Valter B. Dantas. Momento de Inércia

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1 Valter B. Dantas Momento de Inércia Momento de Inércia de um Sistema Contínuo de Partículas Como calcular o momento de inércia de uma barra retilínea de material homogêneo em relação a um eixo perpendicular à barra, passando pela sua extremidade? Sendo a barra de material homogêneo os comprimentos são proporcionais às massas, isto é, a cada elemento de massa corresponderá um elemento de comprimento. O momento de inércia da barra é a soma dos momentos de inércia de cada elemento da barra, ou seja Como calcular o raio de giração de uma barra retilínea de material homogêneo em relação a um eixo perpendicular à barra, passando pela sua extremidade? toda a massa para obtermos o mesmo momento de inércia, logo

2 Como calcular o momento de inércia de uma barra retilínea de material homogêneo em relação a um eixo perpendicular à barra, passando pelo Centro de Massa? A barra poderá ser dividida ao meio sendo o seu momento de inércia a soma dos momentos de inércia de cada pedaço Como calcular o raio de giração de uma barra retilínea de material homogêneo em relação a um eixo perpendicular à barra, passando pelo Centro de Massa? toda a massa para obtermos o mesmo momento de inércia, logo

3 Como calcular o momento de inércia de uma barra circular de material homogêneo em relação a um eixo perpendicular à barra, passando pelo Centro de Massa? Sendo a barra de material homogêneo os comprimentos são proporcionais às massas, isto é, a cada elemento de massa corresponderá um elemento de comprimento. O momento de inércia da barra é a soma dos momentos de inércia de cada elemento da barra, ou seja Como calcular o raio de giração de uma barra circular de material homogêneo em relação a um eixo perpendicular à barra, passando pelo Centro de Massa?

4 toda a massa para obtermos o mesmo momento de inércia, logo: Como calcular o momento de inércia de uma chapa circular de material homogêneo em relação a um eixo perpendicular à chapa, passando pelo Centro de Massa? Consideremos uma chapa circular de material homogêneo dividida em faixas circulares elementares. Consideremos ainda uma faixa circular elementar de raio x, largura dx e área ds = 2πx.dx, cuja massa é dm. A área S da chapa de massa M e raio R é igual a S = πr 2 Cada elemento de massa corresponderá um elemento de área e sendo a chapa de material homogêneo as áreas são proporcionais às massas, dm / ds = M / S >>> dm = (M / S). ds >>> dm = M.(2πx.dx) / (πr 2 ) >>> dm = (2M / R 2 ).xdx

5 O momento de inércia da chapa é a soma dos momentos de inércia de cada faixa elementar da chapa. Como calcular o raio de giração de uma chapa circular de material homogêneo em relação a um eixo perpendicular à chapa, passando pelo Centro de Massa? toda a massa para obtermos o mesmo momento de inércia, logo: Como calcular o momento de inércia de um cilindro de material homogêneo em relação a um eixo paralelo à geratriz, passando pelo Centro de Massa? Consideremos um cilindro de material homogêneo dividido em faixas circulares elementares. Consideremos ainda uma chapa circular elementar de raio R, altura dy e massa dm.

6 O momento de inércia do cilindro é a soma (integral) dos momentos de inércia das chapas. Como calcular o raio de giração de um cilindro de material homogêneo em relação a um eixo paralelo à geratriz, passando pelo Centro de Massa? toda a massa para obtermos o mesmo momento de inércia, logo:

7 Como calcular o momento de inércia de um cone de material homogêneo em relação a um eixo que passa pelo vértice e é ortogonal à base? Consideremos um cone de material homogêneo dividido em faixas circulares elementares. Consideremos ainda uma chapa circular elementar de raio x, altura dy, massa dm e volume dv. O momento de inércia do cilindro é a soma (integral) dos momentos de inércia das chapas.

8 Como o material é homogêneo há uma proporcionalidade entre a massa e o volume com: Substituindo (2) e (3) em (1), temos: Como calcular o raio de giração de um cone de material homogêneo em relação a um eixo que passa pelo vértice e é ortogonal à base? toda a massa para obtermos o mesmo momento de inércia, logo:

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