Mecânica Geral. Momento de Inércia de áreas Momento de uma força. Prof. Ettore Baldini-Neto

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1 Mecânica Geral Momento de Inércia de áreas Momento de uma força Prof. Ettore Baldini-Neto

2 Nas aulas anteriores aprendemos: A calcular os Centros de Massa de um sistema com poucas partículas de sistemas geométricos simples de sistemas onde a massa é continuamente distribuída Calcular o Momento de Inércia de um sistema com poucas partículas de sistemas geométricos simples de sistemas onde a massa é continuamente distribuída

3 Na aula de hoje continuaremos com discussão sobre momentos de inércia desta vez voltando nossa atenção para o cálculo destas grandezas para áreas. Motivação: Sempre que uma carga distribuída, que varia linearmente, atuar perpendicularmente a uma área, o momento de inércia desta área será importante no cálculo do momento de distribuição de carga em relação a um dado eio.

4 Momentos de Inércia de áreas Por definição os momentos de inércia de uma área em relação aos eios e y são dados, respectivamente por y Z I = y 2 da A da Z r y I y = 2 da

5 Em relação ao eio z, ou pólo, o momento de inércia é chamado de Momento de Inércia Polar, sendo calculado através de: y A Z da J 0 = r 2 da r y como r 2 = 2 + y 2 J 0 = I + I y Note que r é a distância perpendicular do polo (eio z) até o elemento da.

6 Teorema dos eios paralelos para uma área Conforme vimos, o teorema de Steiner pode ser usado para determinar o momento de inércia de uma área em relação a qualquer eio que seja paralelo a um eio passando pelo CM y y da y I = Z A Z I = (y 0 + d y ) 2 da A Z y0 2 da +2d y y0da + d 2 y A Z A da d C d d y I = I 0 + Ad 2 y Analogamente, I y = I y 0 + Ad 2

7 E também J 0 = J C + Ad 2 Concluindo: momento de inércia para uma área ao redor de um eio é igual ao seu momento de inércia em volta de um eio paralelo que passa pelo CM desta área mais o produto da área pelo quadrado da distância perpendicular entre os eios.

8 Eemplo 1: Determine o momento de inércia de uma área retangular em relação ao eio ', em relação ao eio b e em relação ao polo z que é perpendicular ao plano y e passa pelo centróide C. y h 2 dy y C h 2 b 2 b 2 b Fig. 10 5

9 Eemplo 2: Determine o momento de inércia em relação ao eio da área hachurada na figura abaio. y y (100 ) dy y 200 mm 100 mm I

10 Momento de inércia de áreas compostas Desde que os momentos de inércia de cada área sejam conhecidos ou possam ser determinados em relação a um eio comum, o momento de inércia da área composta em relação a este eio é igual à soma algébrica dos momentos de inércia de suas partes. Para o cálculo: Divida a área em suas partes compostas indicando a distância perpendicular a partir do CM de cada parte até o eio de interesse. Use o Teorema dos Eios Paralelos quando necessário. Momento de inércia de buracos devem ser subtraídos ao invés de somados.

11 Eemplo 3: Determine o momento de inércia da área mostrada em relação ao eio 100 mm 100 mm 25 mm 75 mm 75 mm 25 mm 75 mm 75 mm (a) (b)

12 d d sin u u Momento de uma força (Torque) z (a) d F d Quando uma força é aplicada sobre um corpo ela vai produzir uma tendência de rotação em um ponto que não está em sua linha de ação. Esta tendência de rotação é conhecida como torque ou momento de uma força. módulo do momento da força é proporcional `a intensidade da força e à distância perpendicular `a aplicação da força, ou braço do momento.

13 duce a simple distributed loading to a resultant ied location. Note que: Se o ângulo entre F e d for diferente de 90 o, a força aplicada para rodar o parafuso será maior. of a Force rmulation z z d d sin u d d sin u (a) F F d d u u Se, por sua vez a força for aplicada junto ao eio da chave o momento será zero e não haverá rotação. to a body it will produce a tendency for the body that is not on the line of action of the force. This etimes called a torque,but most often it is called or simply the moment. For eample,consider a the bolt in Fig. 4 1a.If a force is applied to the will tend to turn the bolt about point (or the z f the moment is directly proportional to the perpendicular distance or moment arm d. The nger the moment arm, the greater the moment or t if the force F is applied at an angle u Z 90, more difficult to turn the bolt since the moment smaller than d.if F is applied along the wrench, m will be zero since the line of action of F will ais).as a result, the moment of F about is also z z (b) (b) (c) Fig. 4 1 (c) F F 117

14 Generalizando a discussão Momento de uma força é uma grandeza vetorial Direção: Regra da mão direita Moment ais M F d M F d Intensidade: M 0 = Fd [N.m]

15 Momento Resultante F 2 y F 1 d 2 M 2 M 1 d 1 M R 0 = F 1 d 1 F 2 d 2 + F 3 d 3 d 3 M 3 F 3 Em problemas bi-dimensionais, o momento resultante das forças que atuam no plano y é simplesmente a soma algébrica dos vários momentos com a seguinte convenção: Quando as forças atuam em sentido anti-horário, o momento é positivo. Quando atuam no sentido horário o momento é negativo.

16 1 m ine the moment of the Fig. 4 4d Fig. 4 4e M = 160 lb211 sin 45 ft2 = 42.4 lb M = 17 kn214 m - 1 m2 = 21.0 kn # m M = 17 kn214 m - 1 m2 = 21.0 kn Eemplo 4: Para cada caso determine o Fig. momento 4 4e da força em volta do ponto. a dashed line in order to the tendency of rotation rmore, the orbit of the, m b # m b t2 = 229 lb # ft b Ans. Ans. Ans. 2 m (a) 100 N 100 N 4 2 m 2 m (b) (b) 0.75 m mn 50 N.4 lb # ft d Ans. 2 m 1.0 kn # m d Ans. (a) 4 ft (c) 2 ft lb 2 cos 30 ft 3 ft 3 ft (d) 1 ft 1 ft 45 1 sin 45 ft 60 lb 1 sin 45 ft lb 4 2 m (d) Fig. 4 4

17 Eemplo 5: Determine o momento resultante em relação ao ponto das forças atuando no bastão. Assuma que os momentos positivos atuam na direção k (sentido anti-horário). y 50 N 2 m 2 m 3 m 60 N N 40 N

18 Princípios dos Momentos -Teorema de Varignon- momento de uma força em relação a um dado ponto é igual à soma dos momentos das componentes da força em relação ao mesmo ponto. F F 1 ~M 0 = ~r ~ F = ~r ( ~ F 1 + ~ F 2 ) F 2 = ~r ~ F 1 + ~r ~ F 2 r

19 Princípios dos Momentos Problemas bidimensionais F y F F Neste caso a decomposição da y força resultante em suas componentes resolve o problema. d M M 0 = F y yf

20 Resumo até aqui... momento de uma força cria a tendência de um corpo girar ao redor de um eio que passa por um ponto específico. A regra da mão direita diz que o sentido de rotação segue a curva dos dedos e o polegar fornece a direção do momento da força (torque). módulo do momento da força (torque) é M 0 =F.d onde d é chamado de braço do momento e representa a distância perpendicular do ponto até a linha de ação da força. Em 3D, o torque é dado por M 0 = r F, e r está direcionado de até qualquer ponto sobre a linha de ação de F.

21 Eemplo 1: Determine o momento da força em relação ao ponto da figura. EXAMPLE PRINCIPLE F MMENTS 129 d Determine the moment of the force in Fig. 4 18a y about point. 75 d y d 3 cos 30 m d 3 cos 30 m F (5 kn) cos 45 F (5 kn) cos m (a) 30 3 m F 5 kn (a) F 5 kn d y 3 sin 30 m d y 3 sin 30 m (b) F y (5 kn) sin 45 F y (5 kn) sin 45 4 SLUTIN I The moment arm d in Fig. 4 18a can be found from trigonometry. (b) d = (3 m) sin 75 = m Thus, M = Fd = (5kN)(2.898 m2 = 14.5 kn # m b Ans. Since the force tends to rotate or orbit clockwise about point, the moment is directed into the page. SLUTIN II The and y components of the force are indicated in Fig. 4 18b. Considering counterclockwise moments as positive, and applying the principle of moments, we have

22 Eemplo 2: A força F age na etremidade da cantoneira mostrada na figura abaio. Determine o momento da força em relação ao ponto. y 0.2 m 0.2 m 0.4 m 400 sin 30 N (a) 30 F = 400 N 0.4 m (b) 400 cos 30 N

23 Apêndice: Integração de funções constantes e funções polinomiais Fazer a operação de integração é a grosso modo efetuar uma soma no contínuo, ou seja, quando os elementos a serem somados são tantos e tão pequenos que não podemos contá-los Historicamente, o cálculo de integrais está relacionado com a obtenção de áreas Eistem uma infinidade de funções integráveis, mas neste momento queremos só utilizar uma regra que diz respeito à integração de funções constantes e de funções que são polinômios. Z b Z b Cd = C d = C b a = C(b a) a a Z b apple n+1 b a C n = C (n + 1) a n 6= 1

24 Eercícios Calcule as seguintes integrais Z d Z 2 1 ( +2 3 )d Z 3 1 2d Z 2 0 (2 + 4)d