Mecânica Geral Aula 03- Momento de Inércia Bibliografia e Figuras: Halliday, Resnick e Walker, vol 1, 8a Ed. LTC Tipler e Mosca, vol 1, 6a Ed.

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1 Mecânica Geral Aula 03- Momento de Inércia Bibliografia e Figuras: Halliday, Resnick e Walker, vol 1, 8a Ed. LTC Tipler e Mosca, vol 1, 6a Ed. Prof. Ettore Baldini-Neto baldini@uninove.br

2 Nas aulas anteriores aprendemos: A calcular a resultante de um sistema bidimensional de forças e sua orientação por: decomposição geometricamente: leis dos cosenos e senos Calcular o Centro de Massa de um sistema com poucas partículas de sistemas geométricos simples de sistemas onde a massa é continuamente distribuída (integração).

3 Rotações Nos movimentos de translação um corpo move-se em linha reta ou descrevendo curvas Nos movimento de rotação, um objeto move-se em torno de um eixo. Exemplos: Terra girando ao redor de seu eixo, um cd no seu tocador, uma patinadora no gelo. Vamos considerar o movimento de rotação ao redor de um eixo fixo no espaço ou ao redor de um eixo que se move mas sem mudar sua direção

4 Todo ponto de um corpo rígido que gira ao redor de um eixo fixo descreve um círculo com o centro sobre o eixo e cujo raio é a distância do eixo até onde o ponto se encontra. O elemento de arco descrito pelo ponto P é: ds i = r i d r i ds i θ i dθ P i A velocidade angular instantânea, medida em rad/s e a aceleração instantânea medida em rad/s 2 são, respectivamente : Reference line! = d dt = d! dt = d2 dt 2 A rotação é positiva no sentido anti-horário

5 A velocidade linear de uma partícula do corpo rígido é tangente à trajetória circular, e é escrita como: v i = ds i dt Como ds i = r i d v i = r i d dt = r i! Analogamente, a aceleração tangencial desta partícula é: a t = dv i dt = r i d! dt = r i E cada partícula também tem a componente centrípeta da aceleração, dirigida para o centro da trajetória. a cp = v2 i r i = r i! 2

6 v i = r i d dt = r i! a t = dv i dt = r i d! dt = r i a cp = v2 i r i = r i! 2

7 Energia Cinética de Rotação Podemos entender a energia cinética de um corpo rígido rodando em torno de um eixo fixo como sendo a soma de todas as energias cinéticas individuais das partículas que o constituem. K = X i 1 2 m iv 2 i K = X i 1 2 m i(r i!) 2! K = 1 2 X m i r 2 i! 2 i

8 ! K = 1 2 X m i r 2 i! 2 i O termo entre parênteses é definido como o momento de inércia do corpo rígido em relação ao eixo de rotação. I = X i m i r 2 i O momento de inércia nos diz como a massa do corpo que está rodando está distribuída em torno do eixo de rotação. Seu valor é constante para um dado corpo rígido e para um dado eixo de rotação. Este eixo deve sempre ser especificado.

9 Podemos escrever K = 1 2 X m i r 2 i!! 2 com o auxílio de i I = X i m i r 2 i [kg.m 2 ] Lembre-se que r é a distância perpendicular da partícula até o seu eixo de rotação. Finalmente, a energia cinética de rotação é escrita como: K = 1 2 I!2

10 A inércia rotacional ( momento de inércia ) envolve não somente a massa, mas a forma como ela se distribui em um corpo. A rotação de um longo bastão é mais fácil ocorrer ao longo de seu eixo longitudinal do que ao longo de um eixo perpendicular que passa pelo seu centro pois sua massa está distribuída mais perto do eixo longitudinal.

11 Exemplo 1: Calcule os momentos de inércia dos sistemas abaixo. Qual deles tem a maior inércia rotacional?

12 Exemplo 2: Um objeto é formado por quatro partículas pontuais de mesma massa conectadas por um bastões rígidos de massas desprezíveis. O sistema forma um retângulo de lados 2a e 2b conforme mostrado e roda com velocidade angular em torno de um eixo que passa pelo seu centro conforme mostrado. Calcule a energia cinética de rotação do sistema. m 1 m 2 2b r 1 r 2 m 3 r 3 r 4 m 4 2a

13 Exemplo 3: Calcule aproximadamente o momento de inércia de um bastão fino de comprimento L e massa M através de um eixo perpendicular ao bastão em uma de suas extremidades. Considere o bastão como constituído por 3 massas pontuais, cada uma dela representando 1/3 do bastão.

14 Calculando o momento de inércia A expressão que deduzimos para o momento de inércia pode ser utilizada quando um sistema é constituído por um número pequeno (que pode ser contado facilmente) de partículas. Caso o corpo rígido seja composto por um número incontável de partículas de tal modo que sua distribuição de massa seja contínua, devemos recorrer ao cálculo integral para calcular seu momento de inércia. Z I = r 2 dm

15 Exemplo 4: Calcule o momento de inércia de um bastão fino de comprimento L e massa M através de um eixo perpendicular ao bastão em uma de suas extremidades y L dm = M L dx x x dx

16 Teorema dos eixos paralelos (Teorema de Steiner) O problema é encontrar o momento de inércia I de um corpo de massa M em relação a um dado eixo. Sempre podemos utilizar a definição utilizando integração Conhecendo o momento de inércia ICM do corpo em relação a um eixo paralelo que passa pelo centro de massa do corpo, podemos facilitar o cálculo. h cm cm I = I CM + Mh 2 Onde ICM é o momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo CM e h é a distância do eixo considerado ao eixo que passa pelo CM.

17 Exemplo 5: Um corpo consiste de duas partículas de massa m conectadas por um bastão de comprimento L de massa desprezível. (a) Calcule o momento de inércia do corpo em relação a um eixo perpendicular ao bastão e que passa pelo centro de massa do sistema (b) Calcule o momento de inércia do corpo em relação a um eixo que passa pela extremidade esquerda e que seja paralelo ao primeiro.

18 ble 9-1 Moments of Inertia of Uniform Bodies of Various Shapes Thin9-1 cylindrical shell about Thin cylindrical shell T ellcylindrical about Thin cylindrical shell about rodabout about Table Moments of Inertia of Uniform Bodies of Various n shell about Thin cylindrical shell about Thin Thin rod aboutsha Alguns momentos de inérciai Thin cylindrical shell about Thin rod about axis shell about diameter through center p sn cylindrical diameter through center perpendicular line diameter through center perpendicular line Thin cylindrical shell aboutdiameter Thin cylindrical Thin rod s through center shell about perpendicular lineabo axis diameter through center perpendicul SS H H

19 Thin sphericalalguns shell about momentos S diameter de inércia- II ut diameter paralle h cente face H 4 ( ut diameter 2) 1 parallelepiped h center face ( ) By setting L " 0, the above formulas for cylinders hold for disks ( 1 4 (2) ) 12 is a cylinder length L islength negligible. By setting " 0, the formulas for cylinders hold *A disk iswhose a cylinder whose L is negligible. By Lsetting L "above 0, the above formulas for cylinders holf parallelepiped