Forças exteriores representam a acção de outros corpos sobre o corpo rígido em análise.

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Benedita Martini Ferretti
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1 1. Corpos Rígidos Nesta secção será feito o estudo de forças aplicadas a um corpo rígido. Estudar-se-á a substituição de um dado sistema de forças por um sistema de forças equivalente mais simples, cálculo de produtos externos ou vectoriais e produtos internos ou escalares para a quantificação do momento de uma força em relação a um ponto e a um eixo. Conceito de binário e substituição de um sistema de forças aplicadas num corpo rígido por um sistema equivalente, força e binário. Forças exteriores representam a acção de outros corpos sobre o corpo rígido em análise. Forças interiores mantêm unidas as diferentes partículas que constituem o corpo rígido. Vector deslizante é a representação de uma força aplicada num corpo rígido, visto que em corpos rígidos o ponto de aplicação da força não é relevante, mas sim a sua linha de acção. Luis Mesquita Pág. 25

A intensidade de é dada pelo produto das intensidade dos vectores e e pelo seno do angulo formado pelos mesmos.

2 2. Produto externo de vectores O produto externo de dois vectores e é definido como sendo o vector que satisfaz o seguinte: A linha de acção do vector é perpendicular ao plano que contém os vectores e. A intensidade de é dada pelo produto das intensidade dos vectores e e pelo seno do angulo formado pelos mesmos. = θ = ( ) O sentido de é obtido pela regra da mão direita 3. Propriedades Não comutativa, distributiva e não associativa = + = + Luis Mesquita Pág. 26

3 4. Produto externo de dois vectores expresso em componentes cartesianas O produto externo de um versor por si próprio é zero, uma vez que têm a mesma direcção. Para todas as combinações, temos: Definindo o vector produto externo de dois vectores e, em função das coordenadas cartesianas fica: usando a propriedade distributiva: Ou de outra forma, através do cálculo do determinante, repetindo a 1ª e a 2ª colunas. = Luis Mesquita Pág. 27

4 5. Momento de uma força em relação a um ponto Considere a força, definida pela intensidade, direcção e sentido, que actua num corpo rígido. O efeito que a força provoca no corpo rígido depende também do seu ponto de aplicação. Sendo o seu ponto de aplicação definido pelo vector, o momento da força em relação ao ponto O será obtido pelo produto externo de e. = = Θ = Teorema de Varignon (matemático Francês ) o momento em relação a um ponto O da resultante de várias forças concorrentes é igual à soma dos momentos das diversas forças em relação ao mesmo ponto O. ( ) = Luis Mesquita Pág. 28

6. Componentes cartesianas do momento de uma força O momento, em relação ao ponto O, produzido pela força, de componentes F x, F y e F z aplicada no ponto A de coordenadas x, y e

5 6. Componentes cartesianas do momento de uma força O momento, em relação ao ponto O, produzido pela força, de componentes F x, F y e F z aplicada no ponto A de coordenadas x, y e z, pode ser apresentado da seguinte forma: = + + em que Mx, My e Mz são as componentes cartesianas do momento. Mx = y Fz - z Fy My = zfx - x Fz Mz = x Fy - y Fx Luis Mesquita Pág. 29

6 Luis Mesquita Pág. 30

7 Luis Mesquita Pág. 31

8 7. Produto interno de dois vectores O produto interno ou escalar de dois vectores e é definido como sendo o produto das intensidade de e pelo coseno do ângulo formado pelos mesmos. E =. ( escalar ) = Θ Propriedades: Comutativo e Distributivo. Aplicações: Determinação do ângulo formado entre vectores, determinação da projecção de um vector sobre um eixo. 8. Produto misto de três vectores O produto misto de três vectores dá origem a um escalar, através do produto interno do vector pelo vector produto externo de e. E =. ( X ) ( escalar ) Cálculo prático de E : Aplicações: cálculo do volume criado pelos vectores. Luis Mesquita Pág. 32

9 9. Momento de uma força em relação a um eixo O momento de uma força em relação a um eixo OL é definido como sendo a projecção do momento sobre Ol, isto é, será o produto misto do versor λ pelo vector posição e pela força. = λ. = λ. ( ) Sendo λ x, λ y e λ z os co-senos directores do ponto de aplicação da força, x, y e z as coordenadas e Fx, Fy e Fz as componentes cartesianas da força., podemos exprimir na forma de determinante: Significado físico: o momento de em relação ao eixo OL mede a tendência da força produzir no corpo rígido um movimento de rotação em torno do eixo fixo OL. Luis Mesquita Pág. 33

10 Luis Mesquita Pág. 34

11 Luis Mesquita Pág. 35

12 10. Momento de um binário Duas forças e -, com a mesma intensidade, linhas de acção paralelas e sentidos opostos formam um binário. O momento produzido pelo binário será: Com uma intensidade igual a: 11. Binários equivalentes Os binários apresentados provocam no corpo um movimento de rotação, sempre no mesmo sentido. Luis Mesquita Pág. 36

13 12. Sistema Força/Binário Qualquer força aplicada a um ponto A de um corpo rígido pode ser substituído por um sistema força/binário num ponto arbitrário O. Luis Mesquita Pág. 37

14 Substitua a força de 150N por um sistema força binário equivalente em A. Luis Mesquita Pág. 38

13. Redução de um sistema de forças a um sistema Força/Binário Por mais complexo que seja o sistema de forças, este pode ser reduzido a um sistema Força/Binário. = = = 14.

15 13. Redução de um sistema de forças a um sistema Força/Binário Por mais complexo que seja o sistema de forças, este pode ser reduzido a um sistema Força/Binário. = = = 14. Sistemas equivalentes de forças Dois sistemas de forças são equivalentes se forem reduzidos ao mesmo sistema força/binário: = e = Fisicamente, estes têm que provocar um movimento de translação e de rotação igual segundo os três eixos. Luis Mesquita Pág. 39

16 15. Redução de um sistema de forças a um torsor No caso geral 3D de um sistema de forças no espaço, o sistema pode ser reduzido a uma força e um binário, não perpendiculares entre si e de intensidade não nulas (caso geral). O vector binário pode ser vectorialmente decomposto em outros dois vectores e segundo a direcção de, e M2 contido num plano ortogonal a. O vector noutra linha de acção. e podem ser substituídos por uma única força, mas O sistema original reduz-se a: TORSOR. Uma força e um binário, ambos com a mesma direcção, ou seja, um A razão = é designado por passo do torsor. Luis Mesquita Pág. 40

17 A projecção de M 1 = = = segundo a linha de acção de é: O eixo torsor fica definido por = + Luis Mesquita Pág. 41

18 Luis Mesquita Pág. 42

19 Os dois eixos de uma caixa de redução estão sujeitos a binários cujos momentos têm módulos M1=20,3 Nm e M2=4,07 Nm. A caixa pesa 267n e tem o seu centro de gravidade sobre o eixo z em z=152mm. Substitua o peso e os dois binários por um torsor equivalente e determine: a)- a força resultante b) a passo do torsor c)- o ponto onde o eixo torsor corta o plano xz Luis Mesquita Pág. 43

20 Luis Mesquita Pág. 44

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