Física I 2010/2011. Aula 16. Momento de uma Força e Momento Angular

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1 Física I 2010/2011 Aula 16 Momento de uma Força e Momento Angular

2 Sumário O Momento angular A 2.ª Lei de Newton na forma angular O Momento Angular de um Sistema de Partículas O Momento Angular de um Corpo Rígido que Roda em torno de um Eixo Fixo A Conservação do Momento Angular 2

3 Momento Angular O momento angular instantâneo,, de uma partícula em relação à origem O é definido como o produto vectorial do vector posição instantânea da partícula,, e do seu momento linear instantâneo, 3

4 Momento Angular transportado para a origem Prolongando a linha de acção 4

5 Momento de uma Força e Momento Angular Para uma partícula 5

6 Momento de uma Força e Momento Angular O momento da força está relacionado com o momento angular Da mesma forma que a força está ligada ao momento linear Esta é a forma rotacional da 2.ª Lei de Newton e devem estar calculados em relação ao mesmo ponto A expressão é válida para qualquer ponto num referencial inercial 6

7 Momento Angular A unidade SI de momento angular é kg. m 2 /s Tanto o módulo como a direcção de dependem da escolha do ponto de referência 7

8 Momento Angular de uma Partícula, Exemplo O vector aponta para fora do diagrama O módulo é Uma partícula com movimento circular uniforme possui momento angular constante em relação ao centro da trajectória 8

9 Momento Angular de um Sistema de Partículas O momento angular total de um sistema de partículas é, por definição, o vector soma dos momentos angulares das partículas que o constituem Diferenciando em relação ao tempo 9

10 Os momentos das forças internas que actuam no sistema cancelam-se dois a dois Portanto, Momento Angular de um Sistema de Partículas O momento resultante das forças exteriores que actuam num sistema, em relação a um ponto de um referencial inercial, é igual à derivada temporal do momento angular total do sistema (calculado em relação ao mesmo ponto) 10

11 Momento Angular de um Corpo Rígido em Rotação Cada partícula do corpo roda no plano xy em torno do eixo dos z com velocidade angular O módulo do momento angular de uma partícula é e têm a direcção e sentido do eixo dos z 11

12 Momento Angular de um Corpo Rígido em Rotação Obtemos o momento angular do corpo adicionando os momentos angulares das partículas individuais Obtemos assim a forma rotacional da 2.ª Lei de Newton (corpo rígido, eixo fixo) 12

13 Conservação do Momento Angular O momento angular total de um sistema é constante, em módulo, direcção e sentido se o momento resultante das forças exteriores que actuam no sistema é nulo Momento de forças resultante = 0 -> significa que o sistema é isolado Para um sistema de partículas, 13

14 Conservação do Momento Angular Se a massa de um sistema isolado se redistribui, o momento de inércia varia A conservação do momento angular exige uma variação da velocidade angular I i i = I f f Esta expressão é válida para rotação em torno de um eixo fixo e para rotação em torno de um eixo que passa no centro de massa de um sistema em movimento O momento de força resultante deve ser nulo em qualquer dos casos 14

15 Sumário das Leis de Conservação Para um sistema isolado - (1) Conservação da Energia: E i = E f (2) Conservação do Momento Linear : (3) Conservação do Momento Angular : 15

16 Conservação do Momento Angular : O Carrossel O momento de inércia do sistema, em relação ao eixo de rotação, é a soma do momento de inércia da plataforma e do momento de inércia da pessoa Supomos que a pessoa pode ser tratada como uma partícula Se a pessoa se move para o centro da plataforma o módulo da velocidade angular aumentará, para que permaneça constante 16

17 Definição de Produto Externo ou Vectorial Dados os vectores O vector produto externo de A e B é um terceiro vector, C C lê-se O módulo de C é AB sin em que é o ângulo entre A e B 17

18 Produto Vectorial AB sin é a área do paralelogramo formado por A e B Regra da mão direita A direcção de é perpendicular ao plano formado por O sentido pode ser determinado pela regra da mão direita 18

19 Propriedades do Produto Vectorial O produto vectorial não é comutativo. A ordem dos vectores é importante Se é paralelo a ( = 0 o ou 180 o ), então Portanto 19

20 Propriedades do Produto Vectorial Se é perpendicular a, então O produto vectorial obedece à lei distributiva 20

21 Propriedades do Produto Vectorial A derivada do produto vectorial em relação a uma variável, como t, é em que é importante conservar a ordem multiplicativa de 21

22 Produto Vectorial dos Vectores Unitários 22

23 Produto Vectorial dos Vectores Unitários Podemos mudar os sinais em produtos vectoriais 23

24 Utilização de Determinantes O produto vectorial pode ser expresso na forma Desenvolvendo os determinantes obtemos 24