita como: =. (-. /0. 12).

10 Referência inercial Quando se aplica a equação de movimento é importante que a aceleração da partícula seja analisada a partir de um sistema de referência fixo ou translade com velocidade constante. Assim o observador não apresenta nenhuma tipo de aceleração.

11 Equação do movimento para um sistema de partículas: A equação do movimento será agora ampliada para incluir um sistema de partículas isolado dentro de uma região fechada. Em um instante qualquer uma partícula qualquer tendo massa m apresenta um sistema de forças internas (3 1 ) e uma força externa ( 1 ) seja ela gravitacional magnética ou mesmo de contato entro outra partícula ainda que essa não esteja no sistema. Aplicando a equação de movimento = 1. 1

12 Cinética de uma partícula: força e aceleração Equação do movimento para um sistema de partículas: Quando essa equação é aplicada às demais partículas e essas são adicionadas vetorialmente tem-se = Porem a soma das forças internas se anulam pois as forças internas entre dois pontos materiais são sempre opostas 5 1 =5 1. 1

13 Cinética de uma partícula: força e aceleração Equação do movimento para um sistema de partículas: Se 6 é um vetor posição que se localiza no centro de massa G do sistema de partículas tem-se Dessa forma tem-se que:. 6 = =. 6 Logo a soma das forças externas que agem no sistema de partículas é igual à massa total de partículas multiplicada pela a aceleração de seu centro de massa G.

14 Cinética de uma partícula: força e aceleração Equação do movimento: coordenadas cartesianas Quando uma partícula se move em relação a um sistema de referência inercialxy z as forças atuando sobre a partícula assim como sua aceleração podem ser expressas em termos de suas componentesijk. 8 =.9 58 : 1458 ; <458 = > = 9 : 149 ; <49 = > Assim 8 : =.9 : 8 ; =.9 ; 8 = =.9 =

15 Equação do movimento: coordenadascartesianas Exemplo 16: Um engradado de 50 kg está em repouso num plano horizontal para o qual o coeficiente de atrito cinético é μ C = 03. O engradado passa a ser tracionado por uma força de 400 N. Determine a sua velocidade 3 s após estar em movimento.

16 Equação do movimento: coordenadas cartesianas Diagrama de corpo livre: Supõe-se que a aceleração acontece somente em x. Peso:!=50 981=AB&C) Força de atrito: 8=D E F E Aparece então duas incógnitas: 9=? F E =?

17 Cinética de uma partícula: força e aceleração Equação do movimento: coordenadas cartesianas Equação de movimento: H 58 : =.9 : 400.LM F E =50.9 : 4 58 ; =.9 ; 400.PQ 30 4F E 4905=0 ) R =B&C ) =CSC /-

18 Equação do movimento: coordenadas cartesianas Cinemática: Como a força P não varia conclui-se que a aceleração é constante. A velocidade inicial é zero (nula). T=T U +9 E V T= /=CCCC /-

19 Equação do movimento: coordenadas cartesianas Exemplo17: Um anel liso C de 2 kg está ligado a uma mola tendo uma rigidez k = 3 N/m e um comprimento não deformado de 075 m. se o anel é solto do repouso em A determine sua aceleração e a força normal da barra sobre o anel no instante que y = 1 m.

20 Equação do movimento: coordenadas cartesianas Diagrama de corpo livre: Supõe-se que a aceleração ocorre para baixo (sendo essa y positiva) Peso:!=2 981B' ) Aparece então quatro incógnitas: 8 X? F E? 9? Y?

21 Cinética de uma partícula: força e aceleração Equação do movimento: coordenadas cartesianas Equação de movimento: 8 X. H 58 : 4 58 ; =.9 : NF E +8 X.LM Y=0.9 ; 1962N8 X.PQ Y2.9 [\ ^40.75 [\N]\ ^40.75 N075

22 Equação do movimento: coordenadas cartesianas Equação de movimento: Pelo enunciado temos que ^1 8 X =03. ^40.75 tany ^ 075 N075 b C ) cc((

23 Equação do movimento: coordenadas cartesianas Equação de movimento: F E 48 X.LM Y= X.PQ Y=2.9 NF E +15.cos 5313 =0 ) R =&B&& N sen 5313 =2.9 =B -

24 Cinética de uma partícula: força e aceleração Equação do movimento: coordenadas normal e tangencial A equação do movimento pode ser escrita nas direções tangencial normal e binormal. Visto que a partícula está restrita a se mover ao longo da trajetória tem-se: 58 =.9 58 k o k 458 m o m 458 n o n.9 k 4.9 m Essa equação só é satisfeita se: 58 k =m.9 k 58 m =.9 m 58 n =0 9 k pt q pv 9 m Tq r r 14 p^ ps p ^ ps

25 Equação do movimento: coordenadas normal e tangencial Exemplo 18: Determine o ângulo de superelevação θ que uma pista de corrida deve ter para que as rodas dos carros não tenham que depender do atrito para evitar que eles escorreguem para cima ou para baixo na pista. Suponha que os carros tenham massa m e trafeguemcom velocidade v numa curva de raioρ. Diagrama de corpo livre. Obs.: Não há força de atrito.

26 Cinética de uma partícula: força e aceleração Equação do movimento: coordenadas normal e tangencial Resolução: 58 m.9 m 58 n 0 H 58 m + 58 n =.9 m =0 Dividindo a 1ª pela 2ª tem-se: F E.PQY. T r F E.LMYN0 VY T r T YV r

27 Equação do movimento: coordenadas normal e tangencial Exemplo 19: O disco D de 3 kg está preso a um fio. A outra extremidade do fio está presa a uma junta esférica localizada no centro da plataforma. Se o disco é colocado sobre a plataforma que está girando rapidamente determine o tempo necessário para ele atingir uma velocidade escalar suficientemente alta para a ruptura do fio. A tração máxima suportada pelo fio é 100 N e o coeficiente de atrito cinético entre o disco e a plataforma é 01.

28 Cinética de uma partícula: força e aceleração Equação do movimento: coordenadas normal e tangencial Resolução: Qualopesododisco? QualaForçadeatrito? W = 3(981) = 2943N F a = μ.nd = 01.ND 58 k 58 m 58 n =.9 k.9 m =0 Fazendo T100F 01.F t 3.9 k v3. T 1 Como a t é constante o tempo para a ruptura pode ser descrito com: F t N29430 F t 2943F T wx T y 49 k.v 9 k 0981 T wx 577 0CSB V

29 Equação do movimento: coordenadas normal e tangencial Exemplo 20: Para o projeto da rampa de esqui precisamos conhecer as forças que serão aplicadas no esquiador e sua trajetória. Considerando a inclinação uma função parabólica determine a força normal sobre o esquiador de 600 N (m 60 kg) no instante em que ele chega à extremidade A onde sua velocidade é de 9 m/s. Qual é o valor de sua aceleração nesse ponto? Despreze o atrito. C z= '&.{ NC Analisar o esquiador no ponto A.

30 Cinética de uma partícula: força e aceleração Equação do movimento: coordenadas normal e tangencial '&& ) + 58 m H 58 k =.9 m =0 F } N r k Como determinar o raio de curvatura (ρ)? 15 ^ 1 60.s N15 r 14 p^ ps p ^ ps ^ 1 60.s N15 p^ ps 1 30.s p ^ ps 1 30 ~(&

31 Equação do movimento: coordenadas normal e tangencial '&& ) Sabendo-se do raio de curvatura sabe-se o valor de N A. ) %'C) 15 ^= 1 60.s N15 0 & B (& % -

32 Equação do movimento: coordenadas normal e tangencial Exercício: O carro esporte de 1700 kg desloca-se horizontalmente ao longo de uma pista circular de raio de curvatura ρ = 100 m e ângulo de superelevação de 20. Se o coeficiente de atrito estático entre os pneus e a pista é deμ=02 determine: (a) a máxima velocidade constante para a qual o carro pode se deslocar sem escorregar para cima. (b) a velocidade mínima com a qual o carro pode se deslocar sem escorregar para baixo. Despreze as dimensões do carro. / á{ = - / á{ =AA -

33 Cinética de uma partícula: força e aceleração Equação do movimento: coordenadas polares As coordenadas polares no estudo da cinética são similares às coordenadas normais e tangenciais. Assim como visto em cinemática as coordenadas polares para a cinética são divididas em somatório de forças radiais e transversais. 58 x =.9 x 58 =.9

34 FIM CAP. 2